Что такое внешний угол треугольника какими свойствами он обладает
Основные определения
Прежде чем рассмотреть определение внешнего угла треугольника, напомним несколько основных определений из начального курса геометрии, а именно:
- угла и треугольника;
- смежных углов;
- параллельных прямых.
Угол и треугольник являются геометрическими фигурами. Угол состоит из точки (вершины) и двух лучей (сторон угла), которые исходят из данной точки. Треугольник представляет собой три точки (вершины), соединённые отрезками (сторонами). Треугольник имеет три угла.
Определение 1
Смежными называют два угла, имеющие одну общую сторону, а другие две стороны являются продолжениями друг друга.
На рисунке ниже смежными углами являются углы $ADB$ и $BDC$. $angle ADB + angle BDC = angle ADC = 180^{circ}$.
Рисунок 1. Смежные углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Параллельными называются две непересекающиеся прямые на одной плоскости. Секущей по отношению к двум прямым называется прямая, которая пересекает две прямые в двух точках. Если две прямые параллельны, то в случае пересечения пары этих прямых секущей, получившиеся в результате этого действа накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{circ}$.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Теорема о сумме углов треугольника
Понятие внешнего угла треугольника встречается в теореме о сумме углов треугольника, которая звучит следующим образом:
Теорема 1
Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$.
Приведём её доказательство.
Пусть дан произвольный $triangle ABC$. Нужно доказать, что $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$.
Рисунок 2. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Проведём прямую $b$ через вершину $B$, которая будет параллельна стороне $AC$.
Рисунок 3. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что углы 1 и 5 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $b$ и $AC$ секущей $AB$. Углы 3 и 4 также являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прмяых секущей $BC$. Делаем вывод, что: $angle 5 = angle 1, angle 4 = angle 3$.
Очевидно, глядя на рисунок, что сумма углов 2, 4 и 5 равна $180^{circ}$. Отсюда следует, что $angle 1 +angle 2 +angle 3 = 180^{circ}$ или $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$. Ч.т.д.
Внешний угол треугольника
В доказательстве теоремы о сумме углов треугольника есть два примера внешнего угла треугольника. Это углы 4 и 5. Дадим определение:
Определение 2
Внешний угол треугольника — это угол, являющийся смежным с каким-нибудь углом данного треугольника.
Имеем теорему:
Теорема 2
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов данного треугольника, не являющихся смежным с внешним углом.
Докажем эту теорему.
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 4. Внешний угол треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Мы видим, что угол 4 является внешним углом, смежным с 2 углом треугольника. Очевидно, что $angle 4 +angle 2 = 180^{circ}$. По теореме о сумме углов:
$(angle 1 +angle 3)+angle 2=180^{circ}$. Отсюда следует, $angle 4 = angle 1 +angle 3$. Ч.т.д.
Рассмотрим пример задачи на данную тему.
Пример 1
Задача. $triangle ABC$ — равнобедренный. $AC$ — основание этого треугольника. $AC$=37 см, внешний угол при $B$ равняется $60^{circ}$. Нужно найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.
Решение. Сделаем рисунок:
Рисунок 5. Треугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке прямая, обозначающая расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ обозначена как $CD$. В математике такое расстояние называют высотой. По определению высоты треугольника, прямая высоты перпендикулярна той стороне, на которую опущена. То есть $angle ADC = 90^{circ}$.
По теореме о внешнем угле треугольника находим $angle B$: $angle B=180-60=120^{circ}$. По теореме о сумме углов треугольника получается, что $angle A + angle C = 180-120=60$. Так как треугольник равнобедренный, углы у основания равны по $30^{circ}$.
Рассмотрим $triangle ADC$. Из вышеуказанного следует, что он прямоугольный. Из свойства прямоугольных треугольников известно, что катет такого треугольника, который лежит против угла $30^{circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, $СD$ является катетом против угла $30^{circ}$, а $AC$ — гипотенуза. Поэтому справедливо утверждать, что $CD=37/2=18,5$ см.
Ответ: 18,5 см.
Таким образом, в данной статье мы получили полное представление о том, что такое внешний угол треугольника и разобрали сопутствующие теоремы.
Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà áóäåò ðàâíÿòüñÿ âíåøíåìó óãëó, íå ñìåæíîìó ñ íèìè.
