Какие свойства алгебраических дробей

При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.

Формулировка и обоснование

Основное свойство дроби имеет формулировку вида:

Определение 1

При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.

То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.

Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.

То есть, основное свойство дроби a·mb·m=ab и ab=a·mb·m будем рассматривать подробно в отличие от a:mb:m=ab и ab=a:mb:m.

Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.

Доказательство 1

Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.

Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z. По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m. По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.

Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.

Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.

Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.

Пример 1

Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).

Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y. Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.

Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.

Сферы применения основного свойства алгебраической дроби

Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.

Определение 2

Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.

То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.

После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.

Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.

Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.

Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что

x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.

Источник

Дробь — есть число вида ab, где a — целое число, и b — натуральное число. Также и алгебраическая дробь — число вида PQ, где P и Q — многочлены, и P является знаменателем, а Q — числителем дроби. Является частным случаем рационального выражения.
Пример алгебраической дроби:
y2-1y-1

Смотреть также деление многочленов.

Основное свойство дроби

Пожалуй, самым важным свойством дроби является записанное ниже. Именно оно позволяет проделывать практически любые известные операции и преобразования над дробями.

Свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (отличное от 0), то значение дроби не изменится.

Иначе говоря:
ab=a×nb×n∀n≠0
.

То же, очевидно, применимо и к алгебраическим дробям, т.к. ясно, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же число эквивалентно умножению числа на число, а потом делению на то же число, что является взаимно-обратными действиями ∴ взаимно уничтожают друг друга. Конечно, применение этого свойства к алгебраическим дробям является их тождественным преобразованием, что важно ∴ этим свойством всегда можно спокойно пользоваться.

Сокращение дробей

Важным вытекающим из основного свойства алгебраической дроби свойством является возможность её сокращения, т.е. деление числителя и знаменателя на число.

Пример:
x2-xx2=x2-x/xx2/x=x-1x

Приведение дробей к общему знаменателю

Алгебраические дроби (как и обычные) можно привести к общему знаменателю, используя основное свойство.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Приведённые к общему знаменателю дроби можно складывать и вычитать.
ac+bc=a+bc

Это достаточно легко доказывается, если потребуется: обозначим две складывающиеся дроби l и m, тогда по определению частного: a=cl; b=cm и a+b = cl+cm=c(l+m). Подводя итог, имеем выражение a+b = c(l+m), тогда получается: (a+b)/c=l+m, Q.E.D.

Умножение дробей

Умножать дроби очень легко, перемножая числитель с числителем и знаменатель с знаменателем.
ab×cn=a⁢cb⁢n

Опять же для быстрого исчерпывающего доказательства без каких-либо неинтуитивных понятий можно воспользоваться тем же трюком, что и для сложения дробей: обозначить дроби k и l. По определению частного: a=bk и c=nl. Теперь можно, перемножив левые и правые части данных равенств и применив переместительное и сочетательное свойства умножения, получить: ac = (bk)×(nl) = (nb)(kl) ∴ исходное перемножение дробей kl = ac⁄bn Q.E.D.

Возведение дроби в степень

Последовательное умножение дроби саму на себя — возведение в степень. Оно также возможно. Как именно возводить дробь в n-ую степень, легко понять, пользуясь правилом умножения дробей (возведение в степень есть последовательное умножение числа, переменной, многочлена самого на себя — см. свойства степени с целым показателем).
abn=anbn

Деление дробей

Делить дроби тоже можно. Деление на дробь эквивалентно умножению на ту же дробь, где числитель и знаменатель поменяли местами. Деление на дробь — это умножение на дробь ей обратную.
ac&div;bd=ac×db

Для быстрого доказательства этого тождества (для всех чисел кроме 0 в знаменателе, конечно) можно уже даже обойтись без трюка, использованного выше (а просто воспользоваться остальными доказанными тождествами). adcb×bd=adbcbd=ac (значит, по определению частного изначальное выражение является тождеством).

Также одно очевидное свойство: если у дроби изменить знак числителя (или знаменателя) и знак перед дробью, то получится дробь ей тождественно равная. Однако этим иногда удобно пользоваться при различного рода преобразованиях, поэтому об этом не следует забывать.

