Какие прямые называются перпендикулярными каким свойством они обладают

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве. Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными. Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Определение 1

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 90 градусов.

Перпендикулярность обозначается «⊥», а запись принимает вид a⊥b, что значит, прямая a перпендикулярна прямой b.

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной. В трехмерном пространстве прямые Ox, Oz, Oy перпендикулярны попарно: Ox и Oz, Ox и Oy, Oy и Oz.

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Теорема 1

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b.

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Доказательство 1

Пусть введена прямоугольная декартова система координат Оху с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b. Направляющие векторы прямых a и b обозначим a→ и b→. Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a→ и b→. Это возможно только при скалярном произведении векторов a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) равном нулю, а запись имеет вид a→, b→=ax·bx+ay·by=0. Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b, находящихся в прямоугольной системе координат Оху на плоскости, является a→, b→=ax·bx+ay·by=0, где a→=(ax, ay) и b→=bx, by — это направляющие векторы прямых a и b.

Условие применимо, когда необходимо найти координаты направляющих векторов или при наличии канонических или параметрических уравнений прямых на плоскости заданных прямых a и b.

Пример 1

Заданы три точки A (8, 6), B(6, 3), C(2, 10) в прямоугольной системе координат Оху. Определить, прямые АВ и АС перпендикулярны или нет.

Решение

Прямые АВ и АС имеют направляющие векторы AB→ и AC→ соответственно. Для начала вычислим AB→=(-2, -3), AC→=(-6, 4). Получим, что векторы AB→ и AC→ перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

AB→, AC→=(-2)·(-6)+(-3)·4=0

Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, АВ и АС перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Пример 2

Определить, заданные прямые x-12=y-73 и x=1+λy=2-2·λ перпендикулярны или нет.

Решение

a→=(2, 3) является направляющим вектором заданной прямой x-12=y-73,

b→=(1, -2) является направляющим вектором прямой x=1+λy=2-2·λ.

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a→ и b→. Выражение будет записано:

a→,b→=2·1+3·-2=2-6≠0

Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается в виде a→, b→=ax·bx+ay·by+az·bz=0, где a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.

Пример 3

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x2=y-1=z+10 и x=λy=1+2·λz=4·λ

Решение

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a→=(2, -1, 0) и b→=(1, 2, 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a→,b→=2·1+(-1)·2+0·4=0.

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Теорема 2

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a с вектором b, это и есть необходимое и достаточное условие.

Доказательство 2

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых. То есть при наличии общего уравнения прямой вида Ax+By+C=0, уравнения прямой в отрезках вида xa+yb=1, уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y=kx+b координаты векторов возможно найти.

Пример 4

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3x-y+2=0 и x32+y12=1.

Решение

Исходя их уравнений, необходимо найти координаты нормальных векторов прямых. Получим, что nα→=(3, -1) — это нормальный вектор для прямой 3x-y+2=0.

Упростим уравнение x32+y12=1 до вида 23x+2y-1=0. Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем в такой форме nb→=23, 2.

Векторы na→=(3, -1) и nb→=23, 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0. Получим na→, nb→=3·23+(-1)·2=0.

Необходимое и достаточное условие было выполнено.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y=k1x+b1, а прямая b — y=k2x+b2, отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k1, -1) и (k2, -1). Само условие перпендикулярности сводится к k1·k2+(-1)·(-1)=0⇔k1·k2=-1.

Пример 5

Выяснить, перпендикулярны ли прямые y=-37x и y=73x-12.

Решение

Прямая y=-37x имеет угловой коэффициент, равный -37, а прямая y=73x-12- 73.

Произведение угловых коэффициентов дает значение -1, -37·73=-1, то есть прямые являются перпендикулярными.

Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема 3

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Доказательство 3

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 6

Определить, являются ли заданные прямые x-y-1=0 и x0=y-42 перпендикулярными.

Решение

Получаем, что нормальный вектор прямой x-y-1=0 имеет координаты na→=(1, -1), а b→=(0, 2) — направляющий вектор прямой x0=y-42.

Читайте также: Какие свойства у лука

Отсюда видно, что векторы na→=(1, -1) и b→=(0, 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t, чтобы выполнялось равенство na→=t·b→. Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Источник

План-конспект урока

Предмет: Геометрия

Название урока: Перпендикулярный мир

Класс: 7

Тема урока: Перпендикулярность прямых

Связь данного урока с предыдущими и последующими уроками: урок введения базового понятия геометрии, необходимого для решения задач в последующих темах

Тип урока: урок введения нового материала

Цели в блоках достижения:

личностных результатов:

самопознание (выявление субъектного опыта);
формирование коммуникативной компетентности (диалог с учителем);
развивать логическое мышление; воспроизводить изученную информацию, рассуждать и обобщать;

метапредметных результатов:

умение осознанно использовать речевые средства в соответствии с задачей коммуникации (ответы на вопросы);
умение оценивать правильность выполнения учебной задачи;

Предметных результатов:

умение распознавать перпендикулярность(по рисунку);
развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера.

Материалы и оборудование: учебник «Геометрия. 7 — 9 классы. Атанасян Л.С. и др. 20-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — 384 с.»

