Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства

Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства thumbnail

Предварительные сведения

Для начала разберемся с таким понятием, как параллелограмм.

Определение 1

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины.

Четырехугольник имеет $4$ стороны, $4$ вершины и $4$ угла. Стороны, не имеющие общих вершин, называют противоположными сторона четырехугольника, в противном случае они называются смежными. Углы, не имеющие общих сторон, также называют смежными.

Введем теперь, непосредственно, определение параллелограмма.

Определение 2

Параллелограмм — это четырехугольник, в котором противоположные стороны параллельны между собой.

Напомним основные свойства параллелограмма.

Свойство 1: Противоположные стороны и углы параллелограмма равны, соответственно, между собой.

Свойство 2: Диагонали, проведенные в параллелограмме, делятся пополам их точкой пересечения.

Рассмотрим далее подробно понятия прямоугольника, ромба и квадрата.

Прямоугольник

Определение 3

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником (рис. 1).

Прямоугольник

Рисунок 1. Прямоугольник

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Очевидно, что в прямоугольнике все четыре угла равняются ${90}^0$

Рассмотрим два свойства прямоугольника.

Свойство 3: Обе диагонали прямоугольника равны между собой.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$ (рис. 2). Докажем, что $AC=BD$.

Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства

Рисунок 2.

Так как прямоугольник по определению $1$ является параллелограммом, то по свойству $1$ параллелограмма, имеем

Так как $angle B=angle A={90}^0$, а $AB$ — общая сторона, то по I признаку равенства треугольников, $triangle ABD=triangle ABC$. Следовательно

Свойство доказано.

Свойство 4 (признак прямоугольника): Если обе диагонали параллелограмма равны между собой, то он является прямоугольником.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $R$ (рис. 2).

Из свойства $2$ параллелограмма и равенства его диагоналей, получим

Так как $angle DRC=angle ARB$, как вертикальные, то по $I$ признаку равенства треугольников $triangle DRC=triangle ARB$. Значит, $angle RDC=angle RCD=angle RAB={rm }angle RBA$.

Так как $angle DRA=angle CRB$, как вертикальные, то по I признаку равенства треугольников $triangle DRA=triangle CRB$. Значит, $angle RDA=angle RAD=angle RCB={rm }angle RBC$.

Следовательно, $angle A=angle B=angle C=angle D$.

Так как сумма углов четырехугольника равняется ${360}^0$, то

Значит, по определению $3$, $ABCD$ является прямоугольником.

Свойство доказано.

Ромб

Определение 4

Параллелограмм, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется ромбом (рис. 3).

Ромб

Рисунок 3. Ромб

Рассмотрим свойство ромба.

Свойство 5: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и перпендикулярны друг другу.

Доказательство.

Пусть нам дан ромб $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $E$ (рис. 4).

Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства

Рисунок 4.

Так как ромб является прямоугольником с равными сторонами, то

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников,

Это доказывает, что диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Так как $AB=AD$, то треугольник $ABD$ равнобедренный, а так как $AE$ — медиана треугольника $ABD$, то $AC$ перпендикулярно $BD$.

Свойство доказано.

Квадрат

Прямоугольник, у которого все его четыре стороны равны между собой, называется квадратом (рис. 5).

Квадрат

Рисунок 5. Квадрат

Очевидно, что квадрат — частный случай ромба. Следовательно, квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Пример задачи

Пример 1

Найти периметр квадрата, диагональ которого равняется $10$.

Решение.

Обозначим сторону квадрата через $a$. Тогда, по теореме Пифагора

[a^2+a^2=100] [{2a}^2=100] [a^2=50] [a=5sqrt{2}] [P=4a=20sqrt{2}]

Ответ: $20sqrt{2}$.

Источник

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

1. Параллелограмм

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

Смотри:

Параллелограмм.Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

Параллельные прямые

Пересекли ещё двумя:

параллельные прямые 2.

И вот внутри – параллелограмм!

Какие же есть свойства у параллелограмма?

Свойства параллелограмма.

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм?

На этот вопрос отвечает следующая теорема:

В любом параллелограмме:

  1. Противоположные стороны равны
  2. Противоположные углы равны
  3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения
Читайте также:  Какие сильные свойства проявляет алюминий

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

Противоположные стороны параллелограмма равны.  и
 .

Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм, то, опять же, непременно:

Противоположные углы параллелограмма равны.  и
 

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

Диагонали в параллелограмме делятся пополам точкой пересечения.  и
 

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма.

Внимание! Начинаем.

  • Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 1. ;       — параллелограмм.

  — паралелограмм.

  • Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 2. ;       – параллелограмм.
  • Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 3. ;      – параллелограмм.
  • Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 4. ;       – параллелограмм.

Обрати внимание: если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.

2. Прямоугольник

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Прямоугольник.Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является! Ведь у него   и   — помнишь, наш признак 3?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма   и  , а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительноесвойство.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника.Диагонали прямоугольника равны:  .

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Свойство прямоугольника.Если у параллелограмма равны диагонали, то это — прямоугольник.

Обрати внимание: чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

3. Ромб

Ромб.Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него   и   (вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

  • Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.
Свойство ромба 1.  (если ты забыл, напомню:  — значок перпендикулярности)
  • Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Свойство ромба 2.

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Признаки ромба

  • Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Признак ромба 1.

