Какие из перечисленных свойств определителя справедливы
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А (или |A|, или ), называемое ее определителем, следующим образом:
Определитель матрицы A также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Пример 4.1. Найти определители матриц
Решение:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:
Пример 4.2. Вычислить определитель матрицы
Решение:
det А = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.
Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.
Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Иными словами,
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Действительно,
Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Например,
Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одною ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные па любое число.
Пример 4.3. Доказать, что
Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3 подучим
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Минором некоторого элемента аij определителя n-гопорядка называется определитель n — 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, па пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Aij :
Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что
В самом деле, имеем
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
Пример 4.4. Вычислите определитель матрицы
Решение: Для разложения определителя обычно выбирают гот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.
Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Так, например,
определители
Мы уже связали с каждой матрицей размера целое число — ее ранг, равный
числу строк ступенчатой матрицы , эквивалентной данной матрице , т.е. полученной из матрицы с помощью элементарных
преобразований ее строк. При этом , где .
Ранг
для нулевой матрицы
(все элементы которой равны нулю). Для квадратной матрицы порядка справедливы
неравенства . Если , то мы уже называли такую квадратную матрицу невырожденной.
Примерами
невырожденных матриц могут служить единичные матрицы произвольного порядка,
треугольные (в частности, диагональные) матрицы без нулей на главной диагонали. Если же в треугольной (диагональной) матрице на главной
диагонали есть хотя бы один нулевой элемент, то она, очевидно, является вырожденной.
Поставим
теперь в соответствие каждой квадратной матрице еще одно число (не обязательно
целое) – определитель матрицы, или
просто определитель.
Назовем
определителем (или детерминантом)
треугольной (диагональной) матрицы произведение элементов ее главной диагонали. Будем для определителя
использовать обозначения или .
Тогда
для единичной матрицы любого порядка . Для треугольной матрицы
.
Для
произвольной квадратной матрицы введем понятие
определителя следующим образом: , где — треугольная матрица,
полученная из матрицы с помощью элементарных
преобразований строк (столбцов) только
одного типа (третьего): прибавление к одной строке другой строки,
умноженной на число, отличное от нуля.
Пример 1. Вычислите определитель матрицы
.
Решение.
.
Ответ: .
Выведем формулы для вычисления детерминанта произвольной матрицы второго и
третьего порядков по ее исходным элементам, а затем с помощью полученных формул
обсудим общие свойства определителей.
Пусть
1)
Если , то
Таким образом
при
. | (1) |
2)
Если , , то
и
формула (1) сохраняется и в этом случае.
3)
Если , , то (матрица содержит нулевой столбец). С другой стороны, ,.
По формуле (I0) получили бы тот же
результат: =.
Итак, формула (I0) верна для определителя
любой матрицы второго порядка.
Пусть теперь .
Без ограничения общности
можем считать (в противном случае
поступим как в пункте 2) или 3) для определителя матрицы второго порядка).
Тогда
~ .
1)
Сначала рассмотрим случай .
Тогда
~ ~
~ ,
.
Таким образом, при ,
. | (2) |
2)
Пусть теперь , но .
Тогда
~ ~
~ ~
~
т.к.
.
Получена та же формула (2),
что и в случае 1).
3) Пусть теперь и . В этом случае
~
.
Легко проверяется справедливость
формулы (2) и в этом случае.
Итак, для определителя
матрицы третьего порядка (или короче, для определителя третьего порядка)
справедлива формула
. | (2) |
Из формул (1) и (2) легко
следует равенство
,
правая часть которого представляет собой алгебраическую сумму
произведений элементов первой строки на некоторые определители матриц второго порядка,
состоящих из элементов остальных строк (второй и третьей) матрицы с сохранением их
расположения.
Каждая такая матрица может
быть получена из матрицы вычеркиванием первой строки
и одного из столбцов (первого, второго, третьего), а их определители называются
минорами элементов первой строки матрицы или минорами элементов первой строки ее определителя.
Если, как обычно, элементы
матрицы обозначить , а соответствующие им миноры — , то полученное равенство примет вид:
или | , | (3) |
где число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы .
Принято говорить, что
формула (12) представляет собой разложение определителя третьего порядка по
элементам первой строки.
Точно так же читатель может
получить аналогичные формулы разложения определителя третьего порядка по
элементам второй и третьей строки и по элементам любого столбца. Например, в случае второго столбца формула разложения
имеет вид:
.
Для произвольной (-й) строки и произвольного (-ого) столбца
соответствующие разложения имеют вид:
Пусть теперь — произвольная квадратная
матрица порядка : , здесь — номер строки, — номер столбца.
Матрица , у которой произвольный
(-й) столбец совпадает
с соответствующей (-й)
строкой матрицы , называется транспонированной к
матрице . Следовательно, если , , то .
Заметим, что понятие
транспонированной матрицы может быть
введено для произвольной матрицы (не обязательно квадратной).
Так, например, для
матрицы
транспонированная
матрица имеет вид
.
Как и выше, определитель квадратной матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, назовем минором
элемента , а величину алгебраическим дополнением элемента
матрицы .
Для краткости вместо
выражения «определитель матрицы» часто говорят просто
«определитель» , используя при этом
следующие обозначения:
.
Определитель обладает
следующими свойствами:
1.
Определитель не меняется при транспонировании, т.е. при
замене его строк соответствующими
столбцами и наоборот: .
2.
При перестановке местами любых двух строк (столбцов)
определитель лишь меняет знак.
3.
Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца),
равен нулю.
4.
Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен
нулю.
5.
Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя
умножить на некоторое число , то сам определитель умножается на .
5′. Общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца)
можно вынести за знак определителя.
6.
Определитель, имеющий две пропорциональные строки (столбца), равен
нулю.
