Какая функция не обладает следующим свойством

Ирина Понарина, Мочёнова Ксения, Деревянкин Денис

Слайд 1

Периодическая функция. Обратная функция Выполнил Деревянкин Денис

Слайд 2

Периодическая функция Функция y=f(x), , имеет период Т, если для любого выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T), при Т=0 равенство превращается в тождество f(x- 0 )=f(x)=f(x+ 0 ) . Функцию, имеющий отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция y=f(x), , имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида kT , ) , также является периодом. Все числа вида kT , — периоды функции. Таким образом, периодическая функция имеет конечное множество различных периодов. В большинстве случаев среди положительных периодов периодической функции есть наименьший. Его называют основным периодом. Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т — основной период функции y=f(x) , то для построение графика ее достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков длины Т, а затем выполнить параллельный перенос вдоль оси х на , , ,… Чаще всего в качестве такого промежутка длины Т выбирают промежуток с концами в точках (-Т/2 ;0) и(Т/2 ; 0) или (0 ;0 ) и (T;0).

Слайд 3

Рисунок

Слайд 4

Классический пример периодической функции – функция Дирихле y=d(x) y=d(x) , где d(x) =1, если x – рациональное число, d(x) =0, если x – иррациональное число. Любое рациональное число R является периодом этой функции. В самом, деле, если x – рациональное число, то x-r, x+r – рациональные числа, а потому d(x-r)=d(x)=d(x+r)=1. Если же x – иррациональное число то x-r, x+r – иррациональные числа, а потому d(x-r)=d(x)=d(x+r)= 0. Итак, любое рациональноу число является периодом функции Дирихле. Но среди положительных рациональных чисел нет наименьшего числа, значит, у периода функции Дирихле нет основного периода. Пример №1 Доказать, что функция y={x} (дробная часть числа х) периодическая Решение: числа х и , где k – любое целое число, имеют одинаковую дробную часть, т.е. {x-k}={x}={x+k}. Значит, любое целое число является периодом функции, а основной период Т=1.

Слайд 5

Рисунок к примеру №1

Слайд 6

Обратная функция Функцию y=f(x), определенную на промежутке Х, называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка Х (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). Функция y=f(x) обладает следующим свойством: какое бы число из множества значений функции ни взять, оно является значением функции только в одной точке х:у= f(x). Функция y=g(x) этим свойством не обладает. Так, что функция y=f(x) является обратимой, а функция y=g(x) необратимой.

Слайд 7

y=f(x) монотонная и обратимая

Слайд 8

y=g(x) немонотонная и необратимая

Слайд 9

Определение 2 Пусть обратимая функция y=f(x) определена на промежутке X и E(f)=Y. Поставим в соответствие каждому у из Y то единственное значение х, при котором f(x) =у (т.е. единственный корень уравнения f(x) =у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции. Эту функцию обозначают и называют обратной по отношению к функции y=f(x) . Теорема. Если функция y=f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, а Y – область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на Y.

Слайд 10

Достаточное условие обратной функции Достаточным условием обратной функции является монотонность функции. Но оно не является необходимым условием существования обратной функции. Пример 1. показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение. Линейная функция y=5x-3 определена на R , возрастает на R и область ее значенй есть R . Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х ; получим: . Чтобы получить график функции , обратной по отношению к функции y=f(x) , надо график функции y=f(x) преобразовать симметрично относительной прямой y=x. рисунок 2

Слайд 11

Рисунок 1 График немонотонный, но обратимой функции

Слайд 12

Рисунок 2