Какие свойства биссектрис треугольника
Определения
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теорема
В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
[{Large{text{Медиана}}}]
Теорема
В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.
Доказательство
Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC), (O) – точка пересечения (AD) и (BE).
(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC), тогда (DEparallel AB), значит (angle ADE = angle BAD), (angle BED = angle ABE), следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников (ABO) и (DOE): (dfrac{BO}{OE} =
dfrac{AB}{DE} = dfrac{2}{1}).
Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.
Теорема
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).
Доказательство
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_{ABC} = 0,5cdot ACcdot
h).
Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC), тогда (AD = DC).
(S_{ABD} = 0,5cdot ADcdot h),
(S_{BCD} = 0,5cdot DCcdot h).
Так как (AD = DC), то (S_{ABD} = S_{BCD}), что и требовалось доказать.
Теорема
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.
Доказательство
1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC), где (M) – середина гипотенузы (AC).
Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD). Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M), причем (AM=MC=BM=MD), чтд.
2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC), то (angle B=90^circ).
Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle
BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta).
Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ), то для (triangle
ABC):
(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow
alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ), чтд.
[{Large{text{Биссектриса}}}]
Теорема
Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.
Доказательство
Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{ACcdot CD}{CBcdot CD} =
dfrac{AC}{CB}]
С другой стороны, (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{0,5cdot
ADcdot h}{0,5cdot DBcdot h}), где (h) – высота, проведённая из точки (C), тогда (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{AD}{DB}).
В итоге (dfrac{AD}{DB} = dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} =
dfrac{AC}{CB}), откуда (dfrac{AD}{AC} = dfrac{DB}{BC}), что и требовалось доказать.
Теорема
Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.
Доказательство
1) Докажем, что если (KA=KB), то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK), чтд.
2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB).
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB), чтд.
Биссектриса треугольника – это уникальный отрезок; он один из самых сложных по восприятию и пониманию. Легко понять и осознать, что такое высота, можно разобраться с определением и назначением медианы, но биссектрисы – это сложно. Просто потому, что основой для понимания биссектрисы служит понимание угла, а это не так легко усвоить, как величину отрезка.
Определения
Какие определения нам понадобятся в процессе работы? Во-первых, это определение биссектрисы.
Биссектриса – это луч, имеющий начало в вершине угла и делящий угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы, которой начинается в вершине треугольника и заканчивается на стороне, противолежащей этой вершине.
Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Треугольник в этом случае называется описанным.
Теперь обозначим основные свойства биссектрисы и приведем для них доказательства.
Первое, что нужно обозначить, это различие понятий биссектрисы и биссектрисы треугольника. Это похожие вещи, но свойства биссектрис углов треугольников не будут действовать на все биссектрисы. Это нужно запомнить.
Свойства биссектрисы треугольника
- Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Проведем в треугольнике АВС биссектрису ВК. После этого проведем прямую СМ, параллельную этой биссектрисе так, что точка М будет являться точкой пересечения продолжения стороны АВ.
Тогда два параллельных отрезка ВК и МС отсекут от сторон угла ВАС пропорциональные отрезки. То есть: АВ:АК=ВМ:КС. Докажем, что ВМ=ВС. Для этого посмотрим на треугольник ВМС. Угол АВК равен углу ВМС, как соответственные углы параллельных прямых при секущей АМ. С другой стороны угол КВС равен углу ВСМ, как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей ВС. Но при этом угол АВК равен углу КВС, так как ВК – это биссектриса. Запишем все в виде равенств для большего понимания.
$$АВК = ВМС$$
$$КВС = ВСМ$$
$АВК = КВС$, значит углы ВМС и МСВ равны, а треугольник МВС – равнобедренный. Тогда $ВМ=ВС$ и $АВ:АК=ВС:СК$. Что и требовалось доказать.
Рис. 1. Первое свойство
- Биссектриса равноудалена от сторон угла, в котором она проведена.
Это свойство не биссектрисы треугольника, а любой биссектрисы, поэтому ее доказательство проще рассматривать на рисунке угла.
Нарисуем угол АВС и проведем в нем биссектрису ВМ. Расстояние от биссектрисы до стороны в любой точке это перпендикуляр. Поэтому выберем произвольную точку на биссектрисе. Назовем ее D и опустим перпендикуляр на сторону АВ в точку Р и на сторону ВС в точку N. Тогда мы получим два прямоугольных треугольника: DРВ и DNB, равные между собой по гипотенузе ВD, которая будет общей стороной треугольников, и острому углу, так как угол PBD равен углу DBN, так как ВМ – биссектриса. Значит, и стороны PD=DN – как соответственные элементы. Доказательство простое, но изящное. Знание этого свойство поможет в доказательстве следующей теоремы.
Рис. 2. Второе свойство
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка служит центром вписанной окружности. Это доказывается очень просто, необходимо из точки пересечения опустить перпендикуляры к каждой стороне.
