Какие есть математические свойства

Дорогие друзья! Сегодня на странице своего канала я размещаю публикацию своего друга, математика, специалиста в области проективной геометрии Франца Германа. Его работы очень помогли мне в постижении многих премудростей геометрической науки. Всем, кто серьёзно думает заняться вопросами Пространства, я рекомендую ознакомиться с его публикациями на его личном сайте. Франц живёт и работает в Германии, серьёзно увлекается футболом и квантовой физикой элементарных частиц. И хотя наши взгляды на разные темы не всегда совпадают, я с уважением отношусь к любой его точке зрения. Итак.

Основное свойство математики

Спросите у своих знакомых, знают ли они основное свойство математики. Скорее всего, если вы не профессиональный математик, то ответ будет отрицательным. А какие вообще свойства присущи этой науке? Кто-то скажет, что математика непонятна. А для кого-то математика является интересной. Кто-то скажет, что она таинственна, кто-то увидет в ней поэзию… Лейбниц назвал еѐ «музыкой души». Гильберт сравнил огромным садом. Сколько людей вы спросите, столько ответов и получите. Так всѐ-таки существует ли основное свойство математики и как оно звучит? На этот вопрос ответят лучше всего наверное сами математики. Математика – это научное чудо. Одно из главных свойств математики в том, что она призвана помогать другим наукам. Карл Маркс говорил, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаѐтся пользоваться математикой». Возможно математика является хранительницей истины в последней инстанции. А ведь математика создана, как и вся наука, человеческим разумом. А. Н. Колмогоров, например, так определяет математику: «математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой». Не будем томить неискушѐнного читателя. Учѐные пришли к выводу, что основное свойство математики проявляется в том, что математика почему-то описывает законы природы и «…точность этих законов, если над ней задуматься, обладает всеми элементами чуда». Эти слова принадлежат выдающемуся физику-теоретику, лауреату Нобелевской премии Е. Вигнеру. Наверно, один из первых, кто обратил на это математическое свойство внимание, был выдающийся итальянский учѐный Галилей, когда в конце шестнадцатого века сбрасывал шары различной массы с Пизанской башни и открыл закон свободного падения: скорость падающего тела пропорциональна времени падения и не зависит от его массы (Аристотель был не прав). Спустя чуть больше полувека Ньютон открыл свой знаменитый закон всемирного тяготения. Примерно в это же время, используя огромный архив астрономических наблюдений, Кеплер открыл законы движения небесных тел, а Ньютон показал, что эти законы выводятся чисто математически. Наверное с этого времени и началось победное шествие главного математического свойства. Учѐные физики стали описывать законы природы на языке математики. Планета Уран была открыта «на кончике пера». Были рассчитаны параметры орбиты Урана, а чуть позже астрономы увидели еѐ визуально в телескоп. Великий английский учѐный Фарадей был самоучкой. Он описывал все свои опыты с электричеством словесно, без единой математической формулы. Он просто не знал математики. Однако, чуть позже не менее великий его соотечественник Дж. Максвелл, когда познакомился с трудами Фарадея, понял, что опыты эти очень хорошо описываются математикой. Так родилась электродинамика и открыла собой эру теоретической физики. Теоретическая физика – это наука, инструментом которой и является математика. А на основе еѐ построений физики-экспериментаторы проверяют на своих опытах построения теоретиков. Сегодня физические эксперименты с невероятной точностью подтверждают математические расчѐты теоретиков. Например, в квантовой электродинамике такая точность доходит аж до одиннадцатого знака после запятой. В настоящее время всѐ естествознание буквально пронизано математикой. Более того экономические науки, биология, медицина невозможны сегодня без математики. Компьютеризация и нанотехнологии с их невообразимыми по сложности коллайдерами и космическими аппаратами основаны на фундаментальных принципах математической науки. В общем вся современная деятельность человечества невозможна без математики. Но давайте заглянем и в саму математику. Любая математическая теория является более фундаментальной, чем меньше аксиом требуется для еѐ определения. В математике такой теорией является теория групп. Для еѐ определения требуется всего четыре аксиомы. Сегодня ни одно направление в математике не может обойтись без теории групп. При помощи теории групп строятся новые геометрии, о чѐм математики прошлого не могли даже и мечтать. Любой математический аппарат, где используется современная топология, не может обойтись без теории групп. Теорию групп порой называют теорией симметрии. Методы теории групп используются не только в самой математике, но и в других науках. Например, в квантовой механике и физике элементарных частиц, современной кристаллографии и такой абстрактной науке, как общая теория систем. Теория групп – это любимое детище математиков ХХ века и современности. Однако, вернѐмся к основному свойству математики – почему законы природы описываются с невероятной точностью математикой? Мне представляется такая схема (Рис. 1).

