Какие свойства делимости чисел
Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.
Определение[править | править код]
Если для некоторого целого числа и целого числа существует такое целое число , что то говорят, что число делится нацело на или что делит
При этом число называется делителем числа , делимое будет кратным числа , а число называется частным от деления на .
Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.
Обозначения[править | править код]
Связанные определения[править | править код]
- У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
- У каждого натурального числа, большего , есть хотя бы один простой делитель.
- Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
- Вне зависимости от делимости целого числа на целое число , число всегда можно разделить на с остатком, то есть представить в виде:
где .
В этом соотношении число называется неполным частным, а число — остатком от деления на . Как частное, так и остаток определяются однозначно.
Число делится нацело на тогда и только тогда, когда остаток от деления на равен нулю.
- Всякое число, делящее как , так и , называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: и . Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
- Два целых числа и называются равноделимыми на целое число , если либо и , и делится на , либо ни , ни не делится на него.
- Говорят, что число кратно числу , если делится на без остатка. Если число делится без остатка на числа и , то оно называется их общим кратным. Наименьшее такое натуральное называется наименьшим общим кратным чисел и .
Свойства[править | править код]
Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что — целые числа.
- Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю:
- Любое целое число делится на единицу:
- На ноль делится только ноль:
,
причём частное в этом случае не определено.
- Единица делится только на единицу:
- Отношение делимости натуральных чисел является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
В системе целых чисел выполняются только первые два из этих трёх свойств; например, . и но
Число делителей[править | править код]
Число положительных делителей натурального числа обычно обозначаемое является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:
Здесь — постоянная Эйлера — Маскерони, а для Дирихле получил значение Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение , при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем ).[1][2][3]
При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как , что было обнаружено А. Карацубой[4]. По компьютерным оценкам М. Королёва .
Обобщения[править | править код]
Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например, целые гауссовы числа или кольцо многочленов.
См. также[править | править код]
- Кратность
- Деление (математика)
- Деление с остатком
- Признаки делимости
- Модульная арифметика
- Конгруэнтность (алгебра)
- Сравнение по модулю
- Кольцо (математика)
- Факторизация
Ссылки[править | править код]
- Видео о делимости
Примечания[править | править код]
- ↑ А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
- ↑ И. М. Виноградов. Аналитическая теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
- ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.
Литература[править | править код]
- Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
- Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.
- Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.
Признак делимости на 2
Чётное число – это число, которое делится на 2.
Нечётное число – не делится на 2.
Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.
Число 52 738 делится на 2, так как у него последняя цифра 8 которая является чётной.
Число 7691 не делится на 2, так как цифра 1 находящаяся в конце нечетная.
Число 1250 делится на 2, так как цифра, которая находится в конце нуль.
Признак делимости на 4
Число делится на 4, при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4. В остальных случаях – не делится.
Число 31 800 делится на 4, так как в его окончании находятся два нуля.
Число 325 734 не делится на 4, так как крайние две цифры дают число 34, которое не делится на 4.
Число 15 608 делится на 4, так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8, которое делится на 4.
Признак делимости на 8
Число делится на 8, в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.
Число 225 000 делится на 8, так как оканчивается тремя нулями.
Число 180 004 не делится на 8, так как три крайние цифры дают число 4, которое не делится на 8.
Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120, которое делится на 8.
Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16, 32, 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.
Признаки делимости на 3 и на 9
На число 3 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3.
На число 9 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 9.
Число 17 835 делится на 3 и не может быть разделено на 9, так как сумма его цифровых значений 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 может быть разделено на 3 и не делится на 9.
Число 106 499 не может быть разделено ни на 3, ни на 9, так как составляющие его цифры в сумме даёт число 29 которое не делится как на 3, так и на 9.
Число 52 632 может быть разделено на 9, так как сумма цифр входящих его состав 18 которое делится на 9.
Признак делимости на 6
Число делится на 6, когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.
Число 126 может быть разделено на 6, в виду того, что оно делится и на 2 и на 3.
Признак делимости на 5
На 5 делятся те числа, у которых последняя цифра 0 или 5. Другие – не делятся.
Число 240 может быть разделено на 5, так как последняя цифра 0.
Число 554 не делится на 5, так как последняя цифра 4.
Признак делимости на 25
На 25 можно разделит только те числа, у которых две крайние цифры нули либо формируют число, которое может быть разделено на 25, например числа оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75. Другие — не делятся.
Число 7150 можно разделить на 25, так как оканчивается на 50.
Число 4855 не получится разделить на 25.
Признаки делимости на 10, 100 и 1000
Числа делятся на 10, когда последняя цифра является нулём.
Числа делятся на 100, если две последние цифры этих чисел нули.
