Какие бывают свойства сложения и вычитания
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Сложение натуральных чисел
Для получения числа, которое следует за натуральным, нужно прибавить к нему единицу.
Пример 1
$5 + 1 = 6;$
$48 + 1 = 49$
Для сложения чисел $9$ и $3$ нужно к числу $9$ прибавить $3$ раза единицу.
Получим:
$9 + 3 = 9 + 1 + 1 + 1 = 10 + 1 +1 = 11 + 1 = 12.$
Записывают короче:
$9 + 3 = 12.$
Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а результат их сложения — суммой.
Рисунок 1.
В примере $9 + 3 = 12$:
$9$ и $3$ — слагаемые, $6$ — сумма.
Свойства сложения
Переместительное свойство (коммутативность):
При перестановке слагаемых сумма не меняется
$1 + 5 = 5 + 1 = 6.$
В общем виде переместительное свойство записывается так:
$a + b = b + a$.
Сочетательное свойство (ассоциативность):
Сумма трех и более слагаемых не изменится, если изменить порядок их сложения
$2 + ( 8 + 3 ) = ( 2 + 8 ) + 3 = 13.$
В общем виде сочетательное свойство записывается так:
$a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.$
Свойство прибавления нуля:
Если к числу прибавить нуль, то сумма будет равна самому числу
$7 + 0 = 7.$
К этому свойству можно применить переместительное свойство, получим:
Если к нулю прибавить число, то сумма будет равна прибавляемому числу
$0 + 7 = 7.$
В общем виде:
$a + 0 = 0 + a = a.$
Если точкой $C$ разделить отрезок $AB$, то сумма длин отрезков $AC$ и $CB$ будет равна длине отрезка $AB$.
Рисунок 2.
Записывается: $AB = AC + CB$.
Сложение чисел можно удобно выполнять «в столбик»:
Рисунок 3.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Вычитание натуральных чисел
Вычитание — операция, обратная сложению.
Пример 2
На тарелке лежало $7$ яблок, съели $3$ яблока. Сколько яблок осталось на тарелке?
Очевидно, что если к оставшемуся числу яблок $(x)$ добавить $3$ яблока, то их станет $7$:
$x + 3 = 7.$
Таким образом, известно одно слагаемое и сумма, нужно найти второе слагаемое.
Для этого используется вычитание:
$x = 7 — 3 = 4$, т.к. $3 + 4 = 7.$
Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым. Результат вычитания называется разностью.
Из данной задачи получаем:
$7$ — уменьшаемое, $3$ — вычитаемое, $8$ — разность.
В общем виде
Если $b + c = a$, то
Рисунок 4.
При вычитании натуральных чисел уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого:
$11 — 3 = 8; 8 > 3.$
Разность двух чисел находят, чтобы узнать на сколько уменьшаемое больше вычитаемого или на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого:
$11$ больше $3$ на $8$.
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа:
$a — ( b + c ) = a — b — c.$
Например, нужно найти значение выражения:
$123 — ( 23 + 45 ) = 123 — 68 = 55.$
Однако намного удобнее считать так:
$123 — ( 23 + 45 ) = 123 — 23 — 45 = 100 — 45 = 55.$
В этом выражении нужно вычесть сумму из числа, а можно сначала вычесть из уменьшаемого одно слагаемое, а потом из полученной разности вычесть второе слагаемое.
Например, найдем результат выражения:
$217 — 33 — 27 = 184 — 27 = 157.$
Но гораздо легче найти сумму вычитаемых и вычесть ее из уменьшаемого:
$217 — 33 — 23 = 217 — ( 33 + 27 ) = 217 — 60 = 157.$
Свойство вычитания числа из суммы:
если $c
если $c
Рассмотрим три примера с одинаковыми результатами.
$( 6 + 5 ) — 4=11 — 4=7;$
$6 + ( 5 — 4 )=6 + 1=7;$
$( 6 — 4 ) + 5=2 + 5=7.$
Откуда получаем: $( 6 + 5 ) — 4=6 + ( 5 — 4 )=( 6 — 4 ) + 5.$
Если нужно вычесть число из суммы, можно вычесть его из любого слагаемого и к полученной разности прибавить другое слагаемое.
