Что такое внешний угол треугольника каким свойством обладает
Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà áóäåò ðàâíÿòüñÿ âíåøíåìó óãëó, íå ñìåæíîìó ñ íèìè.
Ïðîàíàëèçèðóåì óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Êàê èçâåñòíî, ñóììà âñåõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà 2 d, èç ýòîãî ïîëó÷àåì òîæäåñòâî / 1 + / 2 = 2d — / 3, íî è / ÂÑD, âíåøíèé óãîë ýòîãî òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíûé ñ / 1 è / 2, â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî âûðàçèòü òîæäåñòâîì 2d — / 3.
Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
/ 1 + / 2 = 2d — / 3;
/ ÂÑD = 2d — / 3.
Çíà÷èò âåðíûì áóäåò / 1 + / 2 = / ÂÑD.
Óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà êîíêðåòèçèðóåò ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î âíåøíåì óãëå òðåóãîëüíèêà, â êîòîðîé îáîñíîâûâàëîñü ëèøü, ÷òî âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà áîëüøå âñÿêîãî âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíîãî ñ íèì; òåïåðü æå ïîäòâåðæäåíî, ÷òî âíåøíèé óãîë ðàâíÿåòñÿ ñóììå îáîèõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì.
Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
| Ðàñ÷åò âñåõ óãëîâ, ñòîðîí è ïëîùàäè ïî èçâåñòíûì óãëàì è ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ÷åðòåæ òðåóãîëüíèêà | |
| Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Òðåóãîëüíèê | |
| Òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû, óãëû, âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíû, áèññåêòðèñû. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. | |
| Òðåóãîëüíèê | |
Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
| Íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû íå îäèíàêîâîé äëèíû, ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàçíîñòîðîííèìè. | |
| Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
Основные определения
Прежде чем рассмотреть определение внешнего угла треугольника, напомним несколько основных определений из начального курса геометрии, а именно:
- угла и треугольника;
- смежных углов;
- параллельных прямых.
Угол и треугольник являются геометрическими фигурами. Угол состоит из точки (вершины) и двух лучей (сторон угла), которые исходят из данной точки. Треугольник представляет собой три точки (вершины), соединённые отрезками (сторонами). Треугольник имеет три угла.
Определение 1
Смежными называют два угла, имеющие одну общую сторону, а другие две стороны являются продолжениями друг друга.
На рисунке ниже смежными углами являются углы $ADB$ и $BDC$. $angle ADB + angle BDC = angle ADC = 180^{circ}$.
Рисунок 1. Смежные углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Параллельными называются две непересекающиеся прямые на одной плоскости. Секущей по отношению к двум прямым называется прямая, которая пересекает две прямые в двух точках. Если две прямые параллельны, то в случае пересечения пары этих прямых секущей, получившиеся в результате этого действа накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{circ}$.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Теорема о сумме углов треугольника
Понятие внешнего угла треугольника встречается в теореме о сумме углов треугольника, которая звучит следующим образом:
Теорема 1
Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$.
Приведём её доказательство.
Пусть дан произвольный $triangle ABC$. Нужно доказать, что $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$.
Рисунок 2. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Проведём прямую $b$ через вершину $B$, которая будет параллельна стороне $AC$.
Рисунок 3. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что углы 1 и 5 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $b$ и $AC$ секущей $AB$. Углы 3 и 4 также являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прмяых секущей $BC$. Делаем вывод, что: $angle 5 = angle 1, angle 4 = angle 3$.
Очевидно, глядя на рисунок, что сумма углов 2, 4 и 5 равна $180^{circ}$. Отсюда следует, что $angle 1 +angle 2 +angle 3 = 180^{circ}$ или $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$. Ч.т.д.
Внешний угол треугольника
В доказательстве теоремы о сумме углов треугольника есть два примера внешнего угла треугольника. Это углы 4 и 5. Дадим определение:
Определение 2
Внешний угол треугольника — это угол, являющийся смежным с каким-нибудь углом данного треугольника.
Имеем теорему:
Теорема 2
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов данного треугольника, не являющихся смежным с внешним углом.
Докажем эту теорему.
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 4. Внешний угол треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Мы видим, что угол 4 является внешним углом, смежным с 2 углом треугольника. Очевидно, что $angle 4 +angle 2 = 180^{circ}$. По теореме о сумме углов:
$(angle 1 +angle 3)+angle 2=180^{circ}$. Отсюда следует, $angle 4 = angle 1 +angle 3$. Ч.т.д.
Рассмотрим пример задачи на данную тему.
Пример 1
Задача. $triangle ABC$ — равнобедренный. $AC$ — основание этого треугольника. $AC$=37 см, внешний угол при $B$ равняется $60^{circ}$. Нужно найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.
Решение. Сделаем рисунок:
Рисунок 5. Треугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке прямая, обозначающая расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ обозначена как $CD$. В математике такое расстояние называют высотой. По определению высоты треугольника, прямая высоты перпендикулярна той стороне, на которую опущена. То есть $angle ADC = 90^{circ}$.