7.
Если все элементы -й строки определителя
представлены в виде суммы двух слагаемых
, ,
то определитель равен
сумме двух определителей, у
которых все строки, кроме -й, такие же, как и в
исходном определителе, а -я строка в одном из слагаемых определителей состоит из
элементов , в другом – из
элементов .
Аналогичное свойство имеет место и для столбцов определителя.
8.
Определитель не
изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку
(столбец), умноженную на любое число.
9.
Определитель равен сумме произведений элементов
произвольной его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
. | (5) |
10. Сумма
попарных произведений элементов какой-либо строки
(столбца) на алгебраические дополнения элементов другой («чужой»)
строки (столбца) равна нулю:
, если , , если . |
Перечисленные свойства
легко могут быть проверены читателем для определителей второго и третьего порядков
с использованием формул (1) и (2), что мы частично уже сделали.
Обратим внимание на
свойство 8. Это единственное
из элементарных преобразований строк (столбцов) матрицы было положено нами в
основу понятия определителя, и только оно сохраняет его величину:
согласно свойству 2 при перестановке
любых двух строк (столбцов) определитель, вообще говоря, меняет свое значение;
то же самое происходит (согласно свойству 5) при умножении строки (столбца) определителя на
некоторое число; выбрасывание же нулевой строки (столбца) нарушает
размер матрицы – она перестает быть квадратной.
Отметим также, что матрицы и имеют одинаковые
ранги, так как они эквивалентны ( получается из с
помощью элементарных преобразований, хотя и одного вида), и если матрица вырожденная, т.е. , то матрица содержит нулевую
строку и поэтому .
Верно и противоположное
утверждение: если матрица невырожденная, т.е. , то на главной диагонали матрицы нет нулевых элементов
(), и поэтому . Таким образом, матрица является вырожденной тогда и только тогда , если ее определитель
равен нулю ().
Интересно отметить, что и при
всех остальных элементарных преобразованиях строк (столбцов) невырожденной
матрицы (очевидно, кроме
выбрасывания нулевой строки (столбца)) ее определитель, хотя и изменяет свои
значения, но не обращается в ноль (что следует из свойств 2 и 5 определителя).
Заметим, что формулы (5),
обобщающие выведенные нами формулы (4), могут быть приняты за индуктивные
определения детерминанта произвольного порядка через детерминанты порядка (на единицу ниже).
Так, для вычисления определителя четвертого порядка по одной из формул (5)
потребуется вычислить четыре определителя третьего порядка. Если при этом
воспользоваться формулой (2), то это
приведет к довольно утомительным
вычислениям. А что будет, если потребуется вычислить определитель более
высокого порядка, например, седьмого?
Конечно, если некоторые
элементы строки (столбца), к которой мы применяем свойство 9, окажутся нулями,
то нет необходимости вычислять
соответствующие им миноры.
Поэтому практичнее, не
отказываясь от применения свойства 9 (формулы (5)), использовать свойство 8 для
создания в какой-либо строке (столбце) возможно большего числа нулей.
Пример 2. Вычислите
разложением по элементам третьей строки определитель четвертого порядка
.
Решение.
.
Вычисление определителей третьего
порядка производилось по формуле (2).
Ответ:.
Пример 3. Вычислите,
используя свойство 8, определитель предыдущего примера.
Решение.
Ответ: .
Пример 4. Вычислите определитель шестого порядка
.
Решение.
По свойству 6 определитель
равен нулю, так как его первый и шестой столбцы пропорциональны.
Ответ: .
Пример 5. Вычислите определитель пятого порядка
.
Решение.
Ответ: .
Заметим, что при решении
примера 33 мы еще использовали свойство 5′ определителя.
Используя свойства
определителей, рассмотрим теперь еще один способ получения обратной матрицы.
Для произвольной
квадратной матрицы порядка введем понятие присоединенной матрицы
,
элементами которой являются алгебраические дополнения
соответствующих элементов матрицы , транспонированной к матрице :
.
Считаем матрицу невырожденной, т.е. , так как в противном случае, как отмечалось выше, матрица не имеет обратной.
Проверим, что матрица
,
т.е.
является обратной для матрицы .
Только для краткости записи
рассмотрим в качестве матрицу третьего
порядка. Тогда, с учетом свойств 9 и 10
определителей, получим
.
Совершенно аналогично
проверяется, что
,
и мы
доказали, что обратную матрицу можно находить с помощью формулы
. | (6) |
Пример 6. Найдите
обратную матрицу для матрицы
.
Решение.
Определитель матрицы
Следовательно,
обратная матрица существует. Вычислим
алгебраические дополнения элементов
матрицы :
, ,
, ,
, ,
, ,
.
По формуле (6)
.
Проверим вычисления:
.
Ответ:
.
Пример 7. Найдите
обратную матрицу для матрицы
.
Решение.
Определитель матрицы
= .
Матрица вырожденная и не имеет
обратной.
Ответ: матрица не имеет обратной.
Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >> Определители и их свойства
Определители и их свойства. Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
. (4.3)
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
, (4.4)
где индексы q1, q2,…,qn составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,…, n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или detA = (детерминант, или определитель, матрицы А).
Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j = 1,…,n), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом — из элементов cj.
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +… + ai n Ai n (i = 1,…,n)
или j- го столбца
d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +… + an j An j (j =1,…,n ).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Формула вычисления определителя третьего порядка.
Для облегчения запоминания этой формулы:
Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.
Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.
Пример 2.5. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.
Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:
D = a12A12 + a22A22+a32A32=
.
Пример 2.6. Вычислить определитель
,
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
Решение. Разложим определитель А по первой строке:
.
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:
.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22… ann.
Пример 2.7. Вычислить определитель .
Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.