С каким свойством пространства связан закон сохранения импульса
В предыдущих разделах рассмотрены три фундаментальных закона природы: закон сохранения импульса, момента импульса и энергии. Следует
понимать, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.
В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а они применимы только в инерциальных
системах. Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если система замкнутая (сумма всех внешних сил и
всех моментов сил равна нулю). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно – тело должно быть еще и адиабатически
изолированным (т.е. не участвовать в теплообмене).
Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при
замене одних теорий другими. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.
равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). Равнозначность следует понимать в
том смысле, что замена момента времени t1 на момент времени t2, без изменения значений
координат и скорости частиц, не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены, координаты
и скорости частиц имеют в любой момент времени t2 + t такие же значения, какие имели
до замены, в момент времени t1 + t.
одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать
в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения
и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.
одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует
понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.
Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам
представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку и начальные условия, то можно
найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. п. Законы же сохранения не дают
нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в
природе не происходят.
Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из
законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни
один из законов сохранения, в принципе может происходить.
Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс не противоречит
закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникающая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии.
На самом деле такой процесс никогда не происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его
импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя
энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадётся на части.
Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом
возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс оставался в покое, – а только этого и требует закон сохранения импульса.
Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратиться в кинетическую, это тело должно распасться на части.
Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на части, то его внутренняя энергия и масса покоя будут
постоянными величинами.
Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических
процессов (механических, тепловых, электромагнитных и др.). Они одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении,
в микромире, где справедливы квантовые представления, и в макромире, с его классическими представлениями.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 ноября 2017;
проверки требуют 17 правок.
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) — закон, утверждающий, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю[1].
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства[2].
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом[3].
Вывод в механике Ньютона[править | править код]
Согласно второму закону Ньютона, для системы из N частиц выполняется соотношение
где — импульс системы:
— импульс материальной точки, а — равнодействующая всех сил, приложенных к частицам системы:
Здесь — сила (или сумма сил, если таковых несколько), действующая на n-ю частицу со стороны m-ой, а — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-й частице.
Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть . Поэтому вторая сумма в правой части выражения для будет равна нулю, внутренние силы исключаются, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:
Для системы из N частиц, в которой сумма всех внешних сил равна нулю:
и тем более для системы, на частицы которой не действуют внешние силы
( для всех k от 1 до N), имеем
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
(постоянный вектор).
То есть суммарный импульс системы из N частиц является постоянной величиной. При N = 1 получаем выражение для случая одной частицы. Таким образом, следует вывод[1]:
Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.
Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, он справедлив и в тех случаях, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. То есть отсутствие внешних сил, действующих на систему, достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.
Если проекция суммы внешних сил на какое-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.
Связь с однородностью пространства[править | править код]
Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.
Вывод из закона сохранения энергии[править | править код]
Рассмотрим систему нескольких соударяющихся упругим образом (без превращения части механической энергии в другие формы) частиц с массами и скоростями до столкновений и после столкновений. Закон сохранения энергии имеет вид
Перейдём в систему отсчёта, равномерно и прямолинейно движущуюся со скоростью . Скорости частиц с точки зрения этой системы отсчёта будут до столкновений и после столкновений. Закон сохранения энергии с точки зрения этой системы имеет вид
или
Следовательно , откуда следует . Поскольку скорость произвольна, то последнее равенство будет справедливым только в случае выполнения закона сохранения импульса
[4]
Вывод из формализма Лагранжа[править | править код]
Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела зависящую от обобщённых координат обобщённых скоростей и времени . Здесь точка над обозначает дифференцирование по времени, Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда для каждой -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: где В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:
,
где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: С учётом того, что вектор — произвольный, последнее требование выполняется при:
Воспользуемся уравнением Лагранжа
Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:
.
Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:
Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: что приводит к релятивистскому определению импульса
В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса в квантовой механике[править | править код]
Закон сохранения импульса в изолированных системах выполняется и в квантовой механике[5][6]. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс, как и в классической механике, равен , а когда проявляются волновые свойства частиц, их импульс равен , где — длина волны[7]. В квантовой механике закон сохранения импульса является следствием симметрии относительно сдвигов по координатам[8].
Закон сохранения импульса в теории относительности[править | править код]
Закон сохранения импульса выполняется и в теории относительности. Отличие от классической механики состоит лишь в том, что в теории относительности зависимость импульса от
скорости имеет вид
[9][6]
В общей теории относительности, аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса
где точка с запятой выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.
Можно придумать такие определения импульса гравитационного поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при движении во времени системы тел и полей, но все такие определения содержат элемент произвола, так как вводимый импульс гравитационного поля не может быть тензорной величиной при произвольных преобразованиях координат.
См. также[править | править код]
- Закон сохранения момента импульса
- Теорема о движении центра масс системы
- Теорема об изменении количества движения системы
Ссылки[править | править код]
- Опыт с шарами по демонстрации закона сохранения импульса (видео)
Литература[править | править код]
- Кузнецов Б. Г. Принципы классической физики. — М.: АН СССР, 1958. — 321 с.
- Фейнман Р. Ф. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
- Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
- Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — 416 с.
- Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 282. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
- ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — 4-е изд., испр. — М.: «Наука», 1988. — Т. I. Механика. — С. 26. — 215 с. — ISBN 5-02-013850-9.
- ↑ Готт, 1972, с. 222.
- ↑ Кузнецов, 1958, с. 135.
- ↑ Перкинс Д.[en] Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
- ↑ 1 2 Широков, 1972, с. 276.
- ↑ Фейнман, 2004, с. 194.
- ↑ Ферми, 1968, с. 183.
- ↑ Фейнман, 2004, с. 193.
В предыдущих разделах рассмотрены три фундаментальных закона природы: закон сохранения импульса, момента импульса и энергии. Следует понимать, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.
В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а они применимы только в инерциальных системах. Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если система замкнутая (сумма всех внешних сил и всех моментов сил равна нулю). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно — тело должно быть еще и адиабатически изолированным (т. е. не участвовать в теплообмене).
Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли нс единственными законами, сохранившими свое значение при замене одних теорий другими. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.
- • В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т. е. равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). Равнозначность следует понимать в том смысле, что замена момента времени t на момент времени без изменения значений координат и скорости частиц, не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены координаты и скорости частиц имеют в любой момент времени /2 + / такие же значения, какие имели до замены, в момент времени /, + /.
- • В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т. е. одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.
- • В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.
И наконец, следует сказать о симметрии классической механики по отношению к направлению хода времени t — его возрастанию или убыванию. Формально это следует из инвариантности уравнений механики по отношению к замене переменной t на — Л
В самом деле, исходное уравнение ньютоновской механики — уравнение второго закона Ньютона.
Оно полностью сохраняет свой вид, если произвести замену / на /’ = -/ 1 1, 1
и р на р = -р, т. е. изменить направление хода времени, а также изменить направление движения материальной точки на противоположное:
Эта симметрия уравнений классической механики свидетельствует об обратимости механических процессов: если механическая система совершает какое-либо движение, то она может под действием тех же сил совершать и прямо противоположное движение, при котором будет проходить через те же самые промежуточные конфигурации в обратном порядке.
Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку и начальные условия, то можно найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. п. Законы же сохранения не дают нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в природе не происходят.
Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни один из законов сохранения, в принципе может происходить.
Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс не противоречит закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникающая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии.
На самом деле такой процесс никогда нс происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадётся на части.
Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс оставался в покое, — а только этого и требует закон сохранения импульса.
Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратиться в кинетическую, это тело должно распасться на части. Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на части, то его внутренняя энергия и масса покоя будут постоянными величинами.
Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических процессов (.механических, тепловых, электромагнитных и др.). Они одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении, в микромире, где справедливы квантовые представления, и в макромире, с его классическими представлениями.
Из уравнения динамики вращательного движения следует, что если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса тела или системы тел остается постоянным
Закон сохранения момента импульса: векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.
Для замкнутой механической системы условие равенства нулю суммарного момента внешних сил выполняется всегда.
При неизменном моменте инерции тела и равном нулю моменте внешних сил угловая скорость вращения будет постоянной как по величине, так и по направлению. Если момент инерции тела изменяется, то одновременно должна изменяться и угловая скорость его вращения, чтобы произведение
оставалось постоянным. Изменение момента инерции тела может происходить под действием внутренних сил, вызывающих перемещение частей тела.
Яркой демонстрацией закона сохранения момента импульса служат опыты со скамьей Жуковского, которая представляет собой металлическую платформу, способную вращаться относительно вертикальной оси с малым трением (рис. 12).
Фигурист на коньках или балерина, чтобы сообщить своему телу быстрое вращение, при первом толчке разводят руки в стороны, а затем приближают их к телу. В результате момент инерции тела уменьшается, а скорость вращения возрастает.
Закон сохранения момента импульса позволяет при изучении вращательного движения исключить из рассмотрения моменты внутренних сил. При соответствующем выборе осей исключается также действие ряда внешних сил, моменты которых относительно выбранных осей равны нулю. Поэтому он широко применяется в технических расчетах.
И в заключении, рассмотрим связь закона сохранения момента импульса с изотропностью пространства.
Изотропность пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не изменяются при ее повороте в пространстве как целого на любой угол, т.е. не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета. В частности, при произвольном малом повороте замкнутой системы как целого вокруг неподвижной точки — начала координат – должна быть равна нулю работа всех сил, действующих в системе. Если момент силы относительно точки , а — радиус – вектор, проведенный в -ю точку системы из точки , то согласно уравнению
Так как , должна быть равна нулю сумма моментов относительно точки всех внутренних сил:
Из этого соотношения и уравнения динамики вращательного движения следует закон сохранения момента импульса замкнутой системы.
Закон сохранения момента импульса имеет важное значение для современной физики, где понятие момента импульса расширяется на немеханические системы и постулируется сохранение момента импульса для всех физических процессов. Так, каждая элементарная частица (протон, нейтрон) обладает собственным моментом импульса (спином). Сумма этих моментов сохраняется, например, в ядерных реакциях, которые сопровождаются превращением одних элементарных частиц в другие. При этом могут выполняться законы сохранения и других физических величин: импульса, энергии и др. Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.