Вычитаемое обязательно должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равным ему.
Пример 3
$( 234 + 123 ) — 134=357 — 134=223.$
Но намного удобнее считать так:
$( 234 + 123 ) — 134=234 — 134+ 123=100+ 123=223.$
Если из числа вычесть нуль, оно не изменится:
$a — 0 = a.$
Если из числа вычесть это же число, получим нуль:
$a — a = 0.$
Т.к. $9 + 0 = 9$, то по смыслу вычитания имеем:
$9 — 9 = 0$ или $9 — 0 = 9.$
Результат вычитания удобно находить «в столбик»:
Рисунок 5.
Если точкой $C$ разделяется отрезок $AB$, то разность длин отрезков $AB$ и CB$ равна длине отрезка $AC.$
Рисунок 6.
Записывается: $AB — CB = AC$ или $AB — AC = CB.$
Если $AB = 7$ см, а $CB = 4$ см, то $AC = 7 — 4 = 3$ см.
Пример 4
Решить уравнение $63 — x = 55.$
Решение:
$x = 63 — 55$, откуда $x = 8.$
Число $8$ называется корнем уравнения $63 — x = 55$, т.к. получаем верное равенство $63 — 8 = 55.$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Умножение, сложение, вычитание и деление — основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.
Сложение целых чисел. Основные свойства
Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ включает в себя множество натуральных чисел ℕ. Приведем ниже основные свойства сложения.
Коммутативное свойство сложения
Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
a+b=b+a
Согласно этому свойству, справедливо равенство:
35+251=251+35
Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.
-528+3700=3700+-528
Ассоциативное свойство сложения
Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон.
Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.
a+b+c=a+b+c
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.
Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:
64+81+(-49)=64+81+(-49)=64+81+(-49);
(128+(-75))+96=128+((-75)+96).
Свойства сложения, связанные с числом 0
1. Число нуль — нейтральный по сложению элемент.
Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.
a+0=a
2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.
a+(-a)=0
Умножение целых чисел. Основные свойства
Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.
Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.
Переместительное свойство умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется.
a·b=b·a
Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·3 эквивалентно произведению 3·2.
Сочетательное свойство умножения
Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:
a·(b·c)=(a·b)·c
a, b, c — произвольные целые числа.
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.
В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:
-12·3·8=-12·3·8;
119·((-251)·36)=(119·(-251))·36.
Умножение числа на нуль
Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.
a·0=0
Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел a и b равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
a·b=0 если a=0 или b=0.
Умножение числа на единицу
Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.
a·1=a
Распределительное свойство умножения относительно суммы.
Произведение целого числа a на сумму двух чисел b и c равно сумме произведений a·b и a·c.
a·(b+c)=a·b+a·c
Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.
В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.
Вычитание целых чисел. Основные свойства
Вычитание — действие, обратное сложению. Число c является разностью двух чисел a и b тогда, когда сумма b+c равна a. Можно сказать, что разность чисел a и b — это сумма чисел a и -b. Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.
Основные свойства вычитания
- Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=b. a-b≠b-a.
- Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0.
- Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=a-b-c.
- Вычитание целого числа из суммы: a+b-c=a-c+b=a+(b-c).
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·c.
Деление целых чисел. Основные свойства
Деление — операция, обратная умножению. Число c называется частным от деления чисел a и b, когда произведение b·c равно a. Запишем основные свойства деления целых чисел.
Основные свойства деления
- Деление на нуль невозможно.
- Деление нуля на число: 0a=0.
- Деление равных чисел: aa=1.
- Деление на единицу: a1=a.
- Для деления переместительное свойства не выполняется: ab≠ba.
- Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bc.
- Деление произведения на число: a·bc=ac·b, если a делится на c; a·bc=a·bс, если b делится на c; a·bc=a·bс=ac·b, если a и b делятся на c.
- Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1b.
Числа, действия с числами
Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.
Основные свойства сложения целых чисел
Для начала нужно сказать, что все свойства сложения натуральных чисел справедливы для сложения целых чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел. Перечислим основные свойства сложения.
