Параллельные стороны какие свойства
В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.
Параллельные прямые: основные сведения
Определение 1
Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.
Определение 2
Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.
Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥. Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b. Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b, или прямая b параллельна прямой а.
Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.
Аксиома
Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.
В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:
Теорема 1
Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.
Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10-11 классов).
Параллельность прямых: признаки и условия параллельности
Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.
В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.
Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.
Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.
Определение 3
Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.
Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:
Теорема 2
Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.
Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:
Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7-9 классы.
В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.
Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.
Теорема 3
На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.
Теорема 4
В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.
Дадим иллюстрацию указанных теорем:
Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.
Теорема 5
На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.
Теорема 6
В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
Проиллюстрируем:
Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.
Параллельность прямых в прямоугольной системе координат
В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.
Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.
Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.
Теорема 7
Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.
Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) являются направляющими векторами прямых a и b;
и nb→=(nbx, nby) являются нормальными векторами прямых a и b, то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a→=t·b→⇔ax=t·bxay=t·by или na→=t·nb→⇔nax=t·nbxnay=t·nby или a→, nb→=0⇔ax·nbx+ay·nby=0, где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.
- Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A1x+B1y+C1=0; прямая b — A2x+B2y+C2=0. Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (А1, В1) и (А2, В2) соответственно. Условие параллельности запишем так:
A1=t·A2B1=t·B2
- Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y=k1x+b1. Прямая b — y=k2x+b2. Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты (k1, -1) и (k2, -1) соответственно, а условие параллельности запишем так:
k1=t·k2-1=t·(-1)⇔k1=t·k2t=1⇔k1=k2
Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.
- Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x-x1ax=y-y1ay и x-x2bx=y-y2by или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x=x1+λ·axy=y1+λ·ay и x=x2+λ·bxy=y2+λ·by.
Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: ax, ay и bx, by соответственно, а условие параллельности запишем так:
ax=t·bxay=t·by
Разберем примеры.
Пример 1
Заданы две прямые: 2x-3y+1=0 и x12+y5=1. Необходимо определить, параллельны ли они.
Решение
Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:
x12+y5=1⇔2x+15y-1=0
Мы видим, что na→=(2, -3) — нормальный вектор прямой 2x-3y+1=0, а nb→=2, 15- нормальный вектор прямой x12+y5=1.
Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t, при котором будет верно равенство:
2=t·2-3=t·15⇔t=1-3=t·15⇔t=1-3=15
Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.
Ответ: заданные прямые не параллельны.
Пример 2
Заданы прямые y=2x+1и x1=y-42. Параллельны ли они?
Решение
Преобразуем каноническое уравнение прямой x1=y-42 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:
x1=y-42⇔1·(y-4)=2x⇔y=2x+4
Мы видим, что уравнения прямых y = 2x + 1 и y = 2x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.
Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2x + 1, например, (0, 1), координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x1=y-42, а значит прямые не совпадают.
Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.
Нормальный вектор прямой y = 2x + 1 это вектор na→=(2, -1), а направляющий вектором второй заданной прямой является b→=(1, 2). Скалярное произведение этих векторов равно нулю:
na→, b→=2·1+(-1)·2=0
Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.
Ответ: данные прямые параллельны.
Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.
Теорема 8
Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.
Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz)являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t, чтобы выполнялось равенство:
a→=t·b→⇔ax=t·bxay=t·byaz=t·bz
Пример 3
Заданы прямые x1=y-20=z+1-3 и x=2+2λy=1z=-3-6λ. Необходимо доказать параллельность этих прямых.
Решение
Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a→ и b→ заданных прямых имеют координаты: (1, 0, -3) и (2, 0, -6).
Так как:
1=t·20=t·0-3=t·-6⇔t=12, то a→=12·b→.
Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.
Ответ: параллельность заданных прямых доказана.
Паралле́льные прямы́е (от греч. παράλληλος, буквально — идущий рядом) — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны.
В евклидовой геометрии[править | править код]
На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.
В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1].
В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3].
Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].
Параллельность прямых и обычно обозначается:
Свойства[править | править код]
- Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
- Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
- Соответственные углы равны (Рис.1).
- Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
- Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).
- Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
- Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.
Построение параллельных прямых[править | править код]
В стереометрии[править | править код]
В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.
В геометрии Лобачевского[править | править код]
Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней
В геометрии Лобачевского в плоскости через точку вне данной прямой проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих .
Прямая называется равнобежной прямой в направлении от к , если:
- точки и лежат по одну сторону от прямой ;
- прямая не пересекает прямую , но всякий луч, проходящий внутри угла , пересекает луч .
Аналогично определяется прямая, равнобежная в направлении от к .
Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными.
Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[5].
Свойства[править | править код]
Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.
Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.
См. также[править | править код]
- Параллельность плоскостей
- Антипараллельные прямые
- Перпендикулярность
- Ортогональность
Примечания[править | править код]
Юлия Ш. · 29 апреля 2019
14,6 K
Имею естественно научное образование, в юношестве прикипел к литературе, сейчас…
Паралелльные прямые — прямые, которые не пересекаются в какой угодно точке, сколько бы их не продолжали, достаточно абстрактное понятие.
Параллельные лучи — лучи, прямые которых не пересекаются в какой угодно точке, сколько бы их не продолжали.
Угол не может быть образован двумя параллельными прямыми, потому что определение параллельных прямых противоречит определению угла, если говорить об углах между ними, то:
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
- Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
- Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Свойства параллельных прямых:
Если параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Признаки параллельности прямых:
Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых… Читать далее
Если прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны значит прямые паралельны
В чем суть теоремы Эрроу? Он правда математически доказал, что демократия невозможна?