При работе с рациональными дробями не обязательно обращаться к математическим выражениям другого рода, так как результаты всех перечисленных выше действий можно представить в виде рациональной дроби (что выше и показано).

Источник

Алгебраическая дробь — это выражение вида

, где

Р и
Q — многочлены;
Р — числитель, а
Q — знаменатель

алгебраической дроби.

Например:

где
P = a−b,
а
Q = b2−1;

где
P = x2+3,
а
Q = y3+x;

где
P = y2−1,
а
Q = y−1.

Многочлен — это частный случай алгебраической дроби.

Например, многочлен
y3+2y+7 равен дроби

,

а дробь

можно записать в виде многочлена

x2+x−

Из курса математики мы знаем, что значение обыкновенной дроби

не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить

или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например:

Алгебраические дроби можно преобразовывать аналогичным способом:

числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на

один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно

и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование

заданной алгебраической дроби;

числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить

на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на

одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное

преобразование заданной алгебраической дроби, его называют

сокращением алгебраической дроби.

Данные правила называют
основным свойством алгебраической дроби.

Рассмотрим примеры.

Дробь

можно заменить на

(числитель и знаменатель разделили на
x
).

Дробь

можно заменить на

(числитель и знаменатель умножили на
x
).

Дробь

можно заменить на

(числитель и знаменатель разделили на
y−3
).

Равенство

называется тождеством,

а преобразование дроби

в дробь

— тождественным преобразованием заданной алгебраической дроби,

в данном случае, сокращением алгебраической дроби. Следует помнить,

что тождеством наше равенство является при условии, что
y ≠ 3 и
y ≠ – 3 ,

так как знаменатель изначальной дроби при данных значениях переменной

обращается в нуль и выражение

теряет смысл.

Задание.

Найдите значение алгебраической дроби
А =

при
x равном
5127; 3003; 0; и
1.

Решение.

Подставлять такие большие числа в данное выражение довольно

трудоемкий процесс, попробуем его упростить (сократить алгебраическую дробь).

= x−1 .

Мы использовали:

1. формулу разность квадратов в знаменателе алг. дроби;

2. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на
x + 1;

3. формулу квадрат разности в числителе алг. дроби;

4. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на
x – 1;

Выполненные тождественные преобразования значительно

упростили нашу работу, но следует помнить, что при
x = 1 и
x = – 1

знаменатель изначального выражения обращается в нуль, следовательно

дробь не имеет смысла. Иными словами, область определения

выражения —
(–
∞; –1) U (–1; 1) U (1; +
∞) или
х ≠ –1; х ≠ 1 .

Найдем значения нашего выражения:

при
х = 5127 ⇒
А = х – 1 = 5127 – 1 = 5126 ;

при
х = 3003 ⇒
А = х – 1 = 3003 – 1 = 3002 ;

при
х = 0 ⇒
А = х – 1 = 0 – 1 = – 1 ;

при х = 1 , казалось бы, что
А = х – 1 = 1 – 1 = 0 ,

но при
х = 1 выражение не имеет смысла (мы находим значения изначального выражения).

О т в е т :
при
х = 5127 , А = 5126 ;
при
х = 3003 , А = 3002 ;

при
х = 0 , А = – 1 ;
при
х = 1 , А не имеет смысла .

Источник

Замечание 1

Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен или число, отличное от $0$.

Для того чтобы правильно сократить алгебраическую дробь, необходимо помнить, что сокращать слагаемые, находящиеся в числителе со слагаемыми, стоящими в знаменателе, нельзя! Сокращать дробь можно только на одинаковые множители, если таковые имеются в числителе и знаменателе. Часто необходимо применить известные приемы разложения на множители, для того чтобы представить имеющийся многочлен в виде произведения нескольких. Вспомним, что способов разложения на множители многочленов несколько, такие как: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим подробнее применение данных приемов для сокращения алгебраических дробей.