Во-первых, сложение целых чисел обладает переместительным свойством. Это свойство заключается в том, что результат сложения двух целых чисел не зависит от порядка следования слагаемых. То есть, для двух целых чисел a и b справедливо равенство a+b=b+a. К примеру, в силу рассмотренного свойства справедливо равенство 3+21=21+3; также справедливо равенство (−564)+45=45+(−564); сумма целых отрицательных чисел −2 и −6 754 равна сумме (−6 754)+(−2).
Во-вторых, сложение целых чисел обладает сочетательным свойством. Сочетательное свойство заключается в том, что результат сложения целого числа с суммой двух целых чисел равен результату сложения суммы двух первых целых чисел с третьим. Это свойство сложения проще усвоить, когда оно записано в буквенном виде: a+(b+c)=(a+b)+c, где a, b, c – произвольные целые числа. Приведем пару примеров. Рассмотренное свойство сложения целых чисел позволяет говорить о справедливости равенства 54+((−17)+(−3 400))=(54+(−17))+(−3 400); аналогично сумма вида 10+((−100)+1 000) равна сумме (10+(−100))+1 000.
Следует заметить, что значение сочетательного свойства сложения целых чисел состоит еще и в том, что оно позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества целых чисел.
Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.
Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число. Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78; если к нулю прибавить целое положительное число 999, то в результате получим число 999.
Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю. Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0, где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.
Основные свойства умножения целых чисел
Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел. Перечислим основные из этих свойств.
Умножение целых чисел обладает переместительным свойством. Оно утверждает, что результат умножения двух целых чисел не зависит от порядка следования множителей. То есть, для любых целых чисел a и b справедливо равенство a·b=b·a. Например, произведение целых чисел 56 и −9 равно произведению чисел −9 и 56; также справедливо равенство (−678)·(−92)=(−92)·(−678).
Для умножения целых чисел характерно сочетательное свойство. В буквенном виде оно записывается так: a·(b·c)=(a·b)·c, где a, b, c – произвольные целые числа. Приведем пример. В силу переместительного свойства умножения целых чисел можно говорить о справедливости равенства (−12)·(56·90 003)=((−12)·56)·90 003.
Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет определить умножение трех и большего количества целых чисел.
Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число. Так 1·a=a, где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a, это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78.
Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю, то есть, a·0=0. Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.
Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0, если либо a=0, либо b=0, либо и a и b равны нулю одновременно.
Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения
Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.
Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c, то есть, a·(b+c)=a·b+a·c. Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c.
Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.
Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.
Свойства вычитания целых чисел
Мы знаем, что вычитание целых чисел является действием, обратным к сложению целых чисел. Вычитание – это действие, при котором находится неизвестное слагаемое по известной сумме и известному слагаемому (об этом мы говорили в разделе теории смысл вычитания целых чисел). То есть, целое число c является разностью целых чисел a и b, когда сумма b+c равна a.
Такое определение разности, а также свойства сложения целых чисел, позволили нам доказать, что разность целых чисел a и b равна сумме числа a и числа −b, противоположного b. То есть, a−b=a+(−b) (доказательство этого равенства приведено в разделе теории правило вычитания целых чисел).
Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a, b и c – произвольные целые числа):
- Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a.
- Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0.
- Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c.
- Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c.
- И все другие свойства вычитания целых чисел.
Свойства деления целых чисел
Рассуждая о смысле деления целых чисел, мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b, когда произведение c·b равно a.
Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:
- Никакое целое число нельзя делить на нуль.
- Свойство деления нуля на произвольное целое число a, отличное от нуля: 0:a=0.
- Свойство деления равных целых чисел: a:a=1, где a – любое целое число, отличное от нуля.
- Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a.
- В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a.
- Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c, где a, b, и c такие целые числа, что и a и b делится на c, и c отлично от нуля.
- Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c, отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b, если a делится на c; (a·b):c=a·(b:c), если b делится на c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c), если и a и b делятся на c.
- Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a, b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b.
- Любые другие свойства деления целых чисел.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
Некогда разбираться?
Закажите решение