Какая функция не обладает следующим свойством если значение
Автор:
Ирина Понарина, Мочёнова Ксения, Деревянкин Денис
При изучении курса алгебры и начал анализа 10 – 11 классов мы используем задания, которые могут показаться непривычно трудными по сравнению с обычным набором упражнений. Задания, при выполнении которых ученики не испытывают затруднений, оказываются практически бесполезными в плане развития мышления, приоритетном аспекте обучения математике. Важно только, чтобы эти затруднения были преодолимы и ученикам вовремя предоставлялась помощь в их преодолении, особенно, если задания выполняются в домашней работе.
В силу различных причин ребенок на уроке иногда( а если быть честными, то чаще всего) не задает вопросы, которые у него возникают при изучении каких-либо теоретических аспектов курса, или при разборе каких-либо заданий. Такие вопросы, а, следовательно, и непонимание, имеют привычку накапливаться. Как же быть в таком случае? Поможет тематическая консультация. Ребята сами сделали презентации по теме «Свойства функций». Несколько из них представляем.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Слайд 1
Периодическая функция. Обратная функция Выполнил Деревянкин Денис
Слайд 2
Периодическая функция Функция y=f(x), , имеет период Т, если для любого выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T), при Т=0 равенство превращается в тождество f(x- 0 )=f(x)=f(x+ 0 ) . Функцию, имеющий отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция y=f(x), , имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида kT , ) , также является периодом. Все числа вида kT , — периоды функции. Таким образом, периодическая функция имеет конечное множество различных периодов. В большинстве случаев среди положительных периодов периодической функции есть наименьший. Его называют основным периодом. Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т — основной период функции y=f(x) , то для построение графика ее достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т, а затем выполнить параллельный перенос вдоль оси х на , , ,… Чаще всего в качестве такого промежутка длины Т выбирают промежуток с концами в точках (-Т/2 ;0) и(Т/2 ; 0) или (0 ;0 ) и (T;0).
Слайд 3
Рисунок
Слайд 4
Классический пример периодической функции – функция Дирихле y=d(x) y=d(x) , где d(x) =1, если x – рациональное число, d(x) =0, если x – иррациональное число. Любое рациональное число R является периодом этой функции. В самом, деле, если x – рациональное число, то x-r, x+r – рациональные числа, а потому d(x-r)=d(x)=d(x+r)=1. Если же x – иррациональное число то x-r, x+r – иррациональные числа, а потому d(x-r)=d(x)=d(x+r)= 0. Итак, любое рациональноу число является периодом функции Дирихле. Но среди положительных рациональных чисел нет наименьшего числа, значит, у периода функции Дирихле нет основного периода. Пример №1 Доказать, что функция y={x} (дробная часть числа х) периодическая Решение: числа х и , где k – любое целое число, имеют одинаковую дробную часть, т.е. {x-k}={x}={x+k}. Значит, любое целое число является периодом функции, а основной период Т=1.
Слайд 5
Рисунок к примеру №1
Слайд 6
Обратная функция Функцию y=f(x), определенную на промежутке Х, называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка Х (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). Функция y=f(x) обладает следующим свойством: какое бы число из множества значений функции ни взять, оно является значением функции только в одной точке х:у= f(x). Функция y=g(x) этим свойством не обладает. Так, что функция y=f(x) является обратимой, а функция y=g(x) необратимой.
Слайд 7
y=f(x) монотонная и обратимая
Слайд 8
y=g(x) немонотонная и необратимая
Слайд 9
Определение 2 Пусть обратимая функция y=f(x) определена на промежутке X и E(f)=Y. Поставим в соответствие каждому у из Y то единственное значение х, при котором f(x) =у (т.е. единственный корень уравнения f(x) =у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции. Эту функцию обозначают и называют обратной по отношению к функции y=f(x) . Теорема. Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, а Y – область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на Y.
Слайд 10
Достаточное условие обратной функции Достаточным условием обратной функции является монотонность функции. Но оно не является необходимым условием существования обратной функции. Пример 1. показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Линейная функция y=5x-3 определена на R , возрастает на R и область ее значенй есть R . Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х ; получим: . Чтобы получить график функции , обратной по отношению к функции y=f(x) , надо график функции y=f(x) преобразовать симметрично относительной прямой y=x. рисунок 2
Слайд 11
Рисунок 1 График немонотонный, но обратимой функции
Слайд 12
Рисунок 2
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Next: Свойства нормального распределения
Up: Случайные величины и их
Previous: Примеры абсолютно непрерывных распределений
§ 6. Свойства функций распределения
Общие свойства функций распределения.
Функцией распределения случайной величины
мы назвали функцию . Основные свойства этой функции
заключены в теореме:
Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство
непрерывности вероятностной меры.
Доказательство свойства (F2).
Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности
и ограниченности функции . Остается лишь доказать
равенства
,
и
.
Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь
подпоследовательности , так как существование предела
влечёт совпадение всех частичных пределов.
Докажем, что при .
Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий :
Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех , для которых
меньше любого вещественного
числа. Но для любого элементарного исхода значение
вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел.
Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных
исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры,
при .
Точно так же докажем остальные свойства.
Покажем, что при , т.е.
.
Обозначим через событие . События вложены:
а пересечение этих событий снова пусто оно означает, что больше
любого вещественного числа.
По свойству непрерывности меры, при .
Доказательство свойства (F3).
Достаточно доказать, что при .
Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности:
QED
Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью
описывают класс функций распределения. То, что любая функция распределения
ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция
с такими свойствами есть функция распределения.
Теорема 21.
Если функция удовлетворяет свойствам (F1)(F3),
то есть функция распределения некоторой случайной величины , т.е. найдётся вероятностное пространство
и случайная величина на нём такая,
что .
Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя её можно попробовать
доказать конструктивно предъявив то вероятностное
пространство (проще всего отрезок с -алгеброй борелевских
множеств и мерой Лебега) и ту случайную величину, о существовании
которых идёт речь.
Упражнение 31. Непременно попробуйте сделать это!
Например, можно попробовать, не подойдёт ли
.
Помимо отмеченных в теореме 20, функции распределения обладают
следующими свойствами:
(F4)
В любой точке разница равна :
или, иначе говоря, .
Упражнение 32.
Докажите сами (так же, как мы доказывали (F2) и (F3)).
Заметим, что разница между пределом
при стремлении к справа и значением в точке есть
величина скачка функции распределения. Эта величина равна нулю, если функция
распределения непрерывна (справа) в точке . Слева функция распределения непрерывна всегда.
Доказательство.
Докажем только равенство (13). Все остальные
равенства следуют из него и свойства (F4).
Заметим, что , и первые два события
несовместны. Поэтому или
, что и требовалось доказать.
QED
Функция распределения дискретного распределения.
Мы видели, как выглядят функции распределения некоторых
дискретных распределений. Согласно определению дискретного распределения,
его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так:
Из свойств (F4) и (F5) получаем следующее свойство.
Свойство 8.
Случайная величина имеет дискретное распределение тогда
и только тогда, когда функция распределения
ступенчатая функция. При этом значения суть точки скачков , и величины скачков.
Упражнение 33. Доказать, что любая функция распределения
имеет не более чем счётное число точек разрыва (или «скачков»).
Сколько скачков величиной более 1/2 может иметь функция
распределения? Не больше одного или не больше двух?
А скачков величиной более 1/3? Более 1/4?
Свойства абсолютно непрерывного распределения.
Пусть случайная величина имеет абсолюлютно непрерывное распределение
с плотностью . Тогда функция распределения в любой точке может быть найдена по плотности распределения так:
| (14) |
Поскольку функция распределения однозначно определяет распределение
случайной величины (эту фразу стоит как следует обдумать!), можно считать возможность представить функцию распределения
интегралом (14) от неотрицательной функции определением
абсолютно непрерывного распределения.
(f3)
Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное
распределение, то её функция распределения всюду непрерывна.
Этот факт следует из свойства 7 и из (F4).
Заметим, что (f3) есть также следствие представления
(14) и непрерывности интеграла как функции верхнего предела.
(f4)
Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное
распределение, то её функция распределения дифференцируема почти всюду, и
Заметим, что любая функция распределения дифференцируема
почти всюду. Например, функции распределения равномерного распределения
и распределения Бернулли дифференцируемы всюду, кроме двух точек.
Но у равномерного распределения плотность существует, а у распределения Бернулли
нет. Поэтому возможность дифференцировать функцию распределения
никакого отношения к существованию плотности не имеет.
Даже если мы дополнительно потребуем непрерывности функции распределения,
этого не будет достаточно для абсолютной непрерывности распределения.
Например, далее мы увидим, что функция распределения сингулярного распределения непрерывна
и дифференцируема почти всюду, однако плотности у этого распределения нет,
так как производная функции распределения почти всюду равна нулю.
Опираясь на свойства
(f4) и (14), можно сформулировать такой критерий
абсолютной непрерывности распределения: распределение с функцией распределения
абсолютно непрерывно, если при всех имеет место равенство:
Из определения абсолютно непрерывного распределения и свойства 7
сразу следует свойство:
(f5)
Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное
распределение, то для любых имеют место равенства:
Функция распределения сингулярного распределения.
Функция распределения смешанного распределения.
Функция распределения смешанного распределения есть линейная комбинация
функций распределения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного
распределений. Если смешивать только дискретное и абсолютно непрерывное распределения,
то функция распределения будет иметь разрывы в точках значений дискретного
распределения и участки непрерывного роста, приращение функции
на которых восстанавливается по её производной.
Next: Свойства нормального распределения
Up: Случайные величины и их
Previous: Примеры абсолютно непрерывных распределений
N.Ch.
1. Определение показательной функции, свойства, графики
Рассмотрим основное определение.
Определение:
Функцию вида , где и называют показательной функцией.
Например: и т. д.
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
Основные свойства данного семейства функций:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :
Например: и т. д.
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы
Свойства данного семейства функций:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.
