Виды матриц.

  • Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах

    где aij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент aij.
    Сокращённое обозначение матрицы A=(aij)m×n.

  • Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
  • Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
  • Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
  • Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:

  • Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
  • Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
  • Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
  • Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
  • Матрица квадратная диагональная:
  • Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
  • Матрица верхняя треугольная:
  • Матрица нижняя треугольная:
  • Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:
    Операции над матрицами.

  • Равенство матриц.
    Две матрицы A (aij), B (bij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны,
    то есть при всех i, j aij=bij.
  • Сложение матриц.
    Суммой двух матриц A=(aij)m×n и B=(bij) m×n одинаковых размеров называется матрица C=(cij)m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами cij=aij+bij. Пример 1.
  • Умножение матрицы на число.
    Произведением матрицы A=(aij)m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(bij)m×n=λA, элементы которой определяются равенствами bij=λaij. Пример 2.
  • Умножение матриц.
    Произведением матрицы A=(aij)m×k на матрицу B=(bij)k×n называется матрица C=(cij)m×n=A· B размера m×n, элементы которой cij определяются равенством
    cij=ai1b1j+ai2b2j+ … aikbkj.
    Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3.
  • Транспонированные матрицы.
    Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.
    Полученная матрица обозначается через A’ или AT. Пример 4.
    Квадратная матрица называется симметричной, если A=A’, то есть для элементов выполнены равенства aij=aji.
  • Обратная матрица.
    Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
    Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:
    A*A^{-1}=A^{-1}*A=E
    Если матрица А-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А-1, равная A^{-1}={1/{detA}}(A^V)^T, где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
    1) (A^{-1})^{-1}=A
    2) {alpha}*A^{-1}={1/{alpha}}*A^{-1}
    3) (A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}
    4) (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}
  • Алгоритм нахождения А-1 заключается в следующих пунктах:
    1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0.
    2) Находим Mij — все миноры матрицы A.
    3) Определяем A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
    4) Строим матрицу алгебраических дополнений A^{V}=(A_{ij}) и транспонируем: (A^{V})^T=(A_{ij})
    5) Делим каждый элемент матрицы на det A: A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^TПример 5.
  • Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы:
    1) перестановка строк (столбцов);
    2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
    3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
  • Решение матричных уравнений.
    Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .
    Простейшие типы матричных уравнений:
    1) A*X=B. Матрица A – квадратная и невырожденная,
    |A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A-1.
    Умножим уравнение на A-1 слева: A^{-1}*A*X=A^{-1}*B,~E*X=A^{-1}*B,~X=A^{-1}*B
    2) X*A=B. Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
    Умножим уравнение на A-1 справа: X*A*A^{-1}=B*A^{-1} {doubleright} X=B*A^{-1}.
    3) A*X*B=C. Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
    Умножим уравнение на A-1 слева: A^{-1}*A*X*B=A^{-1}*C~{doubleright}~X*B=A^{-1}*C
    Умножим уравнение на B-1 справа: X*B*B^{-1}=A^{-1}*C*B^{-1}~{doubleright}~X=A^{-1}*C*B^{-1}.
  • Ранг матрицы.
    Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.
    Mk этой матрицы: r=r(A)=rang A
    Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
    A ∼ B, если r(A)=r(B).
    Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
  • Метод окаймляющих миноров.
    Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0, тогда M1 ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка: M_2 = delim{|}{matrix{2}{2}{{a_{i,j}} {a_{i,j+1}} {a_{i+1,j}} {a_{i+1,j+1}}} }{|}.
    Если M2, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка.
    Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.
    Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0, но все Mr+1 = 0. Пример 6.
  • Метод элементарных преобразований.
    Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
    К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
    Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
    1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
    2) Все элементы первого столбца, кроме a11, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:

    3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a12 и a22, обратить в ноль.
    Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

    Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.

    Свойства определителей.

  1. Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |AT|=|A|.
  2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
    delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}= - delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{21}} {a_{22}} {a_{23}}{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}
  3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
  4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
    delim{|}{matrix{3}{3}{{k*a_{11}} {k*a_{12}} {k*a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = k*delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|},~k=const
  5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
    delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {0} {0} {0} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = 0
  6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
  7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
    delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}+{{a{{prime}{prime}}}_{11}}} {{a{prime}}_{12}+{{a{{prime}{prime}}}_{12}}} {{a{prime}}_{13}+{{a{{prime}{prime}}}_{13}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=
    {=}delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}} {{a{prime}}_{12}} {{a{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}+delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}{prime}}_{11}} {{a{prime}{prime}}_{12}} {{a{prime}{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}
  8. Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
    delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}+{k*a_{21}}} {a_{12}+{k*a_{22}}} {a_{13}+{k*a_{23}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}
  9. Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
    delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}={a_{i1}}{A_{i1}}+{a_{i2}}{A_{i2}}+{a_{i3}}{A_{i3}},~i=1,~2,~3
  10. Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
    delim{|}{A*B}{|}=delim{|}{A}{|}*delim{|}{B}{|}.
    Определители n–го порядка.

  • Минор Мij или Δij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
  • Алгебраическое дополнение Аij элемента аij — это его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Аij=(-1)i+jMij или Аij=(-1)i+jΔij. Пример 8.
    Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.
  • Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении: delim{|}{matrix{3}{3}{{+} {-} {+} {-} {+} {-} {+} {-} {+}} }{|}
  • Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
  • Метод сведения к треугольному виду.
    Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.