Вынесение общего множителя за скобки

Пример 1

Сократить дробь $frac{2x^2}{2x^2-2x}$

Например, если необходимо сократить дробь $frac{2x^2}{2x^2-2x}$, то сокращать ее на $2x^2$ нельзя (хотя данный одночлен имеется и в числителе и в знаменателе дроби). Сначала необходимо преобразовать знаменатель путем разложения на множители. Для этого в данном случае мы воспользуемся способом вынесения общего множителя $2x$ за скобки. Тогда $2x^2-2x=2x(x-1).$

Для упрощения данной дроби воспользуемся основным свойством дробей-сокращением, сначала представив знаменатель в виде произведения двух множителей, тогда

[frac{2x^2}{2x^2-2x}=frac{2x^2}{2x(x-1)}=frac{x}{x-1}]

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Пример 2

Сократить дробь $frac{2а-4}{3а-6}$ .

Сократить данную дробь сразу ни на что нельзя, сначала необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители и посмотреть, будут ли множители одинаковыми.

Рассмотрим числитель дроби и вынесем в нем общий множитель $2$:

[2a-4=2(a-2)]

Преобразуем знаменатель дроби путем вынесения общего множителя

[3a-6=3(a-2)]

Сократим искомую дробь на общий множитель, который является многочленом $a-2$

[frac{2a-4}{3a-6}=frac{2(a-2)}{3(a-2)}=frac{2}{3}]

Также для упрощения алгебраических дробей часто удобно использовать еще одно свойство:

Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью.

Пример 3

Сократить дробь $frac{x-y}{y-x}$

Мы видим, что выражение, стоящее в знаменателе $(y-x)$, отличается от числителя $(x-y)$ только знаками, стоящими перед переменными.Тогда воспользовавшись описанным выше свойством получим:

[frac{x-y}{y-x}=frac{x-y}{-(x-y)}=-frac{x-y}{x-y}=-1]

Сокращение на степени с одинаковым основанием

Особое внимение необходимо уделить сокращению на переменную, являющимся одночленом в некоторой степени. Вспомним, что делить можно только степени с одинаковым основанием, и при делении степеней с одинаковым основанием основание остается без изменений, а показетели вычитаются ($a^n:a^m=a^{n-m}$)

Пример 4

Сократить дробь $frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}$

Заметим, что эту дробь можно сократить так же, как и обычную дробь на некоторый коэффициент( который является НОД чисел $63$ и $42$), на одночлен $a^2$ и на одночлен $b^3$. Сокращать будем последовательно, чтобы не запутаться в преобразованиях.

Сначала найдем общий множитель на который можно сократить числа $42$ и $63$. Для этого необходимо найти НОД указанных чисел. Для этого представим их в виде произведения простых множителей $42=2cdot 3 cdot 7$, $63= 3cdot 3 cdot 7$ и найдем НОД: $3:7=21$.Значит данные два числа можно сократить на $21$. Искомая дробь примет тогда вид:

[frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=frac{3a^2b^3}{2a^6b^4}]

Теперь обратим внимание на то, что числитель и знаменатель дроби содержит степень с одинакковым основанием $«a»$. В числителе дроби $a^2$ в знаменателе $a^6$ выберем степень с наименьшим показателем, т.е. $a^2$ и сократим на указанный многочлен. Вспомним, что сокращение — это деление на укзанную величину, тогда в числителе получим $ 3a^2b^3 : a^2=3b^3$ , а в знаменателе необходимо воспользоваться правилом деления степеней $a^n:a^m=a^{n-m}$, тогда $a^6{:a}^2=a^{6-2}=a^4$

[frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=frac{3b^3}{2a^4b^4}]

Аналогично произведем сокращение на степень с одинаковым основанием, т.е. на $b^3$. В знаменателе по указанному выше правилу деления степеней с одинаковым оснванием $b^4{:b}^3=b^{4-3}=b^1=b$

[frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=frac{3a^2b^3}{2a^6b^4}=frac{3b^3}{2a^4b^4}=frac{3}{2a^4b}]

Использование формул сокращенного умножения

Для преобразовния многочленов в числителе и знамнателе дроби используются также формулы сокращенного умножения.

