В каком классе изучают свойства степеней

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа» №6 г. Ноябрьска

«Степень числа»

Конспект урока по математике в 5 классе

Запивахина Светлана Владимировна,

учитель математики

первой категории

г.Ноябрьск, 2013 год

Степень числа.

Тип урока: Освоение новых знаний.

Основные цели:

1) вывести правило порядка действий в выражениях, содержащих степени;

2) сформировать способность к его практическому использованию;

3) тренировать способность к чтению и записи выражений со степенями.

Планируемые результаты:

Предметные: научится использовать правило порядка действий в выражениях, содержащих степени. Читать и записывать выражения со степенями.

Получит возможность анализировать, осмысливать, извлекать необходимую информацию.

Личностные: Ответственно относиться к учению; грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

Метапредметные: Научится осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата. Получит возможность формулировать проблемы при решении учебных задач.

Оборудование, демонстрационный материал:

Проектор, экран или интерактивная доска.

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа: 1) включить учащихся в учебную деятельность;

                      2) определить содержательные рамки урока: продолжаем изучать степень числа.

– Доброе утро, ребята!

– Что нового и интересного вы узнали на предыдущих уроках?

(Мы узнали, что такое степень числа, как найти степень любого числа.)

– Сегодня мы продолжим работать со степенью числа.

2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Цель этапа:

1) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, классификация;

2) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: нахождение значения выражения, содержащего степени.

1.Найдите значения выражений и расставьте полученные результаты в порядке возрастания.

24 · 3                        26 + 16                491 – 479             370 – 268                                

– (12, 42, 72, 102.)

– Что интересного вы можете сказать об этом ряде чисел?

(Все числа кратны 2, последняя цифра у всех чисел 2,…)

– Установите закономерность и продолжите ряд на три числа.

(12, 42, 72, 102, 132, 162, 192.)

2. Назовите трехзначное число из данного ряда, сумма цифр которого равна 9. (162.)

– Запишите число 162 в виде произведения простых множиелей. (162 = 2  3  3  3)

– Как можно записать короче, используя понятие степени? (162  = 2  34.)

– Прочитайте полученное выражение. (Произведение числа 2 и четвертой степени числа 3.)

– Сделайте вывод по поводу выполнения действий в данном выражении. (Сначала определяем значение степени, а затем находим произведение.)

3. Найдите значение выражения:

(5 · 23 – 36)2 + 81 : 32 .

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

2) согласовать цель и тему урока.

– Какое задание вы должны были выполнить? (Найти значение числового выражения.)

– В чём особенность этого числового выражения от выражений, значения которых мы искали раньше? (В выражениях есть степени.)

– В чём может быть затруднение? (Определить порядок действий.)

– Какая же цель нашего урока? (Определить порядок действий в выражениях, содержащих степень.)

4.Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме.

– Какие идеи есть? (Чтобы определить порядок действий в выражениях, содержащих степень надо расписать по определению степени, а потом воспользоваться известным правилом расстановки порядка действий.)

– Выполните то, что предложили.

Работу могут выполнять самостоятельно, можно организовать работу в группах.

          (5 · 23 – 36)2 + 81 : 32 = (5  (2  2  2) – 36)  (5  (2  2  2) – 36) + 81 : (3  3)=25.

– Проанализируйте, каков порядок действий в нашем выражении? (Сначала находим значение степени в скобке, затем значение произведения, значение разности, значение степени результата, получившегося в скобках, значение степени числа 3, значение частного, значение суммы.)

– Почему вы сначала находили значение степени? (По определению степень числа – это произведение одинаковых множителей, а нахождение произведения является действие первой ступени.)

5. Физкультминутка.

6. Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

№1. Запиши выражение с использованием действия возведения в степень и определи порядок действий в полученном выражении. (у доски проговаривая)

а) 3  3  5  5  5  5  5  7;                б) 8  8 + 4  4  4 – 3  7  7.

Решение:

а) 3  3  5  5  5  5  5  7 = 32  55  7

Сначала возведём 3 в квадрат, затем 5 в пятую степень, затем найдём произведение первых двух результатов, а затем полученный результат умножим на 7;

б) 8  8 + 4  4  4 – 3  7  7 = 82 + 43 – 3  72

1 действие 82;

2 действие 43;

3 действие 72;

4 действие 3  72

5 действие найти сумму и разность 1, 2 и 4 действия.