Рис. 3. Третье свойство
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое биссектриса треугольника и чем она отличается от обычной биссектрисы. Выделили три свойства биссектрисы треугольника, которые пригодятся при решении задач и доказательстве теорем.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 3.9. Всего получено оценок: 181.
Треугольникомназывается фигура,
которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков,
попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинамитреугольника,
а отрезки — его сторонами.
Виды треугольников
Треугольник называется равнобедренным,
если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми
сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним
или правильным.
Треугольник
называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть
угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому
углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
Треугольник называется остроугольным,
если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.
Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов —
тупой, то есть больше 90°.
Основные линии треугольника
Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника
с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольника
- Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую
из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром
тяжести треугольника. - Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих
треугольников.
Биссектриса
Биссектриса
угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его
сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на
противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника
- Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от
сторон этого угла. - Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону
на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: . - Точка пересечения биссектрис треугольника является центром
окружности, вписанной в этот треугольник.
Высота
Высотой
треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника
к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.
Свойства высот треугольника
- В прямоугольном треугольнике высота, проведенная
из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные
исходному. - В остроугольном треугольнике две его
высоты отсекают от него подобные треугольники.
Срединный перпендикуляр
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют
серединным перпендикуляром к отрезку.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
- Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов
этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная
от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. - Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам
треугольника, является центром окружности,
описанной около этого треугольника.
Средняя линия
Средней
линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине
этой стороны.
Формулы и соотношения
Признаки равенства треугольников
Два треугольника равны, если у них соответственно равны:
- две стороны и угол между ними;
- два угла и прилежащая к ним сторона;
- три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два прямоугольных треугольника равны, если
у них соответственно равны:
- гипотенуза и острый угол;
- катет и противолежащий угол;
- катет и прилежащий угол;
- два катета;
- гипотенуза и катет.
Подобие треугольников
Два треугольника подобны, если выполняется
одно из следующих условий, называемых признаками подобия:
- два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
- две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны; - три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем
сторонам другого треугольника.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты,
медианы, биссектрисы и
т. п.) пропорциональны.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем
коэффициент пропорциональности равен диаметру
описанной около треугольника окружности:
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a2= b2+ c2—
2bc cos
Формулы площади треугольника
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
a, b, c — стороны; —
угол между сторонами a и b;—
полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус
вписанной окружности; S — площадь; ha
— высота, проведенная к стороне a.
S
= aha
S = ab
sin
S = pr
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота,
проведенная к стороне c.
S = ab
S = chc
Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой….
Суть понятия
Наименование понятия пошло от использования слов на латыни, значение которых заключается «би» две, «сектио» разрезать. Они конкретно указывают на геометрический смысл понятия – разбивание пространства между лучами на две равные части.
Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.
Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.
Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной. Причем начало обозначения записывается именно из вершины.
Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.
Свойства
Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной окружности, а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:
- Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон, которые составляют пространство между лучами.
- Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
- Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон.
Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.
Это интересно! Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр
Длина
Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:
- величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок,
- длины сторон, которые образуют этот угол.
Для решения поставленной задачи используется формула, смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.
Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).
Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство
Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:
- известны значения всех сторон фигуры.
При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр. Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче. Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами. Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).
Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о приключениях этой прямой.
Частные случаи
Биссектриса прямоугольного треугольника имеет все общие свойства. Но следует отметить частный случай, который присущ только ей: при пересечении отрезков, основания которых являются вершинами острых углов прямоугольного треугольника, между лучами получается 45 град.
Биссектриса равнобедренного треугольника также имеет свои особенности:
- Если основание этого отрезка – вершина, противолежащая основанию, то она является и высотой, и медианой.
- Если отрезки проведены из вершин углов при основании, то их длины равны между собой.
Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника
Урок геометрии, изучаем свойства биссектрисы
Свойства биссектрисы треугольника
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки на отрезок , зато можем опустить его на прямую — то есть на продолжение стороны .
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол равен ) пересекаются в точке .
Рассмотрим треугольник .
,
, тогда
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .
Угол смежный с углом , следовательно, .
Поскольку треугольник — прямоугольный, то .
Тогда .
Ответ: .
2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Пусть — высота, проведенная из вершины прямого угла , — биссектриса угла .
Тогда
.
Угол между высотой и биссектрисой — это угол .
Ответ: .
3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Из треугольника (угол — прямой) найдем угол . Он равен .
Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .
В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :
.
Ответ: .
4. В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .
Рассмотрим треугольник .
, тогда .
Из треугольника получим, что .
Тогда .
Ответ: .
5. В треугольнике угол равен , угол равен . , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Найдем угол . Он равен .
Тогда .
Из треугольника найдем угол . Он равен .
Рассмотрим треугольник .
, . Значит
Ответ: .
6. В треугольнике , — медиана, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».
Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.
Правильный ответ: .
Мы используем файлы cookie, чтобы персонализировать контент, адаптировать и оценивать результативность рекламы, а также обеспечить безопасность. Перейдя на сайт, вы соглашаетесь с использованием файлов cookie.