Ïðîàíàëèçèðóåì óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Êàê èçâåñòíî, ñóììà âñåõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà 2 d, èç ýòîãî ïîëó÷àåì òîæäåñòâî / 1 + / 2 = 2d — / 3, íî è / ÂÑD, âíåøíèé óãîë ýòîãî òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíûé ñ / 1 è / 2, â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî âûðàçèòü òîæäåñòâîì 2d — / 3.
Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
/ 1 + / 2 = 2d — / 3;
/ ÂÑD = 2d — / 3.
Çíà÷èò âåðíûì áóäåò / 1 + / 2 = / ÂÑD.
Óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà êîíêðåòèçèðóåò ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î âíåøíåì óãëå òðåóãîëüíèêà, â êîòîðîé îáîñíîâûâàëîñü ëèøü, ÷òî âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà áîëüøå âñÿêîãî âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíîãî ñ íèì; òåïåðü æå ïîäòâåðæäåíî, ÷òî âíåøíèé óãîë ðàâíÿåòñÿ ñóììå îáîèõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì.
Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
| Ðàñ÷åò âñåõ óãëîâ, ñòîðîí è ïëîùàäè ïî èçâåñòíûì óãëàì è ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ÷åðòåæ òðåóãîëüíèêà | |
| Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Òðåóãîëüíèê | |
| Òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû, óãëû, âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíû, áèññåêòðèñû. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. | |
| Òðåóãîëüíèê | |
Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
| Íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû íå îäèíàêîâîé äëèíû, ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàçíîñòîðîííèìè. | |
| Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Доказательство.
Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
| ∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º. Отсюда следует ∠ ABС + ∠ CAB = 180 º — ∠ BCA = ∠ BCD Теорема доказана. |
3. Задача по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».
У треугольников ABC и DEK: , AC=DK, AB=DE. Докажите, что .
Билет № 10
1. Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников (без доказательства).
Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо катету и гипотенузе
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенствапо гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо катету и острому углу
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых (доказательство одного из них).
Две прямые a и b на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a∥b.
Признак 1: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Через точку К — середину отрезка секущей — проведем перпендикуляр к прямой b — КН, продлим его до пересечения с прямой а.
АК = КВ, так как К середина АВ,
углы при вершине К равны как вертикальные,
∠КВН = ∠КАН’ по условию, ⇒
ΔВКН = ΔАКН’ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит ∠АН’К = ∠ВНК = 90°.
Обе прямые а и b перпендикулярны третьей прямой НН’, значит они параллельны.
Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 = ∠2 по условию (соответственные углы)
∠3 = ∠1 как вертикальные, ⇒
∠2 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.
Признак 3: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 + ∠2 = 180° по условию (односторонние углы),
∠2 + ∠3 = 180° так как эти углы смежные,
значит ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.
3. Задача по теме » Угол. Измерение углов».
Известно, что =90º. Луч OD делит угол AOB на два угла: и . Найдите , если угол AOD в два раза меньше угла DOB.
Билет № 11
Геометрия 7 класс Урок 41. Дата: 08.02.19.
Тема. Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника
Цель: сформировать понятие и вывести свойство внешнего угла треугольника в процессе отбора нужной информации путем применения ранее полученных знаний.
Планируемые результаты.
Предметные: создать условия для усвоения понятия внешнего угла треугольника и применения его свойства при решении задач.
Метапредметные: развивать умение выбирать из потока информации необходимую для решения математических задач; продолжать работу по формированию у каждого учащегося личной потребности в последовательной деятельности, развитию творческих способностей учащихся; развивать устную и письменную речь. Личностные: продолжить работу по формированию ответственности учащихся за свою деятельность на уроке, умений самостоятельно добывать знания, воспитывать у учащихся чувство удовлетворения от возможности показать на уроке свои знания не только по математике, но и в других областях школьных знаний; проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений
Предметные умения (УУД)
Познавательные: владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира, приобретают навыки геометрических построений; умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимают необходимость их проверки
Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей; осуществляют самоанализ и самоконтроль
Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками
Тип урока: изучение нового материала
Техническое обеспечение: компьютер, проектор, интерактивная доска
Оборудование: линейка, карандаш, треугольник; презентация.
Литература. Учебник Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов.
Этапы урока:
I. Организационный момент. 1 мин II. Актуализация знаний. Вычислить все неизвестные углы треугольника 7 мин III. Изучение нового материала. 14 минIV. Физкультминутка 1 мин V. Закрепление знаний. 1. Решение задач в тетрадях 5 мин 2. Самостоятельная работа 12 мин.
