Что такое модель каким свойствам она должна соответствовать

30.07.2020
0
Главная › Какие свойства › Что такое модель каким свойствам она должна соответствовать
Что такое модель каким свойствам она должна соответствовать thumbnail

Главная Моделирование

»

Файлы

» Методички »

Моделирование

[ Добавить материал ]

Модель (лат. modulus — мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Модель — создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта – оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.

Моделирование – процесс создания и использования модели.

Цели моделирования

  • Познание действительности
  • Проведение экспериментов
  • Проектирование и управление
  • Прогнозирование поведения объектов
  • Тренировка и обучения специалистов
  • Обработка информации

Классификация по форме представления

  1. Материальные — воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение (детские игрушки, наглядные учебные пособия, макеты, модели автомобилей и самолетов и прочее).

    • a) геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно- геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);
    • b) основанные на теории подобия субстратно подобные, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);
    • c) аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).
  2. Информационные — совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также их взаимосвязь с внешним миром).

    • 2.1. Вербальные — словесное описание на естественном языке).
    • 2.2. Знаковые — информационная модель, выраженная специальными знаками (средствами любого формального языка).
      • 2.2.1. Математические — математическое описание соотношений между количественными характеристиками объекта моделирования.
      • 2.2.2. Графические — карты, чертежи, схемы, графики, диаграммы, графы систем.
      • 2.2.3. Табличные — таблицы: объект-свойство, объект-объект, двоичные матрицы и так далее.
  3. Идеальные – материальная точка, абсолютно твердое тело, математический маятник, идеальный газ, бесконечность, геометрическая точка и прочее…
    • 3.1. Неформализованные модели — системы представлений об объекте оригинале, сложившиеся в человеческом мозгу.
    • 3.2. Частично формализованные.
      • 3.2.1. Вербальные — описание свойств и характеристик оригинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента).
      • 3.2.2. Графические иконические — черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты).
      • 3.2.3. Графические условные — данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем.
    • 3.3. Вполне формализованные (математические) модели.

Свойства моделей

  • Конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
  • Упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;
  • Приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
  • Адекватность: насколько успешно модель описывает моделируемую систему;
  • Информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе — в рамках гипотез, принятых при построении модел;
  • Потенциальность: предсказуемость модели и её свойств;
  • Сложность: удобство её использования;
  • Полнота: учтены все необходимые свойства;
  • Адаптивность.

Так же необходимо отметить:

  1. Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются субъект; задача, решаемая субъектом; объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели. Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.
  2. Каждому материальному объекту, вообще говоря, соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.
  3. Паре задача-объект тоже соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.
  4. Модель по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего. Это ее фундаментальное свойство.
  5. Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.
  6. Частным, но весьма важным для развитых в теоретическом отношении научных и технических дисциплин является случай, когда роль объекта-моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некий идеальный конструкт, т.е. по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная. Подобное вторичное, а в общем случае n-кратное моделирование может осуществляться теоретическими методами с последующей проверкой получаемых результатов по экспериментальным данным, что характерно для фундаментальных естественных наук. В менее развитых в теоретическом отношении областях знания (биология, некоторые технические дисциплины) вторичная модель обычно включает в себя эмпирическую информацию, которую не охватывают существующие теории.

Добавил: COBA (12.06.2010) | Категория: Моделирование

Просмотров: 76962 | Загрузок: 0
| Рейтинг: 3.9/17 |
Теги: модели, моделирование, свойства, классификация

Источник

Основные свойства любой модели:

  • целенаправленность — модель всегда отображает некоторую систему, т.е. имеет цель;
  • конечность — модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
  • упрощенность — модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;
  • приблизительность — действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
  • адекватность — модель должна успешно описывать моделируемую систему;
  • наглядность, обозримость основных ее свойств и отношений;
  • доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;
  • информативность — модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели ) и должна давать возможность получить новую информацию;
  • сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);
  • полнота — в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования ;
  • устойчивость — модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже она вначале является неустойчивой;
  • целостность — модель реализует некоторую систему (т.е. целое);
  • замкнутость — модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений;
  • адаптивность — модель может быть приспособлена к различным входным параметрам, воздействиям окружения;
  • управляемость (имитационность) — модель должна иметь хотя бы один параметр, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях;
  • эволюционируемость — возможность развития моделей (предыдущего уровня).
Читайте также:  Каким уникальным свойством обладают числа 3 и 11 которых нет у других чисел

