На каком свойстве основано правило приведения дробей к ноз

27 июля 2011

Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
2. Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
3. Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:

Задача. Найдите значения выражений:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.

Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.

Метод общих делителей

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:

1. Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
2. Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
3. При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 84 : 21 = 4; 72 : 12 = 6. Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:

Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!

Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.

В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.

Метод наименьшего общего кратного

Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».

Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2. Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96.

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

1. Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
2. Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!

Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.

Смотрите также:

1. Сложение и вычитание дробей
2. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
3. Тест к уроку «Простые проценты» (легкий)
4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 4 (без логарифмов)
5. Упрощаем решение задач с помощью замены переменной
6. Нестандартная задача B5 на площадь круга

Общий знаменатель и дополнительный множитель.

У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:

(frac{17}{5}, frac{1}{5})

Пример разных знаменателей у дробей:

(frac{8}{3}, frac{2}{13})

Как привести к общему знаменателю дроби?

У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.

Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.

(frac{8}{3} = frac{8 times color{red} {13}}{3 times color{red} {13}} = frac{104}{39})

Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.

(frac{2}{13} = frac{2 times color{red} {3}}{13 times color{red} {3}} = frac{6}{39})

Мы привели к общему знаменателю дроби:

(frac{8}{3} = frac{104}{39}, frac{2}{13} = frac{6}{39})

Наименьший общий знаменатель.

Рассмотрим еще пример:

Приведем дроби (frac{5}{8}) и (frac{7}{12}) к общему знаменателю.

Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.

Как найти наименьший общий знаменатель?
Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.

Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.

(begin{align}&frac{5}{8} = frac{5 times color{red} {3}}{8 times color{red} {3}} = frac{15}{24}\\&frac{7}{12} = frac{7 times color{red} {2}}{12 times color{red} {2}} = frac{14}{24}\\ end{align})

Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ сократить.

Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.

Например:
Приведите дроби (frac{1}{4}) и (frac{9}{16}) к наименьшему общему знаменателю.

Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:

(begin{align}&frac{1}{4} = frac{1 times color{red} {4}}{4 times color{red} {4}} = frac{4}{16}\\&frac{9}{16} = frac{9 times color{red} {1}}{16 times color{red} {1}} = frac{9}{16}\\ end{align})

Вопросы по теме:
Любые ли две дроби можно привести к одному общему знаменателю?
Ответ: да.

К какому знаменателю принято приводить дроби?
Ответ: к наименьшему общему знаменателю.

Пример №1:
Для дроби (frac{1}{2}) запишите равную дробь со знаменателем: а) 12 б) 18 в) 50?

Решение:
а) Число 2 нужно умножить на 6, чтобы получить 12. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 6.

(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {6}}{2 times color{red} {6}} = frac{6}{12})

б) Число 2 нужно умножить на 9, чтобы получить 18. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 9.

(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {9}}{2 times color{red} {9}} = frac{9}{18})

в) Число 2 нужно умножить на 25, чтобы получить 50. Следовательно мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 25.

(frac{1}{2} = frac{1 times color{red} {25}}{2 times color{red} {25}} = frac{25}{50})

Ëþáûå 2 äðîáè âîçìîæíî ïðèâåñòè ê îäèíàêîâîìó çíàìåíàòåëþ, ëèáî, ãîâîðÿ äðóãèìè ñëîâàìè, ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ. Ïðèâåäåíèå äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ çíà÷èò âûðàçèòü äðîáè â îäèíàêîâûõ ÷àñòÿõ åäèíèöû ñ ñîõðàíåíèåì âåëè÷èíû äðîáè.
 

Êàëüêóëÿòîð äðîáåé îíëàéí. Ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå, äåëåíèå äðîáåé.

Êàëüêóëÿòîð äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îíëàéí. Ïåðåâîä äåñÿòè÷íûõ äðîáåé â îáû÷íûå è îáû÷íûõ â äåñÿòè÷íûå.

Îáùèì çíàìåíàòåëåì äðîáåé ìîæåò ñòàòü êàæäîå îáùåå êðàòíîå çíàìåíàòåëåé ýòèõ äðîáåé (ïðèìåð: ïðîèçâåäåíèå çíàìåíàòåëåé). Îí ðàâåí íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó (ÍÎÊ) çíàìåíàòåëåé ýòèõ äðîáåé. Äðîáü íå èçìåíèòñÿ, åñëè åå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæàòü íà îäèíàêîâîå ÷èñëî, íå ðàâíîå íóëþ.

Çà÷åì ïðèâîäÿò äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ? Íèæå ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ïðè÷èíû:

• Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå äðîáåé ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè. Äðóãèõ ñïîñîáîâ äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîé îïåðàöèè íå ñóùåñòâóåò;
• Ñðàâíåíèå äðîáåé. Èíîãäà ïðèâåäåíèå ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ñèëüíî îáëåã÷àåò âûïîëíåíèå çàäàíèÿ;
• Ðåøåíèå çàäà÷ íà äîëè è ïðîöåíòû. Ïðîöåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ ýòî, ïî ñóòè, îáûêíîâåííûå âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå äðîáè.

×òîáû ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íåîáõîäèìî:

• íàéòè íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå (ÍÎÊ) çíàìåíàòåëåé ýòèõ äðîáåé (íàèìåíüøèé îáùèé çíàìåíàòåëü – ÍÎÇ);
• ïîäåëèòü íàèìåíüøèé îáùèé çíàìåíàòåëü (ÍÎÇ) íà çíàìåíàòåëè ýòèõ äðîáåé, òî åñòü, íàéòè êàæäîé äðîáè äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü;
• óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü.

Ðàññìîòðèì ïðèìåð:

Ïðèâåñòè äðîáè ,  ê íàèìåíüøåìó îáùåìó çíàìåíàòåëþ (ÍÎÇ).

     1. Îïðåäåëèì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå (ÍÎÊ) çíàìåíàòåëåé çàäàííûõ äðîáåé – ýòî áóäåò èñêîìûì íàèìåíüøèì îáùèì çíàìåíàòåëåì:

4 = 2 • 2;

6 = 2 • 3;

ÍÎÊ (4 , 6) = 2 • 2 • 3 = 12;

ÍÎÇ (íàèìåíüøèé îáùèé çíàìåíàòåëü) = 12;

     2. Ðàçäåëèì íàèìåíüøèé îáùèé çíàìåíàòåëü íà çíàìåíàòåëè çàäàííûõ äðîáåé, òî åñòü íàéäåì äëÿ êàæäîé äðîáè äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü:

äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü äëÿ äðîáè :

12 : 4 = 3;

äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü äëÿ äðîáè :

12 : 6 = 2;

     3. Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü:

, 

Äðîáè ïðèâåäåíû ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.