В каком классе изучают свойство гипотенузы прямоугольного треугольника

Урок геометрии в 7 классе по теме: «Некоторые свойства прямоугольного треугольника»

Цели урока:

Обучающие:

дать возможность учащимся самостоятельно приобрести знания о свойствах прямоугольного треугольника;
сформировать умения применять данные знания при решении задач.

Развивающие:

продолжить работу над развитием воображения, логического мышления учащихся;
продолжить работу над развитием умения сравнивать, обобщать, выделять главное, существенное;

Воспитательные:

продолжить работу над воспитанием ответственного отношения к учебе;
умение работать творчески, слушать учителя, оценивать себя;
воспитание гражданско-нравственного мировоззрения

Приёмы ТРКМ: ребус; корзина идей; верные, неверные утверждения; инсерт; кластер; создание викторины, кроссворд.

Оборудование: учебник, мультимедиа проектор, карточки с заданиями для работы.

Ход урока:

1. Оргмомент.

Здравствуйте ребята!

Сегодня на нашем уроке присутствуют гости.

На меня все посмотрели, и тихонечко присели.

Все ли готовы к уроку?

За окном весна, а так хочется лета. Пусть эти маленькие бабочки напоминают вам о лете. (презентация, слайд 1.)

Выберите одну и посадите ее на свою ладонь, а я вам в это время расскажу одну легенду:

Жил мудрец на свете, который знал всё. Но один его ученик захотел доказать обратное. Что он сделал? Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мёртвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее омертвлю, скажет мёртвая – выпущу”. Мудрец, подумав, ответил:

…

— Как вы считаете, что ответил мудрец? ( выслушать ответы детей)

— А мудрец ответил: «Все в ваших руках». Вот эти слова я предлагаю вам взять девизом нашего урока.

Кто-то сегодня будет доволен, что сумел решить сам или с помощью одноклассников смешную или трудную задачу; кто-то тем, что он узнал что-то новое; а кто-то тем, что ему повезло, и не пришлось думать над задачей.

Перед вами листок настроения.

Вы моё настроение видите, оно зависит от вас, от ваших знаний. А какое ваше настроение? Покажите его, закрасив синим карандашом то личико, которое соответствует вашему настроению к началу урока.

2.Постановка темы и цели урока. Мотивация к учебной деятельности.

Откроем тетради, запишем сегодняшнюю дату, но тему пока записывать не будем.

У вас на партах находятся листы самооценивания, после каждого этапа урока мы будем к ним возвращаться и выставлять баллы за активную работу. Кто будет хорошо работать на уроке тот получит хорошие оценки. Подпишите их.

Лист самооценивания ФИ________________________

Задание №1.

Задание №2.

Задание №3.

Задание №4.

Задание №5.

Определи цель урока

Теоретический материал

Работа в парах

(математич.

диктант)

Работа в группах

Самостоятельная работа

12-11 балов –«5»

От 8до 10 балов –«4»; От 6 до 7 –«3»

Чтобы узнать тему урока, я предлагаю вам обратится к слайду2.

Решите ребус:

— Вам знакома данная фигура?

Какая фигура называется треугольником?(составим кластер по теме «Треугольник»

1) По каким элементам классифицируем треугольники? ( по сторонам, по углам)

2) Какие существуют виды треугольников по сторонам? ( разносторонние, равнобедренные, равносторонние)

3) На какие виды делятся треугольники по углам? ( остроугольные, тупоугольные, прямоугольные).

4) Свойства каких из перечисленных треугольников мы изучали? (остроугольных, равнобедренных, равносторонних).

5) О свойствах каких треугольников мы знаем меньше всего?

6) Как вы думаете, что мы сегодня будем изучать на уроке?

Главный вопрос урока:

А прямоугольный треугольник обладает какими-то свойствами?

— Сформулируйте тему нашего урока. (Свойства прямоугольных треугольников)

—Можем ли мы на одном уроке изучить все свойства прямоугольных треугольников? (Нет)

Значит тема урока: Некоторые свойства прямоугольных треугольников.

— Прямоугольные треугольники изучаются очень давно и обладают удивительными свойствами. Некоторые из них мы рассмотрим сегодня на уроке.

— Откройте тетради, запишите тему урока.

9) Какие перед нами стоят цели?

(выявить свойства прямоугольных треугольников, доказать их, научиться применять их на практике при решении задач).

Кто цель сформулировал, поставьте, пожалуйста, в Лист самооценивания за первое задание по 1 баллу .