Пример 5

Сократить дробь $frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}$

Сразу данную дробь сократить нельзя, необходимо преобразовать числитель и знаменатель.

Рассмотрим выражение, стоящее в знаментеле дроби, и разложим многочлен на множители с помощью вынесения общего множителя $x$ за скобки $x^2-2x=x(x-2)$.

[frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}]

Преобразуем выражние, стоящее в числителе дроби, для этого воспользуемся формулой квадрата разности:$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$

[x^2-4x+4=x^2-2cdot 2cdot x+2^2={(x-2)}^2]

Дробь имеет вид

[frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}=frac{{(x-2)}^2}{x(x-2)}=frac{left(x-2right)(x-2)}{x(x-2)}]

Теперь мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель —это выражение $x-2$, на которое произведем сокращение дроби

[frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}=frac{{(x-2)}^2}{x(x-2)}=frac{left(x-2right)(x-2)}{x(x-2)}=frac{x-2}{x}]

Источник

Сокращение алгебраических дробей

Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Другими словами, алгебраическая дробь — это деление двух многочленов, записанное с помощью дробной черты.

Любую алгебраическую дробь можно представить в виде выражения:

где a и b — это многочлены и b≠0.

Дробная черта в записи алгебраической дроби заменяет собой скобки, которые должны были бы присутствовать, если частное было бы записано не в виде дроби:

(a + 3) : (a2 + 9) =	a + 3	.
	a2 + 9

Примеры алгебраических дробей:

a + 3	;	7	;	1	.
a2 + 9		x		2

Обратите внимание на последний пример: обыкновенные дроби являются одновременно и алгебраическими, так как любое число можно считать многочленом, состоящим из одного члена.

Любой многочлен можно записать в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен единице:

x2 + 2xy + y2 =	x2 + 2xy + y2	.
	1

Основное свойство алгебраической дроби:

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, равная данной.

В виде буквенной формулы основное свойство алгебраической дроби можно записать так:

a	=	a · c	и	a	=	a : c
b	=	b · c	и	b	=	b : c	,

где c≠0.

Используя основное свойство алгебраических дробей, выполняют их сокращение. Сокращение алгебраических дробей — это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо числитель и знаменатель разложить на множители. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если у числителя и знаменателя общих множителей нет, то дробь является несократимой.

Пример 1. Сократить дробь:

Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители, выделим их общий множитель и сократим дробь на него:

ab2 + bc	=	b(ab + с)	=	ab + с	.
ab2		b · ab		ab

Пример 2. Упростить дробь:

Решение: Сначала мы можем сократить дробь на общий множитель x в первой степени:

3x(a + b)	=	3(a + b)	.
x2(b — a)		x(b — a)

Теперь стоит внимательно посмотреть на многочлены, заключённые в скобки:

a + b и b — a.

Чтобы многочлен из знаменателя привести к тому же виду, что и у многочлена в числителе, надо поменять у многочлена b — a знак на противоположный и переставить члены местами:

b — a = -(-b + a) = -(a — b).

Теперь и в числителе и в знаменателе у нас есть общий множитель, который можно сократить:

3(a + b)	=	3(a + b)	= —	3	.
x(b — a)		—x(a + b)		x

Пример 3. Сократите дробь:

Решение: Числитель и знаменатель дроби являются одночленами. Каждый одночлен — это произведение, состоящее из множителей, значит, можно сразу переходит к сокращению:

Начинаем с числового множителя. Числовые множители можно сократить на их наибольший общий делитель. Для чисел 24 и 16 — это число 8. После сокращения от 24 останется 3, а от 16 — 2.
Буквенные множители сокращаем на степень с наименьшим встречающимся показателем:
- a и a5 сокращаем на a. Единицу в числитель не пишем, а в знаменателе остаётся a4.
- b3 и b3 сокращаем на b3, единицы в результат не записываем.
- c5 и c сокращаем на c, в числитель пишем c4, в знаменатель не пишем ничего.

Следовательно:

24ab3c5	=	3c4	.
16a5b3c		2a4

Источник