Проектор, компьютер, доска

УУД:

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей

Коммуникативные: умеют слушать партнера, аргументировать, отстаивать свое мнение

Личностные: проявляют способность к восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

_______________________________________________________________

Ход урока:

Ι.Самоопределение в деятельности

Приветствие

Здравствуйте, ребята, садитесь. Сегодня речь пойдет о понятии, которое безусловно известно каждому. Итак, приступим к разгадке этого понятия.

Формируемые УУД: коммуникативные, регулятивные

ΙΙ.Учебно – познавательная деятельность

1. Создание учебной доминанты

Я вам сейчас сообщу ряд определений, которые содержат одно и то же «слово»…постарайтесь понять, какое…в конце урока попробуете объяснить, почему в этих определениях содержится это слово.

(там, где в расшифровке определения есть слово перпендикулярность, заменяю на пропуски)

Если между вами возник спор, конфликт, то не правы, скорее всего, вы оба. Надо попытаться отказаться от обеих точек зрения, и попытаться найти иной, «перпендикулярный» путь решения, перевести вопрос в иную плоскость ( «Принцип перпендикулярности»);
Формирование перпендикулярных отверстий с помощью вращающегося и вибрирующего сверла специальной конструкции, перемещающегося точно по периферии перпендикулярной втулки или кондуктора (Перпендикулярное сверление);
Условное название позднего этапа развития английской готики (1350—1539 гг.; иногда «верхнюю» дату относят к 1550 г.). Характеризуется преобладанием прямоугольных панелей и перпендикулярных пересечений вертикальных и горизонтальных рам огромных окон, занимающих значительную часть стен кафедральных соборов («ПЕРПЕНДИКУЛЯ́РНЫЙ», ИЛИ «ВЕРТИКА́ЛЬНЫЙ», СТИЛЬ (англ. «Perpendicular Style»));
Это один из методов записи данных на накопители на жестких магнитных дисках. Представляет собой технологию, при которой биты информации сохраняются в вертикальных доменах. Данный метод позволяет использовать более сильные магнитные поля и снизить площадь материала, необходимую для записи 1 бита. Плотность записи у современных образцов — 100—150 Гбит/дюйм² (15-23 Гбит/см²), в дальнейшем планируется довести плотность до 400—500 Гбит/дюйм² (60—75 Гбит/см²). (Метод перпендикулярной записи );
Один из самых распространенных видов парковки на стоянках: у супермаркетов, вокзалов, аэропортов (Перпендикулярная парковка).

2. Выявление субъектного опыта

что объединяет следующие рисунки?

(ответ…все постройки перпендикулярны(вертикальны…) к земле

Итак….сегодня мы будем изучать перпендикулярность прямых.

3. Актуализация знаний (5 мин)

Какие углы называются смежными (вертикальными)?

Каким свойством они обладают?

4. Объяснение нового материала

Историческая справка.

Изучая геометрические фигуры, вы уже не раз встречались с перпендикулярными прямыми. Например, смежные стороны прямоугольника перпендикулярны. Как убедиться в том, что две линии (прямые) перпендикулярны? С древних пор строители проверяли перпендикулярность стены основанию дома с помощью отвеса, то есть грузика на веревке. Отсюда и произошло название перпендикуляра: латинское “перпендикулярис” означает “отвесной”. Чтобы построить перпендикуляр к прямой, достаточно построить прямой угол. Это вы умеете делать с помощь чертежного треугольника и с помощью транспортира.

Итак….какой мы можем сделать вывод? Какие прямые называются перпендикулярными?

— Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Для обозначения перпендикулярности прямых a и b, будем пользоваться символом ┴

Теорема.

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и только одну.

Доказательство (доказываем эту теорему)

Пусть a – данная прямая, а точка A принадлежит прямой. Кроме того, [AB) – один из лучей прямой a. Тогда от луча AB можно отложить угол BAC, равный 90°. По определению прямая AC a

Докажем, что такая прямая AC единственная. Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку A, не совпадающая с прямой AC и перпендикулярная к прямой a. Пусть D – какая-либо точка этой прямой, лежащая в той же полуплоскости от a, что и точка С. Тогда BAC = BAD = 90°. Но это противоречит аксиоме, по которой от прямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Теорема доказана.

Перпендикулярные прямые обладают интересными свойствами:

1.Через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую её.

2.Если точку взять на самой прямой, то через эту точку проходит бесконечное число прямых, перпендикулярных данной прямой.

Формируемые УУД: познавательные, коммуникативные, регулятивные

ΙΙΙ. Интеллектуально– преобразовательная деятельность

Упражнение: найдите на рисунке пары перпендикулярных прямых с помощью транспортира или угольника…

Упражнение: Изобразите куб. Выделите разным цветом пары перпендикулярных ребер; объясните свой ответ.

Закрепление изученного материала

Правильны ли следующие высказывания? (объясните ответ)

Если прямые пересекаются, значит, они перпендикулярны.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной который имеет одним из своих концов их общую точку.

Формируемые УУД: познавательные, коммуникативные, регулятивные, личностные

ΙV. Контроль и оценка результатов деятельности. Рефлексия

Выявление субъектного опыта

Вернитесь к ответам на вопросы в начале урока. Вот правильные ответы (учитель сообщает их). Так почему же все эти определения содержат понятие перпендикулярности? (учащиеся отвечают).

Рефлексия

Закончи фразу: «Сегодня на уроке я понял, что……….»

«Сегодня на уроке мне понравилось…………»

Постановка домашнего задания

Формируемые УУД: коммуникативные, регулятивные, личностные

Источник