Числа делятся на 1000, если три конечные цифры у них нули.
8200 можно разделить на 10 и на 100.
542 000 можно разделить на 10, 100 и 1000.
Признак делимости на 11
На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11.
103 785 можно разделить на 11, так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12
9 163 627 можно разделить на 11, так как при вычитании из 28 числа 6 получается 22, которое делится на 11. ( 9 + 6 + 6 + 7 = 28 ) ( 1 + 3 + 2 = 6 )
461 025 не может разделено на 11, в виду того что числа 7 и 11 взаимно не ровны, а их разность 4 на 11 не разделить. ( 11 – 7 = 4 ),( 4 + 1 + 2 = 7 ), ( 6 + 0 + 5 = 11).
Существуют признаки делимости так же и на другие числа, но эти признаки гораздо сложнее.
Урок по теме
«Делимость чисел. Свойства делимости»
—
формирование
умения сотрудничать со сверстниками в разных социальных ситуациях, умение не
создавать конфликтов и находить выходы из спорных ситуаций.
—
регулятивные:
планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее
реализации;
—
познавательные:
формирование умений по использованию математических знаний для решения
различных математических задач и оценки полученных результатов, по
использованию доказательной математической речи при работе с информацией;
—
коммуникативные:
формирование умений совместно с другими обучающимися в группе находить решение
задачи и оценивать полученные результаты.
—
понимание
сути понятий «делитель», «кратное», умение находить простые и составные числа,
умение точно и грамотно выражать свои мысли, применяя математическую
терминологию, развитие способностей обосновывать рассуждения.
3.
Постановка
учебной задачи (Мотивация. Постановка проблемы)
6.
Самостоятельная
работа самопроверкой (Связывание фактов,
решение проблемы)
Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | УУД |
Самоопределение Организационный момент | Приветствие, Девиз нашего урока: «Нужно стремиться | Включение Проверяют наличие индивидуальных | Личностные: самоопределение; регулятивные: целеполагание; коммуникативные: |
Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности | Выявляет уровень знаний. Определяет типичные недостатки. Устная работа. | Выполняют задание, тренирующее отдельные способности к учебной | Коммуникативные:планирование учебного сотрудничества с Познавательные:логические – анализ |
1. Давайте вспомним из | Делимое, делитель, частное а/б=с | ||
2. Назовите делимое, | Делимое 35 Делитель 5 Частное 7 | ||
3. На какие числа | На 1 и само на себя | ||
4. Что получается при | |||
5. Верное ли | Нет, на ноль делить нельзя. | ||
Постановка | Активизирует | Ставят | Регулятивные: целеполагание; познавательные: общеучебные: самостоятельное |
Решив Оавйтссв еииослтдм | Высказывают | ||
Какова | Цель | ||
Построение | Организует | Составляют | Регулятивные: планирование, прогнозирование;познавательные:моделирование, |
Итак, тема | Записывают | ||
Свойство № 1 Если один Например: (12*3)/4=36/4=9 Свойство № 2 Если Например: 777:111:3= 777:111=7 111:3=37 777:3=259 Свойство №3. Ели каждое Например: 30-25=5/5=1 30+25=55/5=11 Свойство № 4. Ели одно Например: 16+15=31не 16-15=1 не | Работают с | ||
1. 2. Проанализируйте решение № 601 | 1. | ||
Проводит физкультминутку. Руки в боки, руки – шире. | Выполняют | ||
Закрепление | Устанавливает | Решают | Регулятивные: контроль, оценка, коррекция; познавательные: общеучебные- умение коммуникативные: управление поведением |
Работа по | Решают, 1. а) Каждое слагаемое суммы (3 б) (c * а + c * b) : c = а | ||
Решите № | Решают № а) 1356 делится на 2, т.к. 1356 = б) 7361 не делится на 3, так как в) 4957 не делится на 2, так как | ||
Контроль и | Организует Вариант 1. 1) а) Укажите выражения, значения б) делятся на 3: 17 + 33; 10*6 + 2. Докажите, что если а и 3) Можно ли разложить в три Вариант 2. 1) а) Укажите выражения, значения б) делятся на 4: 11 + 44; 10*8 + 2) Докажите, что если а и b — 3) Можно ли сделать три одинаковых | Осуществляет | Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и Личностные: самоопределение. |
Итог — Что изучили сегодня на уроке? — Сформулируйте признаки делимости Домашнее задание: стр. 137 № 601 (а,б,в) — | Формулируют | ||
Рефлективно-оценочный | Организует А в конце, я хотела бы рассказать А вы прослушайте её и подумайте, “Целый день возил проклятые камни” “А, я добросовестно выполнял свою работу”. “А, я принимал участие в | Осуществляют | Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и Личностные:смыслообразование |
Урок по теме «Делимость чисел. Свойства делимости»
Ресурсы: учебник — Математика.5кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений : в 2 ч. Ч. 1 / С.А. Козлова, А.Г. Рубин. – 2-е изд. – М. : Баласс, 2013. – 208 с., ил. (образовательная система «Школа 2100»);
Этап урока
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
УУД
Самоопределение к деятельности
Организационный момент
Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.