Жизненный цикл моделируемой системы:

  • сбор информации об объекте, выдвижение гипотез, предмодельный анализ;
  • проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);
  • построение спецификаций модели, разработка и отладка отдельных подмоделей, сборка модели в целом, идентификация (если это нужно) параметров моделей ;
  • исследование модели — выбор метода исследования и разработка алгоритма (программы) моделирования ;
  • исследование адекватности, устойчивости, чувствительности модели ;
  • оценка средств моделирования (затраченных ресурсов);
  • интерпретация, анализ результатов моделирования и установление некоторых причинно-следственных связей в исследуемой системе;
  • генерация отчетов и проектных (народно-хозяйственных) решений;
  • уточнение, модификация модели, если это необходимо, и возврат к исследуемой системе с новыми знаниями, полученными с помощью модели и моделирования.

Моделирование — метод системного анализа. Но часто в системном анализе при модельном подходе исследования может совершаться одна методическая ошибка, а именно, — построение корректных и адекватных моделей (подмоделей) подсистем системы и их логически корректная увязка не дает гарантий корректности построенной таким способом модели всей системы. Модель, построенная без учета связей системы со средой и ее поведения по отношению к этой среде, может часто лишь служить еще одним подтверждением теоремы Геделя, а точнее, ее следствия, утверждающего, что в сложной изолированной системе могут существовать истины и выводы, корректные в этой системе и некорректные вне ее.

Наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования (системы, модели ) на этапы (подсистемы, подмодели), детальном изучении каждого этапа, взаимоотношений, связей, отношений между ними и затем эффективного описания их с максимально возможной степенью формализации и адекватности. В случае нарушения этих правил получаем не модель системы, а модель «собственных и неполных знаний».

Моделирование (в значении «метод», «модельный эксперимент») рассматривается как особая форма эксперимента, эксперимента не над самим оригиналом (это называется простым или обычным экспериментом), а над копией (заместителем) оригинала. Здесь важен изоморфизм систем (оригинальной и модельной) — изоморфизм, как самой копии, так и знаний, с помощью которых она была предложена.

Модели и моделирование применяются по основным направлениям:

  • обучение (как моделям, моделированию, так и самих моделей );
  • познание и разработка теории исследуемых систем (с помощью каких-либо моделей, моделирования, результатов моделирования );
  • прогнозирование (выходных данных, ситуаций, состояний системы);
  • управление (системой в целом, отдельными подсистемами системы), выработка управленческих решений и стратегий;
  • автоматизация (системы или отдельных подсистем системы).

Вопросы для самоконтроля

  1. Что такое модель, для чего она нужна и как используется? Какая модель называется статической (динамической, дискретной и т.д.)?
  2. Каковы основные свойства моделей и насколько они важны?
  3. Что такое жизненный цикл моделирования (моделируемой системы)?

Задачи и упражнения

  1. В последнее время наиболее актуальной проблемой в экономике стало воздействие уровня налогообложения на хозяйственную деятельность. В ряду прочих принципов взимания налогов важное место занимает вопрос о той предельной норме, превышение которой влечет потери общества и государства, несоизмеримые с текущими доходами бюджета. Определение совокупной величины налоговых сборов таким образом, чтобы она, с одной стороны, максимально соответствовала государственным расходам, а с другой, оказывала минимум отрицательного воздействия на деловую активность, относится к числу главных задач управления государства. Опишите, какие, на ваш взгляд, параметры необходимо учесть в модели налогообложения хозяйственной деятельности, соответствующей указанной цели. Составьте простую (например, рекуррентного вида) модель сбора налогов, исходя из налоговых ставок, изменяемых в указанных диапазонах: налог на доход — 8-12 %, налог на добавленную стоимость — 3-5 %, налог на имущество юридических лиц — 7-10%. Совокупные налоговые отчисления не должны превышать 30-35% прибыли. Укажите в этой модели управляющие параметры. Определите одну стратегию управления с помощью этих параметров.
  2. Заданы числовой — xi, i=0, 1, …, n и символьный — yi, i=0, 1, …, m массивы X и Y. Составить модель стекового калькулятора, который позволяет осуществлять операции:
    1. циклический сдвиг вправо массива X или Y и запись заданного числа в x0 или символа операции — y0 (в «верхушку стека» X(Y) ) т.е. выполнение операции «вталкивание в стек»;
    2. считывание «верхушки стека» и последующий циклический сдвиг влево массива X или Y — операция «выталкивания из стека»;
    3. обмен местами x0 и x1 или y0 и y1 ;
    4. «раздваивание верхушки стека», т.е. получение копии x0 или y0 в x1 или y1 ;
    5. считывание «верхушки стека» Y (знака +, -, * или /), затем расшифровка этой операции, считыавние операндов операций с «верхушки» X, выполнение этой операции и помещение результата в «верхушку» X.
  3. Известна классическая динамическая модель В.Вольтерра системы типа «хищник-жертва», являющейся моделью типа «ресурс-потребление». Рассмотрим клеточно-автоматную модель такой системы. Алгоритм поведения клеточного автомата, моделирующего систему типа «хищник-жертва», состоит из следующих этапов:
    1. задаются начальные распределения хищников и жертв, случайно или детерминированно;
    2. определяются законы «соседства» особей (правила взаимоотношений) клеток, например, «соседями» клетки с индексами (i,j) считаются клетки (i-1,j), (i,j+1), (i+1,j), (i,j-1) ;
    3. задаются законы рождаемости и смертности клеток, например, если у клетки меньше двух (больше трех) соседей, она отмирает «от одиночества» («от перенаселения»).