Природа — (П) — по каким-то законам, отвечающим самым глубоким и фундаментальным законам математики — (М) — создала человеческий разум — (Р):

Разум, постигая природу, создаёт мощнейший инструмент познания – математику:

Математика, движимая разумом помогает понять тайны природы:

Цикл замкнулся. Мне кажется, что в этом и есть суть вечного развития и познания природы, познания истины.

Можно подвести итог: МИР САМОВОЗНИК И САМОРАЗВИВАЕТСЯ ПО ЗАКОНАМ МАТЕМАТИКИ.

Но будущих Лобачевских, Ньютонов и Эйнштейнов ещё ждёт множество научных открытий. Ещё не создана теория вселенского разума (ТВР), ещё не открыты фундаментальные теоремы и уравнения ТВР.

Ф. Герман.

Всего Вам доброго.

Источник

Элемента́рная а́лгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами.

Основные понятия[править | править код]

В алгебре принято записывать математические выражения (формулы) в самом общем виде, заменяя конкретные числа на буквенные символы, благодаря чему при решении однотипных задач достигается максимальная общность результата. Основным содержанием алгебры являются правила тождественных преобразований формул, необходимые для решения уравнений, анализа зависимостей, оптимизации изучаемой системы и других практических задач[1].

Кроме букв и чисел, в формулах элементарной алгебры используются арифметические операции: (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и элементарные функции (логарифм, тригонометрические функции). Две формулы, соединённые знаком равенства, называются уравнением.

Если символ операции между двумя выражениями не указан, подразумевается умножение:

Пример формулы: площадь треугольника следующим образом выражается через длину одной из сторон и длину высоты , опущенной на сторону :

Простейшее алгебраическое выражение — это одночлен, состоящий из числового множителя, умноженного на один или более буквенных символов[2]. Примеры:

Алгебраические суммы (то есть суммы и/или разности) одночленов называются многочленами. Выражения, имеющие вид частного от деления одного многочлена на другой, называется алгебраической дробью. Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями — разложение числителя и знаменателя на множители, приведение нескольких дробей к общему знаменателю, сокращение числителя и знаменателя на общий множитель и т. п.

Законы элементарной алгебры[править | править код]

Вычисление значения выражения[править | править код]

Порядок выполнения операций указывается скобками. Если скобок нет, то приоритетность, в порядке убывания, следующая.

Возведение в степень.
Вычисление функции.
Умножение и деление.
Сложение и вычитание.

Примеры:

При вычислении значения выражения вместо буквенных символов подставляют их числовые значения, соответствующие конкретной задаче. Множество числовых значений, при которых выражение имеет смысл, называется областью допустимых значений этого выражения[3]. Пример: для выражения область допустимых значений — все пары , в которых .

Свойства операций[править | править код]

Коммутативность (перестановочное свойство) сложения:

Вычитание есть действие, обратное сложению.
Вычитание числа b равносильно сложению с числом, противоположным b:

Коммутативность (перестановочное свойство) умножения:

Деление есть действие, обратное умножению.
Деление на нуль невозможно.
Деление на число b равносильно умножению на число, обратное к b:

Свойства равенства[править | править код]

Другие законы[править | править код]

Некоторые алгебраические тождества[править | править код]

Решение уравнений[править | править код]

Уравнение — это равенство вида:

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений неизвестных переменных, при которых это равенство достигается. На возможные значения переменных могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений — одна из главных задач алгебры и вообще математики, в ходе исторического развития науки были разработаны многочисленные методы (алгоритмы) для различных разновидностей этой задачи.

Исторический очерк[править | править код]

О происхождении названия науки см. алгебра.

Идея записывать общие свойства чисел и вычислительные алгоритмы на особом символическом метаязыке появилась давно, однако первоначально буквенные символы в уравнениях обозначали только неизвестные, значения которых следует найти, а для прочих членов уравнения записывали конкретные числовые значения. Мысль о том, что известные величины (коэффициенты) тоже полезно для общности обозначать символами, пробивала себе путь медленно.

