Какая функция называется обратной пропорциональностью свойства
Графиком обратной пропорциональности является гипербола, расположенная в I и III четверти, если k>0; во II и IV четверти, если k<0.
Свойства обратной пропорциональности:
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме нуля:
D(y)=(−; 0)(0; +).
Е(y)=(−; 0)(0; +).
3) , Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат, т.е. точки (0;0).
4) При k > 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения.
Для точного построения графика, например, функции , возьмём несколько значений х и для каждого вычислим значение у.
Так как график функции симметричен относительно начала координат, то точки в III четверти будут иметь противоположные координаты.
II. Обратная пропорциональность где k ≠ 0.
Графиком данной функции является гипербола, которая получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на т единиц вправо, если т > 0, и влево, если т < 0. Чтобы построить график этой функции, проводим дополнительную прямую х = т, параллельную оси Оу, затем строим график функции относительно получившихся осей.
Свойства:
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме х = т:
D(y)=(−; т)(т; +).
2) Область значений функции – множество всех действительных чисел, кроме нуля:
Е(y)=(−; 0)(0; +).
3) , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, её график не симметричен относительно оси Оу. и не симметричен относительно начала координат.
4) При k > 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения.
III. Обратная пропорциональность где k ≠ 0.
Графиком данной функции является гипербола, которая получается из графика функции смещением вдоль оси Оу на п единиц вверх, если п > 0, и вниз, если п < 0. Чтобы построить график этой функции, проводим дополнительную прямую у = п, параллельную оси Ох, затем строим график функции относительно получившихся осей.
Свойства:
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме нуля:
D(y)=(−; 0)(0; +).
2) Область значений функции – множество всех действительных чисел, кроме у = п:
Е(y)=(−; п)(п; +).
3) , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, её график не симметричен относительно оси Оу. и не симметричен относительно начала координат.
4) При k > 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения.
IV. Обратная пропорциональность где k ≠ 0.
Графиком данной функции является гипербола, которая получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на т единиц вправо, если т > 0, и влево, если т < 0, и вдоль оси Оу на п единиц вверх, если п > 0, и вниз, если п < 0. Чтобы построить график этой функции, проводим дополнительные прямые х = т, параллельную оси Оу , и у = п, параллельную оси Ох, затем строим график функции относительно получившихся осей.
Свойства:
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме х = т:
D(y)=(−; т)(т; +).
2) Область значений функции – множество всех действительных чисел, кроме у = п:
Е(y)=(−; п)(п; +).
3) , значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, её график не симметричен относительно оси Оу. и не симметричен относительно начала координат.
4) При k > 0 функция убывает, а при k < 0 возрастает на всей области определения.
Представим, что у нас есть тело, движущееся равномерно от города А к городу В. Время, которое наше тело затрачивает на прохождение указанного пути зависит от скорости движения. Предположим, что расстояние между А и В равно 120 м, v – это скорость движения (м/с), а t – это время движения (с). Тогда получим, что
t = 120/v.
Подставим вместо v несколько значений и получим t:
если v = 5, то t = 120/5 = 24; если v = 10, то t = 120/10 = 12;
если v = 20, то t = 120/20 = 6.
Получается, что каждому значению переменной v (v > 0) соответствует единственное значение t. Формулой t = 120/v, где v > 0, задается функция.
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = k/х, где k – не равное нулю число.
Относительно переменной у говорится, что она обратно пропорциональна переменной х.
Т.к. выражение k/х при любом значении х, кроме 0, имеет смысл, то областью определения функции, задаваемой формулой у = k/х, может служить множество всех чисел, отличных от нуля, или какое-нибудь его подмножество.
Из формулы у = k/х следует, что ху = k. Верно и обратное: если ху = k (k ≠ 0), то у = k/х. Логично, что, чтобы выяснить, является ли обратной пропорциональностью функция х – у, необходимо сравнить произведения ху для всех соответственных значений х и у. Если эти произведения равны одному и тому же числу k, где k ≠ 0, то функция f является обратной пропорциональностью.
