Что такое свойства сложения и какие бывают

• Переместительное свойство умножения
• Сочетательное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:

a · b = b · a

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500

но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a — b) = m · a — m · b

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a — b) · m = a · m — b · m

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (a — b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · a — m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · a — m · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (a — b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Решение задачи с кружками

На рисунке слева изображены два желтых кружка, справа – один белый.

Найдем, сколько всего кружков изображено. Для этого к двум желтым кружкам прибавим один белый.

                          2                                +                       1                 =                3

Получаем три кружка.

Далее поменяем кружки местами. Белый кружок переместим и поставим слева, а два желтых будут справа. Изменилось ли количество кружков?

Запишем, какое действие необходимо выполнить. Для этого к одному белому прибавим два желтых.

               1                +                                            2                        =                3

Видим, что количество кружков осталось то же.

Решение задачи с квадратами

Такое же действие проделаем с квадратами. К трем розовым квадратам прибавим два зеленых и запишем действие, которое получилось.

                                       3                                   +                      2                    =   5

Получилось 5 квадратов.

Теперь поменяем местами зеленые и розовые квадраты. К двум зеленым добавим три розовых квадрата.

                        2                      +                                  3                              =   5

Количество квадратов не изменилось. Их пять.

Действие сложения, числа при сложении

Вспомним, какое действие мы все время выполняли. Выполняли действие сложения. Теперь вспомним, что числа при сложении называются слагаемыми и значением суммы.

Формулировка переместительного свойства сложения

Что мы проделывали с кругами и с квадратами? Мы их меняли местами. И доказывали, что при перестановке слагаемых значение суммы не изменяется. В математике это называется переместительным свойством сложения.

Пример применения переместительного свойства сложения

Пример 1.

На рисунке изображены два столбика примеров. Необходимо найти суммы в левом и правом столбике с одинаковым значением, соединив их стрелочками.

Правильный ответ:

То есть, не нужно выполнять вычисления, чтобы найти суммы с одинаковым значением, поскольку можно воспользоваться переместительным свойством сложения.

Мы знаем, что переместительное свойство сложения – это когда слагаемые меняются местами.

2 + 5 =  7                                       5 + 2 = 7

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Решение равенств путем применения переместительного свойства сложения

Пример 2.

Необходимо дописать равенства, воспользовавшись переместительным свойством слагаемых.

1 + 2 =  2 +…

8 + 2 = …+…

6 + 4 = …+…

7 + 3 =  4 + 6

Для этого достаточно поменять слагаемые местами.

Правильный ответ:

1 + 2 = 2 + 1

8 + 2 = 2 + 8

6 + 4 = 4 + 6

Тут мы воспользовались переместительным свойством сложения. Теперь подумайте, подойдет ли равенство 7 + 3 = 4 + 6 к нашему заданию?

Правильный ответ: нет. Хотя изначально значение сумм одинаковое (7 + 3 = 10 и 4 + 6 = 10) и равенство верное, но здесь не было выполнено перестановки слагаемых, то есть тут мы не пользовались переместительным свойством сложения.

Итак, на данном уроке мы изучили переместительное свойство сложения, которое заключается в том, что от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется. Также мы повторили, как называются числа при сложении.

Список литературы

1. Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. – М: Мнемозина, 2012.
2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. – М: Астрель, 2012.
3. Беденко М.В. Математика. 1 класс. – М7: Русское слово, 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Законы арифметики (Источник).
2. Фестиваль педагогических наук «Открытый урок» (Источник).
3. Infourok.ru (Источник).

Домашнее задание

Какое основное правило переместительного свойства сложения?

Запишите выражения, пользуясь переместительным свойством сложения:

4+2 = ?

6+3 = ?

1+7 = ?

5+9 = ?    

Как называются числа при сложении?

Математика, 2 класс

Урок № 16. Свойства сложения. Применение переместительного и сочетательного свойств сложения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое сочетательное свойство сложения?

-В каких случаях можно использовать свойства сложения?

Глоссарий по теме:

Переместительное свойство сложения: слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.

Сочетательное свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.

Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):

1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.44-47

2. Математика. КИМы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Глаголева Ю.И., Волкова А.Д.-М.: Просвещение, Учлит, 2017, с.18, 19

3. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова С.И.-М.: Просвещение, 2017.- с.28, 29

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сравним выражения и их значения:

6+9 *9+6

45+5*5+45

Сумма чисел шесть и девять равна сумме чисел девять и шесть.

Сумма чисел сорок пять и пять равна сумме чисел пять и сорок пять.

6+9 =9+6

45+5=5+45

Что заметили?

Значения выражений равны, так как от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Вспомним, как в математике называется данное свойство сложения?

Правильно, оно называется переместительным свойством сложения.

Решим задачу.

В школьном спортзале 3 волейбольных мяча, 5 баскетбольных мячей и 4 футбольных мяча. Сколько всего мячей в спортзале?

Первый способ решения.

Сначала узнаем, сколько волейбольных и баскетбольных мячей, затем прибавим число футбольных мячей. Запишем: к сумме чисел три и пять прибавить четыре, получится двенадцать.

(3+5)+4=12 (м.)

Второй способ решения.

Прибавим к числу волейбольных мячей сумму баскетбольных и футбольных мячей. Запишем: к трем прибавить сумму чисел пять и четыре равно двенадцать.

3+(5+4)=12 (м.)

В обоих случаях получили одинаковый результат, значит, выражения равны между собой. Можем записать так: (3+5)+4=3+(5+4)

Теперь ты знаешь еще одно свойство сложения: результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой. Это свойство называется сочетательным свойством сложения.

Знание этих двух свойств сложения позволит нам решать примеры на сложение удобным способом.

Решим выражение: 1+7+9+3=?

Мы знаем, что слагаемые можно менять местами и соседние слагаемые заменять их суммой. Воспользуемся свойствами сложения и найдем сумму.

1+7+9+3= (1+9)+(7+3)=10+10=20

В данном случае удобно сложить попарно 1 и 9, 7 и 3. А затем сложить полученные результаты. Получим 20.

Делаем вывод: используя переместительное и сочетательное свойства сложения можно складывать числа в любом порядке, как удобнее.

Тренировочные задания.

1. Вычислите суммы удобным способом

30 + 3 + 7 + 40 = _________ 4 + 10 + 6 + 70=_______________

Правильный ответ:

1. 30 + 3 + 7 + 40 = (3+7)+(30+40)=80 2. 4 + 10 + 6 + 70= (10+70)+(4+6)

2. Совместите название математического свойства с его значением и выражением

Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.

Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.

9+5+1+5 = (9+1) + (5+5)

9+6 = 6 + 9

Правильный ответ:

Результат сложения не изменится, если соседние слагаемые заменить их суммой.

Слагаемые можно переставлять местами, при этом значение суммы не изменится.

9+5+1+5 = (9+1) + (5+5)

9+6 = 6 + 9

Сочетай, перемещай, свойства действий

узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

•  Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сумма не изменяется от перестановки  слагаемых .

Пример:
3 + 8 = 8 + 3;  5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b=b+a

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

• Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

•  Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

• Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Например:

(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

(20-8)/5= 20/5 — 8/5

Вообще:

(a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.