3.Актуализация опорных знаний.

– Сегодня у нас урок открытия новых знаний. Но для того, чтобы узнавать что-то новое, нам необходимо вспомнить тот материал, с которым мы уже знакомы.

– Какую большую главу по геометрии вы начали изучать?

– Давайте вспомним материал по теме «Треугольник. Виды треугольников».

Предлагаю его повторить. Итак, первое задание —Графический диктант:

А теперь поменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте свою работу.

Следующее задание: решаем задачи по готовым чертежам.

В тетради в столбик поставьте цифры от 1 до 5 и напишите ответ к задаче (слайд).

Время выполнения работы 2 минуты.

Учащиеся обмениваются тетрадями. Проверка:

-Завершили выполнение работы, проверяем!

(Фронтальный опрос класса)

– Какой ответ получили в задаче, поясните почему?

Ребята, оцените свою работу по следующим критериям (слайд №15).

Оценивание работы:

“5” –5 верных ответов,

“4” – 4 верных ответа,

“3” – 3 верных ответа.

Не забудьте проставить себе баллы в лист самооценки!

4. Открытие нового материала.

— А теперь давайте вспомним все, что вы знаете о прямоугольном треугольнике? Давайте все ваши мнения соберем в «корзину идей»(слайды 16-20).

1) Какой треугольник называется прямоугольным?

2) Как называются стороны прямоугольного треугольника?

3) Что такое гипотенуза и катеты?

А сейчас давайте попробуем выяснить, какими свойствами обладает прямоугольный треугольник.

Учащиеся разделены на 5 групп. Группы получают карточки с готовыми чертежами и соответствующими вопросами на выбор для исследования.

Вопрос №1: Чему равна сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике?

Вопрос №2: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов равен 30 градусов?

Вопрос №3: Какая особенность у прямоугольных треугольников, в которых один из катетов равен половине гипотенузы?

Задание для исследования 1 группе.

Сделайте вывод о сумме острых углов прямоугольного треугольника.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника ________________

Задание для исследования 2 группе.

Измерьте катет напротив угла в 30⁰ и гипотенузу, заполните таблицу.

Сделайте вывод: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов 30⁰?

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 ⁰лежит_________ ______________________

Задание для исследования 3 группе.

Измерьте угол против катета, который в 2 раза меньше гипотенузы. Заполните таблицу.

Сделайте вывод: Какая особенность у острого угла прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен половине гипотенузы?

В прямоугольном треугольнике против катета равного половине гипотенузы лежит _______________________________

Задание для исследования 4 группе:

Сделайте вывод:

Какая взаимосвязь между гипотенузой и медианой прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла?

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна________ ______________________

После того, как учащиеся приходят к какому-то выводу, представитель каждой группы выдвигает свою гипотезу.

Предполагаемые гипотезы:

Группа 1: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90.

Группа 2: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.

Группа 3: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30.

Группа 4: В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

— ВНИМАНИЕ, ребята!!!

Гипотеза — это всего лишь предположение, которое просто необходимо доказать!

На доске (заранее на обратной стороне) чертежи свойств с «дано» и «доказать». По одному представителю от каждой группы доказывают открытое ими свойство.

5. Физминутка «Звездочет»( электронная физминутка для глаз)

6. Первичное применение свойств прямоугольного треугольника.

После доказательства свойств прямоугольного треугольника учащимся предлагаются задачи на готовых чертежах (слайды). Задачи решаются устно, быстро.

Один ученик у доски, остальные в тетради:

Задача № 257, стр. 81 (если позволит время).

Дано:
ΔАВС.
∠ С = 90⁰,
∠ ВАD = 120⁰,
AС + АВ = 18 см

Найти: АС, АВ.

Решение:

∠ВАD = 120⁰ = > ∠В = 30⁰

АС = ½ АВ (по свойству катета, лежащего против угла в 30⁰)

Если АС = х см, то АВ = 2х см, тогда, учитывая условие, х + 2х = 18, х = 6, т.е. АС = 6 см, АВ = 12 см

Ответ: АВ=12см, АС=6 см

Задача (слайд 42)

Ответ: 10см

7. Тест с взаимопроверкой в парах и самооценкой (слайд 47)

Ответы записывают на листочках. Затем проверяют по образцу с помощью компьютера (работа в парах) и сами ставят себе оценку.

Критерии:

«3» — четыре верных ответа.
«4» — пять верных ответов.
«5» — шесть-семь верных ответов.

8. Подведение итогов. Домашнее задание (слайд презентации).