  • Признак 2. Если в параллелограммехотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

Признак ромба 2.

И снова обрати внимание: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм. Убедись:

Ромбом может быть только параллелограмм.разве это ромб?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ   – биссектриса углов   и  . Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому   – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

4. Квадрат

КвадратКвадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат, прямоугольник, ромб.У квадрата угол между диагональю и стороной равен  .

Понятно почему? Квадрат — ромб   – биссектриса угла A, который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Диагонали квадрата.Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник  диагонали равны; ромб  диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм  диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Диагональ квадрата.Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

Значит,  .

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

Читайте также:  Какие углы называют смежными каким свойством они обладают

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Параллелограмм. Доказательство теоремы.Давай проведём диагональ  . Что получится?
Два треугольника:   и  .

Раз   – параллелограмм, то :

  •    как накрест лежащие
  •    как накрест лежащие.

Значит,   (по II признаку:   и   — общая.)

Ну вот, а раз  , то   и   – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь   (смотри на картинку), то есть  , а   именно потому, что  .

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Параллелограмм. Доказательство теоремы 2.Мы уже выяснили, что  . Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что   — по II признаку (  угла и сторона «между» ними).

Параллелограмм. Доказательство теоремы 3.Значит,   (напротив углов   и  ) и   (напротив углов   и   соответственно).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

Параллелограмм. Признак №1 - 1. ;     – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему   – этого хватит. Но смотри:

Параллелограмм. Признак №1 - 2.  по 1 признаку:  ,  — общая и   как накрест лежащие при параллельных   и   и секущей  .

А раз  ,

Параллелограмм. Признак №1 - 2то   (лежат напротив   и   соответственно). Но это значит, что   (  и   — накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

Параллелограмм. Признак №2 - 1 ,     – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ  .

Параллелограмм. Признак №2 - 2.Теперь   просто по трём сторонам.

А значит:

Параллелограмм. Признак №2 - 3.   и   , то есть   – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

Параллелограмм. Признак №3 - 1 ,     – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Параллелограмм. Признак №2 - 2  (ведь   – четырехугольник, а  ,   по условию).

Значит,  . Ух! Но   и   – внутренние односторонние при секущей  !

Поэтому тот факт, что   означает, что  .

А если посмотришь с другой стороны, то   и   – внутренние односторонние при секущей  ! И поэтому  .

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

Параллелограмм. Признак №3 - 1 ;       – параллелограмм.

И опять просто:

Параллелограмм. Признак №3 - 2 ,   как вертикальные  ,  , и  .

Точно так же  ,    , и  .

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Достаточные условия для свойств параллелограмма.

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Прямоугольник. Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Свойства прямоугольника:

  1. Прямоугольник – параллелограмм
  2. Диагонали прямоугольника равны

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (  )

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.

Диагонали прямоугольника - равны.Раз прямоугольник – это параллелограмм, то  .

А значит,   по двум катетам (  и   — общий).

Ну вот, раз треугольники   и   равны, то у них и гипотенузы   и   тоже равны.

Доказали, что  !

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

Параллелограмм с равными диагоналями.  – параллелограмм  
  – по условию.
  – теперь уже по трём сторонам.

Значит,   (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что   – параллелограмм, и поэтому  .

Значит,  . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по  ! Ведь в сумме-то они должны давать  !

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб.Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.
Читайте также:  Какими свойствами обладает лизобакт

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него   и   (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Ромб. Свойство 1.Поэтому   по трём сторонам ( ,   — общая,  ).И значит,  , но они смежные!
  и  .

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да, потому же!

Ромб. Свойство 2.Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника:  .

Поэтому

Иными словами, диагонали   и   оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

Ромб. Признак 1. 
   — ромб

Почему? Смотри:

Ромб. Признак 1. Обоснование.  — параллелограмм  .
Но ещё дано, что
    — по двум катетам.
И значит,   – и всё!

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри,

Ромб. Признак 2. , так как   – параллелограмм. Но ещё дано, что   – биссектриса углов   и  .

Значит,   и оба этих треугольника – равнобедренные.

Ромб. Признак 2. Обоснование.Значит,  , то есть   — ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Не каждый четырехугольник - ромб.Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Квадрат.Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат. Угол между диагональю и стороной.У квадрата угол между диагональю и стороной равен  .

Понятно, почему? Квадрат — ромб     – биссектриса угла  , который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Диагонали квадрата.Диагонали квадрата – равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник   диагонали равны; ромб   диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм   диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Зависимость длины диагонали квадрата, от длины его стороны.Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

Значит,  

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства
  • Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  1. Противоположные стороны равны:  ,  .
  2. Противоположные углы равны:  ,  .
  3. Углы при одной стороне составляют в сумме  :  ,  ,  ,  .
  4. Диагонали делятся точкой пересечения пополам:  .
Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства
  • Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые:  .

Свойства прямоугольника:

  1. Диагонали прямоугольника равны:  .
  2. Прямоугольник – параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства
  • Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой:  .

Свойства ромба:

  1. Диагонали ромба перпендикулярны:  .
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов:  ;  ;  ;  .
  3. Ромб – параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства
  • Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые:  ;  .

Свойства квадрата:

Квадрат — ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же:

Что такое прямоугольник ромб квадрат какие свойства
  • Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

Источник