По теореме о внешнем угле треугольника находим $angle B$: $angle B=180-60=120^{circ}$. По теореме о сумме углов треугольника получается, что $angle A + angle C = 180-120=60$. Так как треугольник равнобедренный, углы у основания равны по $30^{circ}$.
Рассмотрим $triangle ADC$. Из вышеуказанного следует, что он прямоугольный. Из свойства прямоугольных треугольников известно, что катет такого треугольника, который лежит против угла $30^{circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, $СD$ является катетом против угла $30^{circ}$, а $AC$ — гипотенуза. Поэтому справедливо утверждать, что $CD=37/2=18,5$ см.
Ответ: 18,5 см.
Таким образом, в данной статье мы получили полное представление о том, что такое внешний угол треугольника и разобрали сопутствующие теоремы.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Доказательство.
Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
| ∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º. Отсюда следует ∠ ABС + ∠ CAB = 180 º — ∠ BCA = ∠ BCD Теорема доказана. |
3. Задача по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».
У треугольников ABC и DEK: , AC=DK, AB=DE. Докажите, что .
Билет № 10
1. Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников (без доказательства).
Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо катету и гипотенузе
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенствапо гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо катету и острому углу
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых (доказательство одного из них).
Две прямые a и b на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a∥b.
Признак 1: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Через точку К — середину отрезка секущей — проведем перпендикуляр к прямой b — КН, продлим его до пересечения с прямой а.
АК = КВ, так как К середина АВ,
углы при вершине К равны как вертикальные,
∠КВН = ∠КАН’ по условию, ⇒
ΔВКН = ΔАКН’ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит ∠АН’К = ∠ВНК = 90°.
Обе прямые а и b перпендикулярны третьей прямой НН’, значит они параллельны.
Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 = ∠2 по условию (соответственные углы)
∠3 = ∠1 как вертикальные, ⇒
∠2 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.
Признак 3: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 + ∠2 = 180° по условию (односторонние углы),
∠2 + ∠3 = 180° так как эти углы смежные,
значит ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.
3. Задача по теме » Угол. Измерение углов».
Известно, что =90º. Луч OD делит угол AOB на два угла: и . Найдите , если угол AOD в два раза меньше угла DOB.
Билет № 11
| Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Треугольник |  | Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки. Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника. |
| Большая сторона треугольника |  | Против большей стороны треугольника лежит больший угол |
| Больший угол треугольника | Против большего угла треугольника лежит большая сторона | |
| Меньшая сторона треугольника | | Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол |
| Меньший угол треугольника | Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | |
| Длины сторон треугольника |  | Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. a < b + c |
Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон. a > |b – c| | ||
| Углы треугольника |  | Сумма углов треугольника равна 180° Посмотреть доказательство |
| Внешний угол треугольника |  | Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. δ = α + β . Посмотреть доказательство |
| Больший угол треугольника |  | Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°. , где α – больший угол треугольника. |
| Меньший угол треугольника |  | Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°. , где β – меньший угол треугольника. |
| Теорема косинусов |  | a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α , Посмотреть доказательство |
| Теорема синусов |  | , где R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
| Треугольник | |
| Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки. Определение. Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника. |
| Большая сторона треугольника | |
| Против большей стороны треугольника лежит больший угол |
| Больший угол треугольника | |
| Против большего угла треугольника лежит большая сторона |
| Меньшая сторона треугольника | |
| Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол |
| Меньший угол треугольника | |
| Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона |
| Длины сторон треугольника | |
| Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. a < b + c |
Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон. a > |b – c| | |
| Углы треугольника | |
| Сумма углов треугольника равна 180° Посмотреть доказательство |
| Внешний угол треугольника | |
| Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. δ = α + β . Посмотреть доказательство |
| Больший угол треугольника | |
| Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°. , где α – больший угол треугольника. |
| Меньший угол треугольника | |
| Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°. , где β – меньший угол треугольника. |
| Теорема косинусов | |
| a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α , Посмотреть доказательство |
| Теорема синусов | |
| , где R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
| Треугольник |
| Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки. Определение. Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника. |
| Большая сторона треугольника |
| Свойство большей стороны треугольника: Против большей стороны треугольника лежит больший угол |
| Больший угол треугольника |
| Свойство большего угла треугольника: Против большего угла треугольника лежит большая сторона |
| Меньшая сторона треугольника |
| Свойство меньшей стороны треугольника: Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол |
| Меньший угол треугольника |
| Свойство меньшего угла треугольника: Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона |
| Длины сторон треугольника |
| Неравенства трегольника: Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. a < b + c Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон. a > |b – c| |
| Углы треугольника |
| Свойство углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 180° Посмотреть доказательство |
| Внешний угол треугольника |
Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. δ = α + β . Посмотреть доказательство |
| Больший угол треугольника |
| Свойство большего угла треугольника: Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°. , где α – больший угол треугольника. |
| Меньший угол треугольника |
| Свойство меньшего угла треугольника: Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°. , где β – меньший угол треугольника. |
| Теорема косинусов |
| Теорема косинусов: a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α , Посмотреть доказательство |
| Теорема синусов |
| Свойство меньшего угла треугольника: , где R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.