Определим, является ли обратной пропорциональностью функция m – n, заданная значениями:
если m = 1, то n = 15;
если m = 2, то n = 7,5;
если m = 3, то n = 5;
если m = 5, то n = 3;
если m = 6, то n = 2,5;
если m = 10, то n = 1,5;
если m = 15, то n = 1.
Для каждой пары (m; n) соответственных значений m и n найдем произведение mn:
если m = 1, n = 15, то mn = 15;
если m = 2, n = 7,5, то mn = 15;
если m = 3, n = 5, то mn = 15;
если m = 5, n = 3, то mn = 15;
если m = 6, n = 2,5, то mn = 15;
если m = 10, n = 1,5, то mn = 15;
если m = 15, n = 1, то mn = 15.
В результате получаем, что найденные произведения равны одному и тому же числу 15. Следовательно, функция f – обратная пропорциональность.
Решим задачу.
Пусть а – основание прямоугольника (см), b – его высота (см). Если площадь прямоугольника остается постоянной, то с изменением длины его основания должна изменяться и его высота. Является ли зависимость переменной b от переменной а обратной пропорциональностью?
Для любой пары соответственных значений переменных а и b произведение аb равно одному и тому же числу, выражающему площадь прямоугольника в см2. Следовательно, зависимость b от а – обратная пропорциональность.
Вернемся к примеру с равномерным движением тела из города А в город В. Возьмем два произвольных значения переменной v: v1 = 5 и v2 = 6. Тогда соответствующие им значения переменной t: t1 = 24 и t2 = 20.
Найдем частное v1/v2и частное t1/t2:
v1/v2 = 5/6; t1/t2 = 6/5.
Отметим, что частное v1/v2 равно числу, обратному частному t1/t2. К такому же выводу мы придем, если выберем иные значения переменных.
Т.о., если функция х → у – обратная пропорциональность и (х1; у1), (х2; у2) – пары соответственных значений переменных х и у, то х1/х2 = у2/у1.
Докажем это. Из формулы у = k/х имеем, что у1 = k/х1, у2 = k/х2, причем у1 ≠ 0, у2 ≠ 0. Отсюда
у2/у1 = (k/х2) / (k/х1) = (k/х2) ∙ ( х1/ k) = х1/х2.
Если значения переменных х и у – это положительные числа, то рассмотренное свойство обратной пропорциональности можно определить так:
с увеличением значения х в несколько раз соответствующее значение у уменьшается во столько же раз; аналогично: с уменьшением значения х в несколько раз соответствующее значение у увеличивается во столько же раз.
Применим установленное свойство к решению задач.
Задача.
Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от города А до города В
за 6 ч. Сколько времени затратит велосипедист на обратный путь, если будет двигаться со скоростью 12 км/ч?
Решение.
Пусть на обратный путь велосипедист затратит х ч. Т.к. время, необходимое для прохождения одного и того же расстояния, обратно пропорционально скорости движения, то х/6 = 10/12. Отсюда 12х = 60, х = 5.
Ответ: велосипедисту понадобится 5 ч.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Алгебра
Обратная пропорциональность-это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).
или
где k-любое число,k≠0.
Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и ваши деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите тетрадей, тем меньше денег у вас останется.
Графиком функции является гипербола.
График функции при k>0
Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Yположительные, а вторая часть – в III четверти, где значения X и Yотрицательные.
y(x)>0, при x∈(0;+∞)
y(x)<0, при x∈(0;+∞)
Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. => Функция 
, где K>0, убывает.
График функции при k<0
Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения Xотрицательные, а значения Yположительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения Xположительные, а значения Yотрицательные.
Функция принимает положительное значение на промежутке (-∞;0),
Функция принимает отрицательные значения на промежутке (0;+∞).
Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. => Функция , где K<0, Возрастает.
Свойства функции:
1)Область определения функции:
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).
2)Область значения функции:
E(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).
3)Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет.
4) — нечетная функция (т.к. 
).
График симметричен относительно начала координат (0;0).
5) Функция не ограничена.
6)Функция не пересекает координатные оси (oX и oY).
Перемещение гиперболы
Если добавить константу а (где a любое число)в знаменатель, в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение гиперболы по оси оX (вместе с вертикальной асимптотой).
В таком случае уравнением функции станет:
Если у а стоит знак «+» (
), то график функции передвигается по оси oX влево.
Для примера возьмем уравнение 
Гипербола смещена на 2 влево.
Если у а стоит знак «–» (
), то график функции передвигается по оси oX вправо.
Для примера возьмем уравнение 
Гипербола смещена на 2 вправо.
Если добавить константу b (где b любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)
В таком случае уравнением функции станет: 
Если у b стоит знак «+» (
), то график функции передвигается по оси oY вверх.
Для примера возьмем уравнение 
Если у b стоит знак «-» (
), то график функции передвигается по оси oY вниз.
Для примера возьмем уравнение 
Гипербола смещена на 2 вниз.
Сужение и расширение графика относительно начала координат.
От коэффициента K зависит, как будут вести себя ветви гиперболы, относительно начала координат.
Например, сравним 
и 
.
Мы видим, что график функции 
значительно уже графика функции 
=>Чем больше коэффициент K , тем больше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.
Сравним 
и 
.
Мы видим, что график функции 
значительно уже графика функции 
=>Чем меньше коэффициент K , тем меньше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.
Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович
Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна
Вернутся к темам
Обратная пропорциональность занимает куда больше времени при изучении, нежели прямая. Поэтому ученикам стоит быть готовым к тому, что обратная пропорциональность потребует времени и усилий для решения задач. Главное, помнить основные определения и быть внимательным при решении задач.
Пропорциональность.
Пропорциональностью зовется зависимость одного числа от другого. Например, если в кошельке у человека определенное количество денег, а он покупает конфеты, то при увеличении цены на конфеты, уменьшиться число конфет, которые человек сможет купить.
Можно выделить две разновидности пропорциональностей:
- Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
- Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Несколько раз в определении повторялась фраза «в столько же раз». Бывают ситуации, в особенности в физике, когда величины пропорциональны, но не имеют ярко выраженного коэффициента пропорциональности. Например, температура ведет к увеличению внутренней энергии тела, но не прямо пропорционально. В таких ситуациях говорят, что числа пропорциональны.
Обратная пропорциональность.
И прямую и обратную пропорциональность проще рассматривать на задачах движения. Представим себе автомобиль, который едет со скоростью 90 км в час. Если примем расстояние между двумя городами за 180 км, то такой путь машина должна проехать за 2 часа. Пока все понятно.
Но что будет, если водитель поспешит и увеличит скорость до 180 км/ч, то требуемый отрезок пути он проедет быстрее. То есть на тоже расстояние водитель потратит не 2 часа, а 1. То есть, увеличение скорости привело к уменьшению времени в дороге.
А что будет, если водитель уменьши скорость в два раза? Со 120 км/ч до 60 км/ч? Значит, время в пути увеличится так же в два раза и будет составлять не 2, а 4 ч. Так уменьшение скорости привело к увеличению времени в пути.
График обратно пропорциональной зависимости
Для любой зависимости можно построить график функции.
Что такое функция? Это зависимость двух чисел. Одно из них, как правило, у, зовется функцией и зависит от х, то есть аргумента.
Если представить обратную пропорциональность в виде формулы, то это будет выглядеть так:
у=к:х, где у – зависимое число или функция
х – независимое число или аргумент
к – постоянная величина, которая называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Кстати, для приведенного нами примера, коэффициентом обратной пропорциональности является величина пути между двумя городами, которую мы сделали постоянной. Если бы величина пройденного пути была плавающей, то обратной пропорциональности не получилось бы.