Девиз нашего урока: «Нужно стремиться к тому, чтобы каждый видел и знал больше, чем видел и знал его отец и дед». Слова Антона Павловича Чехова
Включение в деловой ритм.
Проверяют наличие индивидуальных учебных принадлежностей на столе.
Личностные: самоопределение;
регулятивные: целеполагание;
коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности
Выявляет уровень знаний. Определяет типичные недостатки. Устная работа.
Выполняют задание, тренирующее отдельные способности к учебной деятельности, мыслительные операции и учебные навыки.
Коммуникативные:планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
Познавательные:логические – анализ объектов с целью выделения признаков
Давайте вспомним из каких компонентов состоит деление?
Делимое, делитель, частное
а/б=с
Назовите делимое, делитель и частное в примере 35:5=7
Делимое 35
Делитель 5
Частное 7
На какие числа делится нацело любое натуральное число?
На 1 и само на себя
Что получается при деление 0 на число
Верное ли утверждение: 60:0=6
Нет, на ноль делить нельзя.
Постановка учебной задачи
Активизирует знания учащихся. Создаёт проблемную ситуацию.
Ставят цели, формулируют (уточняют) тему урока
Регулятивные: целеполагание;
познавательные: общеучебные: самостоятельное выделение-формулирование проблемы
Решив анаграмму, прочтите тему урока.
Оавйтссв еииослтдм
Высказывают предположения. Свойства делимости
Какова цель нашего урока?
Цель урока: мы будем говорить о применении свойств делимости к доказательству делимости числовых и буквенных выражений.
Построение проекта выхода из затруднения.
Организует учащихся по исследованию проблемной ситуации.
Составляют план достижения цели и определяют средства (алгоритм, модель и т.д.)
Регулятивные: планирование, прогнозирование;познавательные:моделирование, логические — решение проблемы, построение логической цепи рассуждений, доказательство, выдвижение гипотез и их обоснование;коммуникативные:инициативное сотрудничество в поиске и выборе информации.
Итак, тема урока «Свойства делимости». Запишите в тетрадь тему урока.
Записывают тему урока.
Свойство № 1
Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число
Например: (12*3)/4=36/4=9
Свойство № 2
Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.
Например:
777:111:3=
777:111=7
111:3=37
777:3=259
Свойство №3.
Ели каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.
Например: 25 и 30/5
30-25=5/5=1
30+25=55/5=11
Свойство № 4.
Ели одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делится на это число.
Например: 16 15/4
16+15=31не делится на 4
16-15=1 не делится на 4
Работают с учебником.
1. Предлагаю выполнить устно № 600 на стр.137. Какие свойства делимости используют при решении этих задач?
2. Проанализируйте решение № 601 (г), используйте указание к данному номеру в электронном приложении.
1. Отвечают, применяя свойства делимости. 2. Рассматривают доказательство буквенного выражения на слайде и записывают в тетрадь.
Проводит физкультминутку.
Руки в боки, руки – шире.
Раз, два, три, четыре.
Сейчас попрыгать мы решили.
Раз, два, три, четыре.
Потянулись – выше, выше…
Приседаем – ниже, ниже.
Встали – присели…
Встали – присели…
А теперь за парты сели.
Выполняют движения.
Закрепление опорных знаний и способов действий.
Устанавливает осознанность восприятия. Первичное обобщение.
Решают типовые задания с проговариванием алгоритма вслух.
Регулятивные: контроль, оценка, коррекция;
познавательные: общеучебные- умение структуировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задания, умения осознанно и произвольно строить речевое высказывание, рефлексия способов и условий действия;
коммуникативные: управление поведением партнёра-контроль, коррекция, оценка действий партнёра
Работа по учебнику с. 136 № 602
Решают, делают предположения и обосновывают свое решение.
1.
а) Каждое слагаемое суммы (3 * а + 3 * b)делится на 3, значит и вся сумма делится на 3. Вынесем 3 за скобку, разделим 3 на 3, получим (3 * а + 3 * b) : 3 = а + b. (проверяют правильность выполнения по электронному приложению к учебнику)
б) (c * а + c * b) : c = а + b, при доказательстве данного буквенного выражения рассуждают аналогично.