Выбрать задание одного из уровней:

Пункт 34: выучить все свойства и доказательство любых двух, № 255.

Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство, № 258.

Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство, № 260.

Творческое задание ( по желанию): придумать и решить задачу на применение всех четырех свойств прямоугольного треугольника.

9. Рефлексия.

— Какие цели мы ставили?

-Достигли ли мы их?

— До сегодняшнего дня мы не знали свойств прямоугольных треугольников, а сегодня вы сами исследовали их, выдвинули гипотезы и доказали. Оцените, насколько хорошо вы справились с поставленной задачей.

— Как вы оцените свою работу на уроке, к какому уровню себя отнесете? (презентация): И не забудьте выразить свое настроение к концу нашего урока:

Источник

Урок геометрии в 7 классе

Тема урока «Некоторые свойства прямоугольных треугольников»

Тип урока :урок формирования новых знаний и умений.

Технология урока: проблемного обучения

Цель урока: ознакомление со свойствами прямоугольного треугольника

Образовательные задачи

Повторить определение треугольника, виды треугольников
Рассмотреть свойства прямоугольных треугольников
Научить решать задачи на применение свойства прямоугольных треугольников»

Развивающие задачи.

Расширение кругозора обучающихся.
Развитие интереса к предмету.
Развитие интеллектуальной активности, мышления и творческих способностей учащихся

Воспитательные задачи

Формирование гуманных отношений на уроке (интегрально по отношению к таким качествам личности, как доброжелательность, умение слушать друг друга, ответственность, скромность, дисциплинированность).

Планируемые образовательные результаты:

Установить три основных свойства прямоугольных треугольников, научить применять их при решении задач.
Планировать действия в соответствии с поставленной задачей;
Развивать умение самостоятельно контролировать своё время и оценивать правильность выполнения действий.

Основные термины: катет, гипотенуза, прямой угол, острый угол.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация, учебник «Геометрия 7-9 кл.» авт.Атанасян Л.С. и др.

План урока.

Организационный момент- 1 мин
Устная работа — 3 мин
Актуализация знаний учащихся-7 мин
Изучение нового материала -10 мин.
Физкультминутка -2 мин.
Закрепление: — 10 мин.
- Устное решение задач по готовым рисункам
- Работа с учебником (решение задачи №257)
Рефлексия учебной деятельности- 5 мин.
Домашнее задание.-2 мин.

Ход урока:

Организационный момент.
Устная работа
- Вспомните определение треугольника. ( Геометрическая фигура, состоящая из трех точек , не лежащих на одной прямой и соединенная отрезками, называется треугольником)

- Какие виды треугольников вы знаете? ( Прямоугольные, тупоугольные, остроугольные , равнобедренные , равносторонние и разносторонние треугольники)
- Какой треугольник мы называем прямоугольным? ( Если в треугольнике один угол прямой, то такой треугольник называют прямоугольным)
- Какой треугольник мы называем остроугольным? ( Если в треугольнике все углы острые, то такой треугольник называют остроугольным)
- Какой треугольник мы называем тупоугольным? ( Если в треугольнике один угол тупой , то такой треугольник называют тупоугольным)
- Какой треугольник мы называем равносторонним? (Треугольник , у которого все стороны равны , называют равносторонним)
- Какой треугольник мы называем равнобедренным? (Треугольник , у которого две стороны равны , называют равнобедренным)
- Какой треугольник мы называем разносторонним? (Треугольник , у которого все стороны разные , называют разносторонним)

Актуализация знаний учащихся: решите задачи

Дано: треугольник АВС, АВ=АС, Дано: треугольник АВС, угол С=90°, угол А = 90° угол А на 20° меньше угла В Найти: углы В и С? Найти: углы А и В?

Решение: Так как по условию задачи Решение: Так как угол С равен 90° то,

угол А равен 90° и АВ=АС , то треугольник АВС прямоугольный. треугольник АВС прямоугольный Сумма углов в треугольнике равна 180, и равнобедренный. Значит углы В и С значит сумма углов А и В равна тоже

равные , как углы при основании ВС. 90°.Но угол В больше на 20° угла А.

Так как в треугольнике сумма углов Тогда угол А равен (90° -20°):2=35°, а

равна180° ,сумма углов В и С равна угол В равен 35° +20° =55°.

180° — 90° =90°, Соответственно они Ответ: Угол А =35°, угол В=55°

равны по 45°.

Изучение нового материала:

Формулировка темы урока.