VI. Домашнее задание 1 мин VII. Итог урока 3 мин VIII. Рефлексия 1 мин
Ход урока
I. Организационный момент — приветствие; определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку.
ІI. Актуализация знаний
Один из учащихся доказывает теорему о сумме углов треугольника.
Второй учащийся решает на доске задачу № 230.
Устно со всем классом решаем задачи по готовым чертежам.
Вычислить все неизвестные углы треугольника
Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50° и 60°. (Слайд 2, рисунок 1). Презентация
Найдите неизвестный угол треугольника, если у него один угол прямой, а другой равен 20°. (Слайд 2, рисунок 2)
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами 40°. (Слайд 2, рисунок 3)
Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 30°. (Слайд 2, рисунок 4)
Вычислить все неизвестные углы прямоугольного равнобедренного треугольника. (Слайд 3, рисунок 1)
Вычислить все неизвестные углы равностороннего треугольника. (Слайд 3, рисунок 2)
Вычислите все неизвестные углы треугольников (Слайд 4)
Определите вид треугольника (Слайды 5, 6, 7)
III. Изучение нового материала.
Вступительное слово учителя (постановка проблемы урока).
Ребята, сегодня перед нами стоит такая проблема: нам нужно познакомиться ещё с одним углом, с которым мы раньше не встречались, у которого так же есть своё свойство. Мы сегодня повторили многие углы, которые мы знаем, и некоторые из них помогут нам в решении нашей поставленной задачи.
1. Ввести понятие внешнего угла треугольника:
Ребята, давайте выполним следующую практическую работу, а именно:
Постройте произвольный треугольник АВС
Проведите луч ВД так, чтобы полученный угол был смежным с углом В треугольника АВС.
Назовите получившийся угол (может быть два варианта АВД или СВД)
Где они лежат по отношению к треугольнику, внутри или вне его?
Эти углы имеют специальное название – они называются внешними углами треугольника.
А теперь запишем тему урока “Внешний угол треугольника и его свойство”
А как вы думаете, можно ли при других вершинах этого треугольника построить внешние углы?
Итак, попробуем сформулировать определение внешнего угла треугольника.
Вывод: Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Физкультминутка. Упражнения для глаз.
Что мы знаем об углах треугольника? (°)
Что мы знаем о смежных углах? (Сумма смежных углов равна 180° или °)
Посмотрите на эти равенство повнимательнее и скажите , что из них следует? ()
Какой можно сделать вывод?
Вывод: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
Это и есть свойство внешнего угла треугольника, и мы его вместе доказали.
IV. Закрепление знаний
1. Решение задач
1. Устно решить задачу: в треугольнике АВС =110°.
Чему равны:
а) сумма остальных внутренних углов треугольника?
б) внешний угол при вершине С?
2. По готовому чертежу на доске устно решить задачу:
Найдите внутренние и внешний угол СДF треугольника КСД.
3. Решить задачу № 232 под руководством учителя на доске и в тетрадях.
Дано: внешний угол треугольника АВС; .
Доказать: равнобедренный.
Решение
Проведем биссектрисы ВF и ВД смежных углов СВЕ и АВС, тогда ВF || АС, так как , а углы 1 и А соответственные при пересечении прямых ВF и АС секущей АВ, ВД , так как ВД , а BF || AC.
В треугольнике АВС биссектриса ВД является высотой, следовательно, треугольник АВС – равнобедренный (см. задачу № 133)
2. Обратное утверждение также верно, а именно: если треугольник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию треугольника, в два раза больше угла при основанию Действительно, этот внешний угол равен сумме двух углов при основании равнобедренного треугольника, с так как углы при основании равны, то данный внешний угол в два раза больше угла при основании треугольника.
2. Самостоятельная работа обучающего характера (на два варианта)
Вариант 1
1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 96°. Найдите два других угла.
2. В треугольнике СДЕ с углом проведена биссектриса СF, Найдите
Вариант 2
1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°. Найдите два других угла.
2. В треугольнике СДЕ проведена биссектриса СF, , .
Найдите
V. Домашнее задание: изучить пункт 31, стр.70; решить задачи № 233, 235.
VI. Итоги урока.
— Что такое внешний угол треугольника?
— Какое свойство внешнего угла мы сегодня доказали?
— Чему вы сегодня научились?