2. Решение элементарных показательных уравнений и неравенств
Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции.
Пример 1 – решить уравнение:
а)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
б)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
Пример 2 – решить неравенство:
а)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
б)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2.б
3. Простейшие показательные уравнения в общем виде, конкретные примеры
Рассмотрим простейшие уравнения и неравенства.
Пример 3:
а) (рисунок 4)
б) , т. к. функция монотонно возрастает на всей области определения (рисунок 4)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3
Рассмотрим простейшие показательные уравнения в общем виде.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном значении аргумента.
Таким образом, получаем методику решения показательных уравнений:
Уравнять основания степеней;
Приравнять показатели степеней;
Например:
Пример 4 – решить уравнения:
а)
б)
Итак, мы рассмотрели показательную функцию, ее график и свойства, научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства, рассмотрели простейшие показательные уравнения в общем виде. В следующем уроке мы рассмотрим решение показательных неравенств.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Mathematics-repetition.com (Источник).
- Terver.ru (Источник).
- Egesdam.ru (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 446, 453, 460, 461;
2. Решить неравенство:
а) ; б) ; в) ; г) ;
3. Решить уравнение:
а) ; б) ; в) ; г) ;
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок № 51. Система математических понятий, фактов и методов курса алгебры и начал анализа 10 класса.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- С какими основными понятиями вы познакомились в курсе «Алгебра и начала анализа» 10 класса.
- Какие основные типы уравнений и неравенств рассматриваются в курсе «Алгебра и начала анализа» 10 класса.
- Какие функции рассматриваются в курсе «Алгебра и начала анализа» 10 класса.
- Какие свойства функций рассматриваются «Алгебра и начала анализа» 10 класса.
Глоссарий по теме
Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, то есть дробь вида 
или —
, где 
– целое неотрицательное число, а каждая из букв 
— это одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Степень с действительным показателем.
Если n — натуральное число и m — целое число, то при a>0 справедливо равенство 
. Если 
то, равенство верно и при a=0, причем 
.
Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства 
поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.
Неравенство. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно неравенства 
поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое неравенство, то говорят, что задано неравенство с одной переменной.
Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. При этом используется запись 
.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни под ред. А.Б. Жижченко. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства 
поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.
Значение переменной, обращающее уравнение в истинное равенство, называется корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти множество его корней или доказать, что их нет. Это множество называют также решением уравнения.
Множество всех x, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения уравнения. Для того, чтобы установить область определения уравнения, необходимо найти пересечение множеств, на которых определены данные функции f(x) и g(x) .
Два уравнения называются равносильными, если каждый корень (решение) одного уравнения является корнем (решением) другого и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений) на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве.
Неравенство. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно неравенства 
поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое неравенство, то говорят, что задано неравенство с одной переменной.
Областью определения неравенства является пересечение множеств, на которых определена каждая из функций входящих в неравенство.
Решение неравенств основано на их свойствах.
Функция. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y. При этом используют запись 
Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y — зависимой переменной. Говорят, что y является функцией от x.
Значение, y соответствующее заданному значению x называют значением функции и обозначают 
.
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции (D(f)); все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции (E(f)). Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению x из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению x из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной.
Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.
Значения x из области определения функции при которых f(x)=0, называют корнями (или нулями) функции.
Показательная функция. Функция, заданная формулой 
, где a — некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной. Показательная функция обладает следующими свойствами:
- Область определения – множество всех действительных чисел.
- Множество значений — множество всех положительных действительных чисел.
- Функция возрастает при a>1, функция убывает при 0<a<1.
- При x = 0 значение функции равно 1.
Графики показательной функции:
Логарифмическая функция. Функция, заданная формулой 
, где a — некоторое положительное число, не равное единице, называется логарифмической. Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
- Область определения – множество всех положительных действительных чисел.
- Множество значений — множество всех действительных чисел.
- Функция возрастает при a>1, функция убывает при 0<a<1.
- Нули функции x = 1.
Графики логарифмической функции:
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Найдите область определения функции 
Учитывая, что выражение, стоящее под знаком корня четной степени, может принимать только неотрицательные значения, а знаменатель дроби не может быть равным нулю, получим систему:
Данная система совокупности систем:
или
|
|
Решим первую систему.
Решение первого неравенства 
Решение второго неравенства 
Решением первой системы является промежуток (- 5; 1)
Решим вторую систему. x = — 5, x = 5
Решением неравенства будет: 
Пример 2.
- Сравните числа
Так как показатели степеней одинаковые, то необходимо сравнить основания степеней. Сравнивать эти иррациональные числа напрямую неудобно, поэтому постараемся найти число «посредника».
Попробуем сравнить основания степеней с числом 2.
Сравним
Используя свойства числовых неравенств получим:
252 и 256 Получим 252<256, значит
| Сравним 2 и Используя свойства числовых неравенств получим: 8 и 11 и 121 и 123 Получим 121<123, значит 2 < |
Таким образом, 
Так как показатель степени отрицателен, то