Пример
В качестве примера, проверим, насколько верно работает приведенная формула и действительно ли она отображает обратную пропорцию. Выберем коэффициент пропорциональности, например число 3. Тогда функция примет вид:
у=3:х. В качестве первого значения х выберем число 6, тогда у=0,5. Если мы уменьшим число х в 2 раза, то получится число 3, которому соответствует у=1. То есть в результате уменьшения х в два раза, у в два раза увеличился, что полностью соответствует определению обратной пропорциональности. Для построения графика требуется несколько точек, поэтому, если по условиям задачи нужны построения, лучше записывать все значения в таблицу.
Особенно отметим, что коэффициент пропорциональности не может равняться нулю или быть отрицательным числом. А аргумент не может быть равным нулю, но отрицательным числом быть может.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое пропорциональность. Разделили определение обратной пропорциональности и прямой пропорциональности. Привели пример обратной пропорциональной зависимости. А также записали формулу обратной пропорциональности.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 152.
Если t — время движения пешехода (в часах), s — пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t. Так как каждому значению I соответствует единственное значение 5, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана функция. Ее называют прямой пропорциональностью и определяют следующим образом.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = kх, где k — не равное нулю действительное число.
Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае y/x = k (k ≠ 0). Это число называют коэффициентом пропорциональности.
Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана выше. Другой пример: если в одном пакете муки 2 кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки (обозначим ее через у) можно представить в виде формулы у = 2х, т.е. зависимость между количеством пакетов и всей массой купленной муки является прямой пропорциональностью с коэффициентом k = 2.
Напомним некоторые свойства прямой пропорциональности, которые изучаются в школьном курсе математики.
1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел.
2. 
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти лишь одну точку, принадлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.
Например, чтобы построить график функции у = 2х, достаточно иметь точку с координатами (1, 2), а затем через нее и начало координат провести прямую (рис. 89).
3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определения; при k < 0 — убывает на всей области определения.
4. Если функция f — прямая пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2), — пары соответственных значений переменных x и у, причем x2 ≠ 0, то x1/x2 = y1/y2
Действительно, если функция f — прямая пропорциональность, то она может быть задана формулой у = kх, и тогда у1 = kх1, у2= kх2. Так как при х2 ≠ 0 и k ≠ 0, то у2 ≠ 0. Поэтому y1/y2 = kx1/kx2 = x1/x2
Если значениями переменных х и у служат положительные действительные числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Это свойство присуще только прямой пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются прямо пропорциональные величины.
Задача 1. За 8 ч токарь изготовил 16 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 48 деталей, если он будет работать с той же производительностью?
Решение. В задаче рассматриваются величины — время работы токаря, количество сделанных им деталей и производительность (т.е. количество деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч), причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, количество сделанных деталей и время работы — величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно — числу деталей, изготавливаемых токарем за 1 ч. Если количество сделанных деталей обозначить буквой у, время работы х, а производительность — k, то получим, что y/x = k или у = kх, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является прямая пропорциональность.
Решить задачу можно двумя арифметическими способами:
1 способ: 2 способ:
1) 16:8 = 2 (дет.) 1) 48:16 = 3 (раза)
2) 48:2 = 24(ч) 2) 8-3 = 24(ч)
Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 2, а затем, зная, что у = 2х, нашли значение y при условии, что у = 48.
При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством прямой пропорциональности: во сколько раз увеличивается количество деталей, сделанных токарем, во столько же раз увеличивается и количество времени на их изготовление.
Перейдем теперь к рассмотрению функции, называемой обратной пропорциональностью.
Если t— время движения пешехода (в часах), v — его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v · t = 20 или v= 20/t. Так как каждому значению t (t≠0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =20/t задана функция. Ее называют обратной пропорциональностью и определяют следующим образом.
Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = k/x, где k – не равное нулю действительное число.
Название данной функции связано с тем, что в у = k/x есть переменные x и у, которые могут быть значениями величин. А если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае xy = k (к ≠ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.
Функция у = k/x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики. Одна из них описана перед определением обратной пропорциональности. Другой пример: если купили 12 кг муки и разложили ее в x банок по у кг в каждую, то зависимость между данными величинами можно представить в виде х · у = 12, т.е. она является обратной пропорциональностью с коэффициентом k = 12.
Напомним некоторые свойства обратной пропорциональности, известные из школьного курса математики.
1. Областью определения функции у = k/x и областью ее значений x является множество действительных чисел, отличных от нуля.
2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.
3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция у = k/x является убывающей на всей области определения x (рис. 90). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = k/x является возрастающей на всей области определения х(рис.91)
4. Если функция f — обратная пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2) — пары соответственных значений переменных х и у, то x1/x2 = y1/y2.
Действительно, если функция f— обратная пропорциональность, то она может быть задана формулой у = k/x, и тогда у1= k/x1, у2= k/x2. Так как х ≠ 0, х2 ≠ 0 и k ≠ 0, то y1/y2 = k/x2 : k/x1 = k ·x1/ k ·x2 = x1/x2.
Если значениями переменных x и у служат положительные действительные числа, то это свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Это свойство присуще только обратной пропорциональности, и им можно пользоваться при решении текстовых задач, в которых рассматриваются обратно пропорциональные величины.
Задача 2. Велосипедист, двигаясь со скоростью 10 км/ч, проехал расстояние от А до В за 6 ч. Сколько времени потратит велосипедист на обратный путь, если будет ехать со скоростью 20 км/ч?
Решение. В задаче рассматриваются величины: скорость движения велосипедиста, время движения и расстояние от А до В, причем последняя величина постоянна, а две другие принимают различные значения. Кроме того, скорость и время движения — величины обратно пропорциональные, так как их произведение равно некоторому числу, а именно пройденному расстоянию. Если время движения велосипедиста обозначить буквой у, скорость — х, а расстояние АВ – k, то получим, что ху = k или у = k/x, т.е. математической моделью ситуации, представленной в задаче, является обратная пропорциональность.
Решить задачу можно двумя способами:
1 способ: 2 способ:
1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (раза)
2)60:20 = 3(ч) 2)6:2 = 3(ч)
Решая задачу первым способом, мы сначала нашли коэффициент пропорциональности k, он равен 60, а затем, зная, что у = 60/x, нашли значение у при условии, что х = 20.
При решении задачи вторым способом мы воспользовались свойством обратной пропорциональности: во сколько раз увеличивается скорость движения, во столько же раз уменьшается время на прохождение одного и того же расстояния.
Заметим, что при решении конкретных задач с обратно пропорциональными или прямо пропорциональными величинами накладываются некоторые ограничения на x и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножествах.
Задача 3. Лена купила х карандашей, а Катя в 2 раза больше. Обозначьте число карандашей, купленных Катей, через у, выразите у через х и постройте график установленного соответствия при условии, что х ≤ 5. Является ли это соответствие функцией? Какова ее область определения и область значений?
Решение. Катя купила у = 2х карандашей. При построении графика функции у = 2х необходимо учесть, что переменная х обозначает количество карандашей и х ≤ 5, значит, она может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Это и будет область определения данной функции. Чтобы получить область значений данной функции, надо каждое значение х из области определения умножить на 2, т.е. это будет множество {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Следовательно, графиком функции у = 2х с областью определения {0, 1, 2, 3, 4, 5} будет множество точек, изображенных на рисунке 92. Все эти точки принадлежат прямой у = 2х.