— Как вы думайте, чем мы сегодня будем заниматься на уроке? Какая тема нашего урока? (Изучим свойства прямоугольных треугольников, будем решать задачи)

— Да, сегодня мы должны изучить свойства прямоугольных треугольников.

Первое свойство:Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Будет доказывать первая пара . Доказательство: Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов рана 90°. Второе свойство:Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Будет доказывать вторая пара. (Подсказка: достройте свой треугольник до равностороннего со стороной, равной его гипотенузе) Доказательство: Достроим прямоугольный треугольник до равностороннего треугольника со стороной, равной гипотенузе. Получим равносторонний треугольник со сторонами, равной гипотенузе и углами 60°. Тогда получается, что сторона, в равностороннем треугольнике, которая лежит против угла в 60 °, равна гипотенузе. А так как 30° это половина 60°, то получается, что против угла в 30°, лежит половина гипотенузы. Третье свойство: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этогокатета, равен 30°. Будет доказывать третья пара. (Подсказка: достройте свой треугольник до равностороннего со стороной, равной его гипотенузе).

Доказательство: Достроим прямоугольный треугольник до равностороннего треугольника со стороной, равной гипотенузе. Получим равносторонний треугольник со сторонами, равной гипотенузе и углами 60°. Против угла в 60 ° лежит сторона, равная гипотенузе. Поэтому, если катет равен половине гипотенузы, то угол равен половине 60 °, то есть 30°.

Физкультминутка
Закрепление нового материала

(устное решение задач по готовым рисункам)

Задача 1 Задача 2

Найти : угол В ? Найти: углы В, А, ДСВ

Решение: Так как угол С равен 90°, Решение: Так как угол С равен 90°и

то треугольник АВС прямоугольный. АС=СВ, то треугольник АВС

Значит сумма острых углов равна 90°. прямоугольный и равнобедренный.

По условию угол А равен 37°, тогда Значит угол А равен углу В и равны

угол В равен 90°- 37° = 53° 90°: 2=45°. Отрезок СД является и

высотой и биссектрисой, значит угол

ДСВ равен 45°

Задача 3 Задача 4

Найти: сторону ВС ?

Решение: Так как угол С равен 90°,

то треугольник АВС прямоугольный.

По второму свойству прямоугольных

треугольников катет, лежащий против

угла в 30°, равен половине

гипотенузы. Значит ВС равен

половине АВ 15:2= 7,5 см

Найти: угол САВ ?

Решение: Так как треугольники АВС и ВДС прямоугольные, то угол ДВС равен 90°-70°=20°. А угол АВД=ДВС так как ВД- биссектриса, то угол АВС равен 40°. Отсюда угол А равен 90°-40°=50°

Работа с учебником: решить письменно № 257

Дано: треугольник АВС , угол С равен 90 °, внешний угол при вершине А равен 120 °, АС+АВ=18 см

Найти: АС, АВ.

Решение: Так как сумма смежных углов равна 180, то угол А равен 180-120= 60. Треугольник АВС прямоугольный, то сумма углов А+В=90, угол А равен 60 , то угол В равен 30.Катет АС лежит против угла в 30 и равен половине гипотенузы АВ, то есть АС =½ АВ. Так как АС+АВ=18 см, то ½ АВ+АВ=18 см, отсюда АВ=12 см, а АВ=6 см.

Рефлексия учебной деятельности

— Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников.

— Один из углов прямоугольного треугольника равен 25 . Чему равны другие его стороны?

— В прямоугольном треугольнике один из его углов равен 30, а его гипотенуза равна 8 см. Найдите меньший катет.

— В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см , а один из его катетов 6 см. Найдите его углы.

— Добились мы поставленной цели в начале урока?

— Все научились решать задачи на применение свойства прямоугольных треугольников?

Домашнее задание: п.34, Вопросы 10,11 стр. 90, №№255,256 (для всех) 258 ( для сильных учеников)

Источник

Свойства прямоугольного треугольника.

Открытый урок геометрии в 7 б классе

Цели:

Образовательные:

1) Установить и доказать свойства прямоугольного треугольника.

2) Формировать умения и навыки применять их к решению задач.

3)Показать практическую значимость изучаемого материала.

Развивающие:

1) Развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать, обобщать, выдвигать гипотезы, искать доказательство, выдвинутых гипотез, решать проблемные ситуации, делать выводы.

2) Развивать познавательную активность, творческие способности и интерес к предмету.

Воспитательные:

1) Учить прислушиваться к мнению своих товарищей ,уважать чужую точку

2) Повышать интерес к истории родного края.