    Цель моделирования: определение эволюции следующего поколения хищников и жертв, т.е., используя заданные законы соседства и динамики дискретного развития (время изменяется дискретно), определяются число новых особей (клеток) и число умерших (погибших) особей; если достигнута заданная конфигурация клеток или развитие привело к исчезновению вида (цикличности), то моделирование заканчивается.

Читайте также:  Какие лечебные свойства подорожника

Темы научных исследований и рефератов, интернет-листов

  1. Моделирование как метод, методология, технология.
  2. Модели в микромире и макромире.
  3. Линейность моделей (наших знаний) и нелинейность явлений природы и общества.

Источник

  • Конечность: модель отображает
    оригинал лишь в конечном числе его
    отношений и, кроме того, ресурсы
    моделирования конечны;

  • Упрощенность: модель отображает
    только существенные стороны объекта;

  • Приблизительность: действительность
    отображается моделью грубо или
    приблизительно;

  • Адекватность: насколько успешно
    модель описывает моделируемую систему;

  • Информативность: модель должна
    содержать достаточную информацию о
    системе — в рамках гипотез, принятых
    при построении модел;

  • Потенциальность: предсказуемость
    модели и её свойств;

  • Сложность: удобство её использования;

  • Полнота: учтены все необходимые
    свойства;

  • Адаптивность.

Одни и те же устройства, процессы, явления
и т. д. (далее — «системы») могут
иметь много разных видов моделей. Как
следствие, существует много названий
моделей, большинство из которых отражает
решение некоторой конкретной задачи.

Требования к моделям. Моделирование всегда предполагает принятие допущений той или иной степени важности. При этом должны удовлетворяться следующие требования к моделям:

  • адекватность,
    то есть соответствие модели исходной
    реальной системе и учет, прежде всего,
    наиболее важных качеств, связей и
    характеристик. Оценить адекватность
    выбранной модели, особенно, например,
    на начальной стадиипроектирования,
    когда вид создаваемой системы ещё
    неизвестен, очень сложно. В такой
    ситуации часто полагаются на опыт
    предшествующих разработок или применяют
    определенные методы, например,метод
    последовательных приближений;

  • точность,
    то есть степень совпадения полученных
    в процессе моделирования результатов
    с заранее установленными, желаемыми.
    Здесь важной задачей является оценка
    потребной точности результатов и
    имеющейся точности исходных данных,
    согласование их как между собой, так и
    с точностью используемой модели;

  • универсальность, то есть применимость
    модели к анализу ряда однотипных систем
    в одном или нескольких режимах
    функционирования. Это позволяет
    расширить область применимости модели
    для решения бо́льшего круга задач;

  • целесообразная экономичность, то
    есть точность получаемых результатов
    и общность решения задачи должны
    увязываться с затратами на моделирование.
    И удачный выбор модели, как показывает
    практика, — результат компромисса
    между отпущенными ресурсами и
    особенностями используемой модели;

  • и др.

Выбормодели и обеспечение точности моделирования
считается одной из самых важных задач
моделирования.

Основные этапы моделирования.
Моделирование– процесс создания
и использования модели. Моделирование
является обязательной частью исследований
и разработок, неотъемлемой частью нашей
жизни, поскольку сложность любого
материального объекта и окружающего
его мира бесконечна вследствие
неисчерпаемости материи и форм её
взаимодействия внутри себя и с внешней
средой.