Упражнения
1.Известно, что функция f является прямой пропорциональностью, задана на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и при х, равном 3, значение функции равно 12.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «В 3 пакета разложили поровну 12 кг муки. Сколько килограммов муки можно разложить в 6 таких пакетов?»
2. Известно, что функция f является обратной пропорциональностью, задана на множестве X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} и при х, равном 5, значение функции f равно 6.
а) Задайте функцию f при помощи формулы и таблицы; постройте ее график.
б) Какие свойства функции f можно проиллюстрировать при помощи таблицы и графика?
в) Какие из названных свойств вы будете использовать, решая задачу: «Муку разложили в 10 пакетов по 3 кг в каждый. Сколько получилось бы пакетов, если бы в каждый положили по 6 кг муки?»
3. Покажите, что зависимость между величинами, о которых идет речь в нижеприведенной задаче, может быть выражена формулой у = kх.
Из 24 м ткани сшили 8 одинаковых платьев. Сколько потребуется ткани на 16 таких же платьев?
4. Учитель, проводя с детьми анализ задачи (см. упр. 3), спрашивает: «Если на 8 платьев израсходовали 24 м ткани, то на 16 платьев израсходуют больше или меньше ткани?» Дети отвечают, что больше, так как 16 больше 8.
О каком свойстве и какой функции в этом случае идет речь?
5. Задайте при помощи формулы соответствие, которое рассматривается в задании:
а) Запиши несколько примеров на деление с результатом 10.
б) Составь все возможные примеры на сложение однозначных чисел с ответом 10.
Установите, являются ли эти соответствия функциями.
Одна сторона прямоугольника 3 см, а другая — х см. Какова площадь (у см2) этого прямоугольника? Постройте график полученного соответствия при условии, что х ≤ 6. Докажите, что это соответствие — функция.
Площадь прямоугольника с основанием х см равна 12 см2. Какова высота (у см) этого прямоугольника?
Покажите, что соответствие между значениями переменных x и у является функцией и постройте ее график при условии, что 1 ≤ х ≤ 12.
Учащимся дано задание заполнить таблицу
Задает ли эта таблица функцию? Какую? Какое свойство этой функции можно проиллюстрировать при помощи данной таблицы?
9.Обоснуйте, используя определения прямой или обратной пропорциональности и их свойства, решение различными арифметическими способами следующих задач:
а) С участка собрали 6 мешков картофеля по 40 кг в каждом. Этот картофель разложили в ящики по 20 кг в каждый. Сколько ящиков потребовалось?
б) Из куска ткани длиной 24 м сшили 8 одинаковых костюмов. Сколько потребуется ткани на 32 таких же костюма?
10.Какие вспомогательные модели можно использовать на этапе поиска плана решения задач из упражнения 9, если рассматривать их в начальной школе, т.е. при условии, что дети не знают ни прямой, ни обратной пропорциональности?
11.Какие из нижеприведенных задач можно решить в начальной школе двумя способами:
а) Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч и был в пути 2 ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 4 км/ч?
б) Из 100 кг свеклы при переработке получается 16 кг сахара. Сколько килограммов сахара получится из 3 т свеклы?
в) Два опытных участка имеют одинаковую площадь. Ширина первого участка 30 м, ширина второго — 40 м. Найдите длину первого участка, если известно, что длина второго участка равна 75 м.
46. Основные выводы § 9
Рассмотрев материал данного параграфа, мы уточнили наши знания о таких понятиях, как:
— числовая функция;
— область определения функции;
— область значений функции;
— график функции;
— прямая пропорциональность;
— обратная пропорциональность.
Вспомнили, что числовую функцию можно задать с помощью формулы (она представляет собой уравнение с двумя переменными), графика на координатной плоскости, таблицы.
Выяснили, что функции могут обладать свойством монотонности, т. е. возрастать или убывать на некотором промежутке.
Особо выделили свойства, присущие только прямой и обратной пропорциональности, поскольку их можно использовать при обучении младших школьников решению задач с пропорциональными величинами.