Впервые, насколько можно судить по дошедшим до нас древним сочинениям, развитая алгебраическая система появляется в «Арифметике» Диофанта (IV век). Вряд ли можно сомневаться, что у него были предшественники, как они имелись у Евклида, Архимеда и других, однако мы ничего не знаем ни о людях, ни о трудах, на которые мог опираться этот замечательный алгебраист. Да и последователей у него не было до XV века. Впрочем, в Европе с переводом «Арифметики» познакомились только в XVI веке, и методы Диофанта оказали огромное влияние на Виета и Ферма.

Основная проблематика «Арифметики» — нахождение рациональных решений неопределённых уравнений (многочленов произвольной степени) с рациональными коэффициентами. У Диофанта используется буквенная символика, правда, по-прежнему только для неизвестных. Во введении к «Арифметике» Диофант принимает следующие обозначения: неизвестную он называет «числом» и обозначает буквой ξ, квадрат неизвестной — символом и т. д. Особые символы обозначали отрицательные степени, знак равенства и даже, похоже, отрицательные числа (есть даже правило знаков: минус на минус даёт плюс). Всё прочее выражается словесно. Сформулированы многие привычные нам правила алгебры: смена знака при переносе в другую часть уравнения, сокращение общих членов и др.

Индийские математики средневековья тоже далеко продвинулись в алгебре; их символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка (засорена словами).

В Европе, в книгах «Арифметика» и «О данных числах» Иордана Неморария (XIII век) усматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени не отделившейся от геометрии. У него, а также у Фибоначчи уже встречаются выражения вроде «a лошадей за f дней съедают e мер овса». Однако в общую концепцию изложения символизм у них ещё не включён.

Крупнейший алгебраист XV века Лука Пачоли вводит свой аналог алгебраической символики, ещё не слишком общий и не слишком удобный.

Концептуальную реформу и коренные улучшения алгебраического языка ввёл в конце XVI века Франсуа Виет, адвокат по профессии, математик по склонности души. Он чётко представлял себе конечную цель — разработку «нового исчисления», своего рода обобщённой арифметики. Виет обозначал буквами все коэффициенты (кстати, именно Виет придумал этот термин). Все задачи решаются в общем виде, и только потом приводится числовые примеры. Виет свободно применяет алгебраические преобразования, замену переменных и другие алгебраические приёмы.

Система Виета вызвала всеобщее восхищение. Она позволила описать законы арифметики и алгоритмы с немыслимыми
ранее общностью и компактностью, облегчила и углубила исследование общих числовых законов. Однако символика Виета была непохожа на современную, местами громоздка, и учёные разных стран приступили к её совершенствованию.

Англичанин Томас Хэрриот в своём посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной символике: он обозначает переменные строчными буквами, а не заглавными, как у Виета, использует знак равенства, а также придуманные им символы сравнения «>» и «<».

Практически современный вид алгебраической символике придал Рене Декарт (середина XVII века, трактат «Геометрия»). Итогом и завершением этого процесса стала «Универсальная арифметика» Ньютона. Некоторые оставшиеся тонкости уточнил Эйлер.

См. также[править | править код]

Общая алгебра
Алгебра
Задача Тарского по школьной алгебре
Знаки операций
История математических обозначений

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.

Источник

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

Символ TeX
(Команда TeX)Символ (Юникод)НазваниеЗначениеПримерПроизношениеРаздел математики(Rightarrow)

(rightarrow)

(supset)⇒

→

⊃

Импликация, следование означает «если верно, то также верно».
(→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.)
(⊃ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.). верно, но неверно (так как также является решением).«влечёт» или «если…, то» или

«отсюда следует»

везде
(Leftrightarrow)⇔Равносильность означает « верно тогда и только тогда, когда верно».«если и только если» или «равносильно»везде
(wedge)∧Конъюнкция истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны., если — натуральное число.«и»Математическая логика
(vee)∨Дизъюнкция истинно, когда хотя бы одно из условий и истинно., если — натуральное число.«или»Математическая логика
(neg)¬Отрицание истинно тогда и только тогда, когда ложно .«не»Математическая логика
(forall)∀Квантор всеобщности обозначает « верно для всех ».«Для любых», «Для всех», «Для всякого»Математическая логика
(exists)∃Квантор существования означает «существует хотя бы один такой, что верно » (подходит число 5)«существует»Математическая логика=Равенство обозначает « и обозначают одно и то же значение».1 + 2 = 6 − 3«равно»везде

(

:Leftrightarrow)