Цели моделирования

  • Познание действительности

  • Проведение экспериментов

  • Проектирование и управление

  • Прогнозирование поведения объектов

  • Тренировка и обучения специалистов

  • Обработка информации

Все этапы моделирования определяются
поставленной задачей и целями
моделирования. В общем случае процесс
построения и исследования модели можно
представить следующей схемой:

Что такое модель каким свойствам она должна соответствовать

Первый этап— постановка
задачи включает в себя стадии:описание
задачи, определение цели моделирования,
анализ объекта.

  • Описание задачи.Задача формулируется на обычном языке.
    По характеру постановки все задачи
    можно разделить на две основные группы.
    К первой группе можно отнести задачи,
    в которых требуется исследовать, как
    изменятся характеристики объекта при
    некотором воздействии на него, «что
    будет, если?    …». В задачах, относящихся
    ко второй группе, требуется определить,
    какое надо произвести воздействие на
    объект, чтобы его параметры удовлетворяли
    некоторому заданному условию, «как
    сделать, чтобы?    ..».

  •  Определение цели моделирования.
     На этой
    стадии необходимо среди многих
    характеристик (параметров) объекта
    выделить существенные. Для одного
    и того же объекта при разных целях
    моделирования существенными будут
    считаться разные свойства. Определение
    цели моделирования позволяет четко
    установить, какие данные являются
    исходными, что требуется получить на
    выходе и какими свойствами объекта
    можно пренебречь. Строитсясловесная
    модель    задачи.

  • Анализ объектаподразумевает четкое
    выделение моделируемого объекта и его
    основных свойств.

Второй этап— формализация
задачи связан с созданиемформализованной
модели, то есть модели, записанной
на каком-либо формальном языке. Например,
данные переписи населения, представленные
в виде таблицы или диаграммы — это
формализованная модель.

В общем смысле формализация —
это приведение существенных свойств и
признаков объекта моделирования к
выбранной форме. Формальная модель —
это модель, полученная  в результате
формализации.

Третий этап— разработка
модели начинается с выбора инструмента
моделирования, другими словами,
программной среды, в которой будет
создаваться и исследоваться модель. От
этого выбора зависиталгоритмпостроения
модели, а также форма его представления.
В среде программирования этопрограмма,
написанная на соответствующем языке.
В прикладных средах (электронные таблицы,
СУБД, графических редакторах и т. д.) этопоследовательность технологических
приемов, приводящих к решению задачи.
Одну и ту же задачу можно решить, используя
различные среды. Выбор инструмента
моделирования зависит, в первую очередь,
от реальных возможностей, как технических,
так и материальных.

Читайте также:  У ткани из каких волокон выше теплозащитные свойства

Четвертый этап— эксперимент
включает две стадии: тестирование модели
и проведение исследования.

  • Тестирование модели —
    процесс проверки правильности
    построения модели. На этой стадии
    проверяется разработанный алгоритм
    построения модели иадекватностьполученной модели объекту и цели
    моделирования. Для проверки правильности
    алгоритма построения модели используется
    тестовые данные, для которых конечный
    результат заранее  известен (обычно
    его определяют ручным способом). Если
    результаты совпадают, то алгоритм
    разработан верно, если нет — надо искать
    и устранять причину несоответствия.
    Тестирование должно быть
    целенаправленным и систематизированным,
    а усложнение тестовых данных должно
    происходить постепенно. Чтобы убедиться,
    что построенная модель правильно
    отражает существенные для цели
    моделирования свойства оригинала, то
    есть является адекватной, необходимо
    подбирать тестовые данные, которые
    отражают  реальную ситуацию.

  • Исследование модели.К этой
    стадии можно переходить только после
    того, как тестирование модели прошло
    успешно, и вы уверены, что создана именно
    та модель, которую необходимо исследовать.

Пятый этап— анализ результатов
является ключевым для процесса
моделирования. Именно по итогам этого
этапа принимается решение: продолжать
исследование или закончить. Если
результаты не соответствуют целям
поставленной задачи, значит, на предыдущих
этапах были допущены ошибки. В этом
случае необходимокорректировать
модель, то есть возвращаться к одному
из предыдущих этапов. Процесс повторяется
до тех пор, пока результаты эксперимента
не будут отвечать целям моделирования.