— Какие теоремы сегодня на уроке мы использовали при решении задач?
Самооценка детьми собственной деятельности.
VII. Рефлексия
Определите истинность для себя одного из следующих утверждений:
«Я понял, что такое внешний угол треугольника», 
«Я знаю, как находить градусную меру внешнего угла треугольника», 
«У меня остались нерешенные вопросы».
Отобразите свои ответы в виде смайликов на листочке.
Тема: «Внешние углы треугольника»
Тип урока: Ознакомление с новым материалом
Цели:
Познакомить учащихся с понятием внешнего угла
Доказать теорему о внешнем угле треугольника
Развить способность применять доказанную теорему в решении задач.
Ход урока
І . Устный опрос
Сформулировать теорему о сумме углов треугольника.
Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50 ° и 30°.
50 °
30°
Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 35°.
35°
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами 80°.
80°
К
B
акие углы изображены на рисунке?
C
D
A
Какие углы называются смежными?
Каким свойством обладают смежные углы?
Найдите углы смежные с углами в 30°, 45°, 60°, 90°
Назовите смежные углы
c
b
a
a1
Являются ли смежными AOB и DOC?
A
О
B
C
Найдите пары смежных углов на рисунке.
B
A
D
E
C
C какими углами не смежные DAB, EAC?
І
B
І. Изучение нового материала
A
C
D
— Постройте угол смежный с углом С.
— Угол, который вы построили, называется внешним углом ΔABC при вершине С.
Определение:
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол смежный с углом треугольника при этой вершине.
— Как вы думаете, можно ли еще построить внешний угол при вершине C?
— Что вы можете сказать о величине данных углов?
— Сколько всего внешних углов имеет треугольник?
Внешние углы треугольника обладают свойством, которые мы сегодня докажем.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
— Откройте учебник на стр. 66 и прочитайте внимательно.
— Где условие, где заключение?
— Что дано, что требовалось доказать?
Дано:
4 – внешний угол треугольника смежный с 3.
Доказать: 4 = 1+2
1
2
3
4
Доказательство:
— Чему равна сумма углов треугольника?
1. 1 + 2+3 = 180°
— Как найти сумму углов 1 и 2?
2. 1+ 2 = 180° — 3
— Как можно найти угол 4?
3. 4 = 180° — 3
— Что мы получим?
4. 4 = 1 + 2
ч.т.д.
— Какую теорему мы доказали?
ІІІ. Закрепление нового материала.
Пусть 4 = 70°. Чему равна сумма углов 1 и 2?
Сумма углов 1 и 2 равна 140°. Чему равен внешний угол не смежный с данными углами?
Задача 1. Внешний угол ABC при вершине C равен 120°. Найдите градусные меры углов треугольника, не смежные с ним, если известно, что один из них в 2 раза больше другого.
(с ребятами читаем еще раз условие задачи).
Д
B
ано:
BCD = 120°
B > A в 2 раза
Н
A
D
айдите: A и B
C
Решение:
Пусть A — х ° , тогда B = 2х° .
х +2х = 120
3х = 120
х =40 A = 40 °
B= 2 ·40° = 80°
Ответ: A = 40 °, B = 80°.
Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине B равен 108°. Найдите углы треугольника.
D
Дано:
A
B
C
108°
Δ ABC- равнобедренный
AC – основание, DBC = 108°
Найдите: A, B, C
Решение:
DBC = A + C = 108° — по свойству внешних углов
A = C = 108° : 2 = 54° — по свойству равнобедренного треугольника
B = 180° — 108° = 72° — по свойству смежных углов
Ответ: A = 54°, С = 54°, B = 72°.
Итог:
— Какой угол называется внешним?
— Каким свойством обладает внешний угол треугольника?
Дополнительные задания:
Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.
Ответ: 68°, 68°, 44°.
Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника.
Ответ: 120°, 120°, 120°.
Найдите внешний угол при основании равнобедренного треугольника с углом в 45°.
Ответ: 135°.
№
B
227 б)
A
C
D
Дано:
Δ ABC- равнобедренный
С < BCD
Найти углы Δ ABC
Решение:
Пусть С = х °, BCD = 3х°
Т.к. углы смежные и в сумме составляют 180°, то составим уравнение:
х + 3х = 180
4х = 180
х = 45
A = C = 45°
B = 90°.
Ответ: B = 90°.
ІV. Домашнее задание