№2 Найти значение выражения. (вместе у доски)

а) 4  5 = 20;

б) 4  53 = 4  (5  5  5) = 4  125 = 500;

в) (4  5)3 = 203 = 20  20  20 = 8 000;

г) 82 + 32 = 64 + 9 = 73;

д) (8 + 3)2 = 112 = 121;

е) 8 + 32 = 8 + 9 = 17;

ж) 53 – 2 = 125 – 2 = 123;

з) 53 – 23 = 125 – 8 = 117;

и) (5 – 2)3 = 33 = 27.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с образцом для самопроверки.

№ 657

Учащиеся проверяют по образцу, разбираются ошибки.

8. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа: тренировать навыки чтения выражений со степенями, повторить решение задач

№ 658 (устно) – фронтально

№665(2, 3) – у доски, проговаривая.

9. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

– Что нового вы сегодня узнали? (Как расставить порядок действий в выражении, содержащем степень.)

– Запишите на полях  «+» если вы поняли, как расставить порядок действий, в выражениях, содержащих степень и у вас всё получалось на уроке;

«?»   если на уроке допускали ошибки.

Домашнее задание

№№ 668 (е-и); 670; 671.

Список использованной литературы

1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17  декабря  2010 г. № 1897);

2. Примерная программа (Математика. 5-9 классы: проект. – 3-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2011. – 64с. – (Стандарты второго поколения);

3. Учебник: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др. Математика 5класс-М.:Просвещение,2007- основной.

4. Учебник: Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика 5 класс-М.: Ювента, 2003-дополнительный.

Алгебра

7 класс

Урок № 2

Степень числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие степени числа.

Свойства степеней.

Тезаурус

Степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

Свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.

Произведение степеней с одним и тем же основанием – это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Макарычев Ю. Н. Алгебра: 7 класс. // Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. – М.: Просвещение, 2019. – 256 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Произведение шести множителей, каждый из которых равен 8, называют шестой степенью числа 8 и обозначают 86, т.е.

8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 86.

При этом число 8 называют основанием степени, а число 6 – показателем степени.

А теперь давайте сформулируем общее определение степени числа, опираясь на предыдущий пример:

степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

Запись an читается как: а в степени n, или n-ая степень числа a.

А вот следующие записи можно произносить по-разному:

a2– её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;

a3 – её можно произносить «а в кубе» или «а в третьей степени».

Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:

степенью числа а с показателем n = 1 является само это число:

a1 = a;

любое число в нулевой степени равно единице:

a0 = 1;

ноль в любой натуральной степени равен нулю:

0n = 0;

единица в любой степени равна 1:

1n = 1.

Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.

Примеры. Возведём в степени:

(−91)0 = 1

0144 = 0

1236 = 1.

При решении задач, нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Рассмотрим несколько примеров.

Возведём в степень

25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32

2,53 = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625

Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.

Например, (-2)5. Ответ будет отрицательным, так как показатель степени, 5- нечётное число. (-2)5 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -32.

(-5)4. А вот в этом примере ответ будет положительным, так как показатель степени, 4 – чётное число.

(-5)4 = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625.

Рассмотрим такой пример: 42 ∙ 52 = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) = (4 ∙ 5)2 = 202 = 400.

Данный пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований:

an∙ bn = (a ∙ b)n

Приведём еще такой пример: 52 ∙ 55 = (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 57.

Этот пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Произведение степеней с одним и тем же основанием это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т.е.

an ∙ am = an+m

Наконец, рассмотрим равенство:

(72)3 = (7 ∙ 7)3 = (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) = 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 76.

Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.

(an)m = an∙m

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

Для заполнения пропусков вспомним, что такое основание и показатель степени.

№2. Тип задания: Чему равно произведение 54 ∙ 511 ∙ 42 ∙ 413?

Варианты ответов:

(4 ∙ 5)15

413 ∙ 514

(4 ∙ 5)30

415 ∙ 530

Для решения задания, воспользуемся свойствами степеней: an∙am= an+m и an∙bn= (a ∙ b)n

54 ∙ 511 ∙ 42 ∙ 413 = 515 ∙ 415 = (4 ∙ 5)15.

Верный ответ: (4 ∙ 5)15.