Информационная модель объекта —модельобъекта,
представленная в видеинформации,
описывающей существенные для данного
рассмотренияпараметрыипеременные
величиныобъекта, связи
между ними, входы и выходы объекта и
позволяющая путём подачи на модель
информации об изменениях входных величин
моделировать возможные состояния
объекта.Информационныемоделинельзя потрогать или увидеть, они не
имеют материального воплощения, потому
что строятся только на информации.
Информационная модель — совокупность
информации, характеризующая существенные
свойства и состояния объекта, процесса,
явления, а также взаимосвязь с внешниммиром.

Виды информационных моделей:

1. Описательные информационные модели— это модели, созданные на естественном
языке (т.е. на любом языке общения между
людьми: английском, русском, китайском,
мальтийском и т.п.) в устной или письменной
форме.

2. Формальные информационные модели— это модели, созданные на формальном
языке (т.е. научном, профессиональном
или специализированном). Примеры
формальных моделей: все виды формул,
таблицы, графы, карты, схемы и т.д.

3. Хроматические (информационные)
модели— это модели, созданные на
естественном языке семантики цветовых
концептов и их онтологических предикатов
(т.е. на языке смыслов и значений цветовых
канонов, репрезентативно воспроизводившихся
в мировой культуре). Примеры хроматических
моделей: «атомарная» модель
интеллекта (АМИ), межконфессиональная
имманентность религий (МИР), модель
аксиолого-социальной семантики (МАСС)
и др., созданные не базе теории и
методологии хроматизма.

Рассмотрим подробнее класс информационных
моделей с позиции способов представления
информации. Форма представления
информационной модели зависит от способа
кодирования (алфавита) и материального
носителя.

Воображаемое(мысленное или
интуитивное) моделирование — это мысленное
представление об объекте. Такие модели
формируются в воображении человека и
сопутствуют его сознательной деятельности.
Они всегда предшествуют созданию
материального объекта, материальной и
информационной модели, являясь одним
из этапов творческого процесса. Например,
музыкальная тема в мозгу композитора
— интуитивная модель музыкального
произведения.

Вербальноемоделирование (относится
к знаковым) — это представление
информационной модели средствами
естественного разговорного языка
(фонемами). Мысленная модель, выраженная
в разговорной форме, называется вербальной
(от латинского слова verbalize — устный).
Форма представления такой модели —
устное или письменное сообщение.
Примерами являются литературные
произведения, информация в учебных
пособиях и словарях, инструкции
пользования устройством, правила
дорожного движения.Наглядное
(выражено на языке представления)
моделирование— это выражение свойств
оригинала с помощью образов. Например,
рисунки, художественные полотна,
фотографии, кинофильмы. При научном
моделировании понятия часто кодируются
рисунками —иконическоемоделирование.
Сюда же относятсягеометрическиемодели — информационные модели,
представленные средствами графики.

Образно-знаковое моделирование использует
знаковые образы какого-либо вида: схемы,
графы, чертежи, графики, планы, карты. К
этой группе относятся структурные
информационные модели, создаваемые для
наглядного изображения составных частей
и связей объектов. Наиболее простые и
распространенные информационные
структуры — это таблицы, схемы, графы,
блок-схемы, деревья.

Знаковое (символическое выражено на
языке описания)моделирование
использует алфавиты формальных языков:
условные знаки, специальные символы,
буквы, цифры и предусматривает совокупность
правил оперирования с этими знаками.
Примеры: специальные языковые системы,
физические или химические формулы,
математические выражения и формулы,
нотная запись и т. д. Программа, записанная
по правилам языка программирования,
является знаковой моделью.

Одним из наиболее распространенных
формальных языков является алгебраический
язык формул в математике, который
позволяет описывать функциональные
зависимости между величинами. Составление
математической модели во многих задачах
моделирования хоть и промежуточная, но
очень существенная стадия.
          В
тех случаях, когда моделирование
ориентировано на исследование моделей
с помощью компьютера, одним из его этапов
является разработкакомпьютерной
модели.Компьютерная
модель— это созданный за счет ресурсов
компьютера виртуальный образ, качественно
и количественно отражающий внутренние
свойства и связи моделируемого объекта,
иногда передающий и его внешние
характеристики.
     Компьютерная
модель представляет собой материальную
модель, воспроизводящую внешний вид,
строение или действие моделируемого
объекта посредством электромагнитных
сигналов. Разработке компьютерной
модели предшествуют мысленные, вербальные,
структурные, математические и
алгоритмические модели.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Источник

Предыдущая статья
Какие продукты можно кушать при гербалайф
Следующая статья
Какое из перечисленных ниже физических свойств
© Какой продукт?