Эрроу пытался придумать способ справедливо обобщать индивидуальные предпочтения (то есть создать справедливую избирательную систему). Но у него не получилось; причем дело не в том, что он плохо старался, а в том, что это невозможно в сделанных предположениях. Эрроу математически строго сформулировал теорему о том, что именно невозможно. По традиции эта теорема называется теоремой о невозможности демократии, а иногда парадоксом Эрроу.
В рамках теоремы рассматриваются N (больше двух) индивидуумов; скажем, граждане одной страны, жители одного многоквартирного дома или компания друзей. У них есть несколько альтернатив; скажем, кандидаты в президенты, варианты ремонта в доме, или способы провести выходной день вместе. Важно, что осуществиться может только одна альтернатива, ее нужно выбрать вместе.
По условию теоремы считается, что каждый индивидуум может упорядочить эти альтернативы по предпочтительности. Допустим, мы собрали списки предпочтения у всех индивидуумов (провели голосование) и хотим по этим спискам построить общий список предпочтений. Иными словами, на основе индивидуальных предпочтений выработать коллективное. Вот Эрроу и попытался это сделать математически строго. Он еще потребовал выполнения некоторых условий, которые представляются вполне разумными.
Универсальность: каждый избиратель предоставляет один и только один список своих предпочтений, и при этом волен упорядочить альтернативы как ему угодно.
Отсутствие диктатора: общий список предпочтений не должен определяться только одним индивидуумом без учета предпочтений всех остальных.
Независимость от посторонних альтернатив. Это свойство можно по-разному формулировать, например так: если в общем списке предпочтений кандидат А стоит выше кандидата В, а потом в число кандидатов вошел еще Х (или наоборот, кого-то вычеркнули), то А все равно останется выше В.
Единогласие: если все избиратели ставят А выше В, то и в общем списке предпочтений А должен стоять выше В.
Далее Эрроу математически доказал, что не существует избирательной системы, которая удовлетворяла бы всем этим требованиям.
Смысл теоремы Эрроу не в том, что это приговор демократии, а в том, что она дала стимул дальнейшим исследованиям. К «Очевидно разумным» предположениям стоит присмотреться внимательнее.
Мы теперь знаем, что не вполне рационально действуем, когда делаем выбор. Мы иногда не можем определиться, какой вариант предпочтительнее, не можем сравнить альтернативы. Бывает, что предпочтения есть, но они нетранзитивны: например, я предпочитаю мороженое каше, кашу котлете и котлету мороженому; такие предпочтения нельзя упорядочить. Предпочтения могут быстро меняться. На сытый желудок у меня одни предпочтения, а на голодный другие.
Мы теперь знаем, что независимость от посторонних альтернатив тоже нереалистична и научились учитывать это на практике: в очень важных случаях голосование проводят в два тура. Если ни один из кандидатов не набирает более половины голосов, то отбирают двух самых успешных и проводят выбор только среди этих двух альтернатив. Например, в первом туре А был на первом месте, а В на втором. Отбросили все остальные альтернативы и провели второй тур: может случиться так, что теперь В займет первое место. Это и означает, что на практике независимость от посторонних альтернатив не имеет места.
Прочитать ещё 3 ответа
Пересекаются ли параллельные прямые в геометрии Лобачевского?
Нет. Параллельные не пересекаются ни в какой геометрии. Просто по определению этого слова — параллельная.
У Лобачевского так: на плоскости через точку вне прямой можно провести по крайней мере ДВЕ прямые, параллельные данной. У Эвклида — только одну.
Почему кажется, что линии на этой картинке не параллельны, хотя они параллельны?
интеллектуал. дизайнер. меломан. мизантроп.
Потому что мозг человека настроен иначе. Он не рассчитан на восприятие геометрических узоров такого типа — различные способы анализа изображения начинают конфликтовать друг с другом. Миллионы лет человек приспосабливаться к трёхмерному миру (перспектива) освещённому сверху вниз. Эта привычка помогает быстро ориентироваться в пространстве, но мешает решению визуальных ребусов. 🙂
Вот простейший случай:
Иллюзия стены кафе — оптическая иллюзия, создаваемая за счёт совместного действия разных уровней нейронных механизмов: нейронов сетчатки и нейронов зрительной коры.
С первого взгляда кажется, что серые линии между чёрными и белыми квадратами расположены под углом, но если присмотреться то можно увидеть что линии абсолютно ровные. Мозг, сбитый с толку контрастными и близко расположенными квадратами, видит серые линии как часть мозаики, выше или ниже квадратов.
Иллюзия была открыта в 1973 году исследователем Ричардом Грегори из Бристольского университета который теперь является почетным профессоромнейропсихологии. Посмотрев на одну из стен кафе, исследователь обнаружил причудливую особенность рисунка на стене. В материале и конструкции стены не было ничего необычного, все дело в рисунке из черных и белых кирпичиков, ряды которых были сдвинуты на пол-ширины кирпича и разделены тонкой полоской раствора. Эффект оказался гипнотическим. Из-за того, что иллюзия была найдена на стене кафе, она и получила своё название.
Вот более весёлый вариант:
Какие есть условия параллельности прямых?
Интересы часто менялись, поэтому во многих областях знаний что-то знаю:)
Есть необходимые и достаточные условия. Достаточное условие параллельности прямых — это такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Необходимое условие, как следует из его названия, необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны.
Необходимым и достаточным условием параллельности прямых является следующая ситуация: если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.
На иллюстрации будет понятнее.
Прочитать ещё 2 ответа
Как доказать, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны?
Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.
Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
Доказательство. Действительно, если вписанные углы ACB и ADB опираются на одну и ту же дугу AB то у них один и тот же центральный угол AOB. По теореме данные вписанные углы равны половине центрального угла AOB и, следовательно, равны между собой.