План урока

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Вступление. Знакомство учащихся со сведениями из истории родного края , выход на тему урока.

3. Повторение теоретического материала, изученного на предыдущих уроках

4. Изучение нового материала. С помощью задач постановка учащимися гипотез о свойствах прямоугольного треугольника и их доказательство.

5. Закрепление нового материала. Решение задач устно и письменно.

6. Самостоятельная работа учащихся.

7. Подведение итогов. Рефлексия. Домашнее задание (в том числе, творческое задание)

Оборудование: школьная доска, компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, компьютерная презентация, карточки с задачами на готовых чертежах для самостоятельной работы.

Тип урока: урок формирования новых знаний и умений.

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Вступление.

Ребята, знаете ли вы как связаны города Волхов и Париж? Оказывается, в 1905 году на реке Волхов был построен железнодорожный мост, он был просто необходим на участке Санкт-Петербург — Вологда.

Автор проекта профессор Лавр Дмитриевич Проскуряков. Он спроектировал железнодорожный Царский мост через реку Енисей. Мост в 1900 году как и Эйфелева башня в Париже (11-ми годами ранее) был удостоен Гран-при и Большой золотой медали Всемирной выставки в Париже «за архитектурное совершенство и великолепное техническое исполнение». Позже в 1905 году по типу Царского моста был построен железнодорожный мост через реку Волхов.

Царский мост через реку Енисей

Железнодорожный мост через реку Волхов 1923 г.

Волховский мост прослужил ровно 100 лет. В 2005 году его демонтировали и построили новый. Опоры старого моста продолжают служить и в настоящее время, напоминая жителям города о достижениях отечественного мостостроения.

Железнодорожный мост через реку Волхов (настоящее время).

Мост инженера Проскурякова был построен по принципу фермы — конструкции из металлических стержней, соединенных в треугольники, за счет чего достигается высокая жесткость конструкции и облегчение её, а так же уменьшение расхода материала.

Тип фермы железнодорожного моста через реку Волхов (старый мост).

Тип фермы железнодорожного моста через реку Волхов (новый мост).

Посмотрите на фермы старого и нового мостов. Какие треугольники вы видите в этой конструкции? А какой вид треугольников преобладает? (прямоугольные треугольники).

Как видим – прямоугольные треугольники необходимы и широко используются инженерами и строителями. Следовательно, будет полезным сегодня изучить некоторые свойства прямоугольных треугольников. Это и есть тема нашего урока.

Тема: «Свойства прямоугольного треугольника».

3. Повторение теоретического материала, изученного на предыдущих уроках

Повторим те сведения, которые вам уже известны о прямоугольных треугольниках.

— Какой треугольник называется прямоугольным?

— Как называются его стороны?

— Какая сторона называется гипотенузой?

— Какая сторона называется катетом?

Задание №1

Найдите неизвестные углы в прямоугольных треугольниках. Посмотрите внимательно на величины острых углов в этих треугольниках. Какое свойство острых углов в прямоугольном треугольнике можно заметить? Докажите для углов треугольника это свойство(один из учащихся доказывает свойство, остальные поясняют что-то в доказательстве, если надо).

Свойство №1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

Доказательство:

A + B + C = 1800

A + B = 1800 — C = 1800 – 900 = 900 ч.т.д.

Доказать, что в равнобедренном ABC c высотой BK и ABK = 300 выполняется AK = AB

Доказательство(доказательство выполняют учащиеся, рассказывает один из них, остальные поясняют что-то в доказательстве, если надо):

ABC = BKC (как прямоугольные треугольники по гипотенузе и катету)

A = C = 900 — 300 = 600, ABC = 300 · 2 = 600

ABC – равносторонний AB = DC = AC = 2AK

AK = AB ч.т.д.

Катет АК равен половине АВ в прямоугольном Δ АВК.

А что если это не случайно? Учащиеся выдвигают гипотезу

Свойство №2. Катет, лежащий против угла, величина которого 300, равен половине гипотенузы.

Дано: BAC = 300.

Доказать: ВС = AB

Доказательство( доказывает учитель, находясь в постоянном диалоге с учащимися)

Строим на луче ВС отрезок CD, CD = BC

ABC = ACD по двум катетам.

DAC = 300 B = D = 600

ABD – равносторонний ВС = BD = AB ч.т.д.

Сформулируйте обратное утверждение, поменяв условие и заключение местами: «Если катет равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 300.

Докажем это.