Решите № 604 (а,б,в) с подробным комментированием у доски и в тетрадях
Решают № 604 с комментированием:
а) 1356 делится на 2, т.к. 1356 = 678*2;
б) 7361 не делится на 3, так как 7361 = 7350 + 11, 7350 делится на 3, а 11 не делится на3;
в) 4957 не делится на 2, так как 4957 = 4950 + 7, 4950 делится на 2, а 7 не делится на 2.
Контроль и самопроверка знаний. Домашнее задание.
Организует деятельность по применению новых знаний.Самостоятельная работа
Вариант 1.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 12 + 16; 25 + 14; 22 — 11; 3 + 21;
б) делятся на 3: 17 + 33; 10*6 + 3.
2. Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (5*а + 5*b) : 5 = а + b.
3) Можно ли разложить в три корзины одинаковые наборы овощей из 21 моркови, 5 баклажан и 12 перцев? Если нет, то почему?
Вариант 2.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 14 + 16; 29 + 18; 44 — 15; 27 + 9;
б) делятся на 4: 11 + 44; 10*8 + 2.
2) Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (7*а + 7*b) : 7 = а + b.
3) Можно ли сделать три одинаковых букета цветов из 12 роз, 7 гвоздик и 6 веточек декоративного папоротника? Если нет, то почему?
Осуществляет самопроверку, пошагово сравнивая с эталоном.Самостоятельная работа
Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения;
Личностные: самоопределение.
Итог урока:
— Что изучили сегодня на уроке?
— Сформулируйте признаки делимости произведения, суммы и разности. Приведите примеры.
Домашнее задание: стр. 137 № 601 (а,б,в) — обратите внимание на выполнение этого номера в классной работе; № 603 — используйте образец; № 604(г,д,е)
Формулируют признаки делимости. Записывают домашнее задание в дневники.
Рефлективно-оценочный этап
Организует рефлексию.
А в конце, я хотела бы рассказать вам историю о мудреце.
А вы прослушайте её и подумайте, как бы вы ответили на вопрос мудреца о своей работе на уроке. Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому один вопрос: “Что ты делал целый день?”
“Целый день возил проклятые камни”
“А, я добросовестно выполнял свою работу”.
“А, я принимал участие в строительстве храма знаний!”
Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия
Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; познавательные: рефлексия;
Личностные:смыслообразование
Вариант 1.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 12 + 16; 25 + 14; 22 — 11; 3 + 21;
б) делятся на 3: 17 + 33; 10*6 + 3.
2. Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (5*а + 5*b) : 5 = а + b.
3) Можно ли разложить в три корзины одинаковые наборы овощей из 21 моркови, 5 баклажан и 12 перцев? Если нет, то почему?
Вариант 2.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 14 + 16; 29 + 18; 44 — 15; 27 + 9;
б) делятся на 4: 11 + 44; 10*8 + 2.
2) Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (7*а + 7*b) : 7 = а + b.
3) Можно ли сделать три одинаковых букета цветов из 12 роз, 7 гвоздик и 6 веточек декоративного папоротника? Если нет, то почему?
Вариант 1.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 12 + 16; 25 + 14; 22 — 11; 3 + 21;
б) делятся на 3: 17 + 33; 10*6 + 3.
2. Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (5*а + 5*b) : 5 = а + b.
3) Можно ли разложить в три корзины одинаковые наборы овощей из 21 моркови, 5 баклажан и 12 перцев? Если нет, то почему?
Вариант 2.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 14 + 16; 29 + 18; 44 — 15; 27 + 9;
б) делятся на 4: 11 + 44; 10*8 + 2.
2) Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (7*а + 7*b) : 7 = а + b.
3) Можно ли сделать три одинаковых букета цветов из 12 роз, 7 гвоздик и 6 веточек декоративного папоротника? Если нет, то почему?
Вариант 1.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 12 + 16; 25 + 14; 22 — 11; 3 + 21;
б) делятся на 3: 17 + 33; 10*6 + 3.
2. Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (5*а + 5*b) : 5 = а + b.
3) Можно ли разложить в три корзины одинаковые наборы овощей из 21 моркови, 5 баклажан и 12 перцев? Если нет, то почему?
Вариант 2.
1) а) Укажите выражения, значения которых делятся на 2: 14 + 16; 29 + 18; 44 — 15; 27 + 9;
б) делятся на 4: 11 + 44; 10*8 + 2.
2) Докажите, что если а и b — натуральные числа, то (7*а + 7*b) : 7 = а + b.
3) Можно ли сделать три одинаковых букета цветов из 12 роз, 7 гвоздик и 6 веточек декоративного папоротника? Если нет, то почему?