(stackrel{rm{def}}{=}):=

:⇔

Определение означает « по определению равен ».
означает « по определению равносильно » (определение гиперболического косинуса)
(определение исключающего «ИЛИ»)«равно/равносильно по определению»везде{ }Множество элементов означает множество, элементами которого являются , и . (множество натуральных чисел)«Множество…»Теория множеств {|}Множество элементов, удовлетворяющих условию означает множество всех таких, что верно .«Множество всех… таких, что верно…»Теория множеств
(varnothing)

∅

{}

Пустое множество и означают множество, не содержащее ни одного элемента.«Пустое множество»Теория множеств
(in)

(notin)∈

∉

Принадлежность/непринадлежность к множеству означает « является элементом множества »
означает « не является элементом множества »«принадлежит», «из»
«не принадлежит»Теория множеств
(subseteq)

(subset)⊆

⊂

Подмножество означает «каждый элемент из также является элементом из ».
обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).«является подмножеством», «включено в»Теория множеств
(supseteq)

(supset)⊇

⊃

Надмножество означает «каждый элемент из также является элементом из ».
обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).«является надмножеством», «включает в себя»Теория множеств
(subsetneq)⊊Собственное подмножество означает и .«является собственным подмножеством», «строго включается в»Теория множеств
(supsetneq)⊋Собственное надмножество означает и .«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»Теория множеств
(cup)∪Объединение означает множество, содержащее все элементы из и«Объединение … и …», «…, объединённое с …»Теория множеств
(cap)⋂Пересечение означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и , и .«Пересечение … и … «, «…, пересечённое с …»Теория множеств
(setminus)Разность множеств означает множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих .«разность … и …», «минус», «… без …»Теория множеств
(to)→Функция (отображение) означает функцию с областью определения и областью значений .Функция , определённая как«из … в …»,везде
(mapsto)↦Отображение означает, что образом после применения функции будет .Функцию, определённую как , можно записать так:«отображается в»везде
(mathbb N) N или ℕНатуральные числа означает множество или реже (в зависимости от ситуации).«Эн»Числа
(mathbb Z) Z или ℤЦелые числа означает множество«Зед»Числа
(mathbb Q) Q или ℚРациональные числа означает«Ку» или «Къю»Числа
(mathbb R) R или ℝВещественные (действительные) числа означает множество всех пределов последовательностей из
( — мнимая единица: )«Эр»Числа
(mathbb C) C или ℂКомплексные числа означает множество«Це»Числа
(mathbb H) H илиКватернионы означает множество«Аш»Числа<
>Сравнение обозначает, что строго меньше .
означает, что строго больше .«меньше чем», «больше чем»Отношение порядка или
(leqslant или leq)
или
(geqslant или geq)⩽ или ≤
⩾ или ≥Сравнение означает, что меньше или равен .
означает, что больше или равен .«меньше или равно»; «больше или равно»Отношение порядка
(approx)≈Приблизительное равенство с точностью до 10−3 означает, что 2,718 отличается от не больше чем на 10−3. с точностью до 10−7.«приблизительно равно»Числа
(propto)∝Пропорциональность означает, что есть такое число k, что«пропорционально»везде
(sqrt{})√Арифметический квадратный корень означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт .«Корень квадратный из …»Числа
(infty)∞Бесконечность и суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.«Плюс/минус бесконечность»Числа
(left| right|)| |Абсолютная величина (абсолютное значение) числа или длина (модуль) вектора. В контексте теории множеств может иметь другой смысл — мощность множества обозначает абсолютную величину .
обозначает мощность множества и равняется, если конечно, числу элементов .«Модуль»; «мощность»Числа и Теория множеств
(sum)∑Сумма (набора чисел), сумма ряда означает «сумма , где принимает значения от 1 до », то есть .
означает сумму ряда, состоящего из .«Сумма … по … от … до …»Арифметика, Математический анализ
(prod)∏Произведение означает «произведение для всех от 1 до », то есть«Произведение … по … от … до …»Арифметика!Факториал означает произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно, то есть« факториал»Комбинаторика
(int dx)∫Интеграл означает «интеграл от до функции от по переменной ».«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»Математический анализdf/dx

f'(x)

Производная или означает «(первая) производная функции от по переменной ».«Производная … по …»Математический анализ
(partial для ∂)∂f/∂yЧастная производная означает «(первая) частная производная функции от переменных по переменной ».«Частная производная … по …»Математический анализdnf/dxn
f(n)(x)Производная -го порядка или означает «-я производная функции по переменной » (при втором способе записи, если — фиксированное число, то оно пишется либо арабскими цифрами в круглых скобках, либо римскими цифрами без скобок).«-я производная … по …»Математический анализ

Источник