Какой угол называется внешним углом треугольника свойства внешнего угла
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Доказательство.
Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
| ∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º. Отсюда следует ∠ ABС + ∠ CAB = 180 º — ∠ BCA = ∠ BCD Теорема доказана. |
3. Задача по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».
У треугольников ABC и DEK: , AC=DK, AB=DE. Докажите, что .
Билет № 10
1. Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников (без доказательства).
Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо двум катетам
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо катету и гипотенузе
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенствапо гипотенузе и острому углу
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольниковпо катету и острому углу
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых (доказательство одного из них).
Две прямые a и b на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a∥b.
Признак 1: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Через точку К — середину отрезка секущей — проведем перпендикуляр к прямой b — КН, продлим его до пересечения с прямой а.
АК = КВ, так как К середина АВ,
углы при вершине К равны как вертикальные,
∠КВН = ∠КАН’ по условию, ⇒
ΔВКН = ΔАКН’ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Значит ∠АН’К = ∠ВНК = 90°.
Обе прямые а и b перпендикулярны третьей прямой НН’, значит они параллельны.
Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 = ∠2 по условию (соответственные углы)
∠3 = ∠1 как вертикальные, ⇒
∠2 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.
Признак 3: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство:
∠1 + ∠2 = 180° по условию (односторонние углы),
∠2 + ∠3 = 180° так как эти углы смежные,
значит ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, значит прямые параллельны по первому признаку.
3. Задача по теме » Угол. Измерение углов».
Известно, что =90º. Луч OD делит угол AOB на два угла: и . Найдите , если угол AOD в два раза меньше угла DOB.
Билет № 11
Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà áóäåò ðàâíÿòüñÿ âíåøíåìó óãëó, íå ñìåæíîìó ñ íèìè.
Ïðîàíàëèçèðóåì óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Êàê èçâåñòíî, ñóììà âñåõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà 2 d, èç ýòîãî ïîëó÷àåì òîæäåñòâî / 1 + / 2 = 2d — / 3, íî è / ÂÑD, âíåøíèé óãîë ýòîãî òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíûé ñ / 1 è / 2, â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî âûðàçèòü òîæäåñòâîì 2d — / 3.
Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
/ 1 + / 2 = 2d — / 3;
/ ÂÑD = 2d — / 3.
Çíà÷èò âåðíûì áóäåò / 1 + / 2 = / ÂÑD.
Óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà êîíêðåòèçèðóåò ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î âíåøíåì óãëå òðåóãîëüíèêà, â êîòîðîé îáîñíîâûâàëîñü ëèøü, ÷òî âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà áîëüøå âñÿêîãî âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíîãî ñ íèì; òåïåðü æå ïîäòâåðæäåíî, ÷òî âíåøíèé óãîë ðàâíÿåòñÿ ñóììå îáîèõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì.
Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
| Ðàñ÷åò âñåõ óãëîâ, ñòîðîí è ïëîùàäè ïî èçâåñòíûì óãëàì è ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ÷åðòåæ òðåóãîëüíèêà | |
| Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Òðåóãîëüíèê | |
| Òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû, óãëû, âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíû, áèññåêòðèñû. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. | |
| Òðåóãîëüíèê | |
Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
| Íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû íå îäèíàêîâîé äëèíû, ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàçíîñòîðîííèìè. | |
| Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
Тема: «Внешние углы треугольника»
Тип урока: Ознакомление с новым материалом
Цели:
Познакомить учащихся с понятием внешнего угла
Доказать теорему о внешнем угле треугольника
Развить способность применять доказанную теорему в решении задач.
Ход урока
І . Устный опрос
Сформулировать теорему о сумме углов треугольника.
Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50 ° и 30°.
50 °
30°
Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 35°.
35°
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами 80°.
80°
К
B
акие углы изображены на рисунке?
C
D
A
Какие углы называются смежными?
Каким свойством обладают смежные углы?
Найдите углы смежные с углами в 30°, 45°, 60°, 90°
Назовите смежные углы
c
b
a
a1
Являются ли смежными AOB и DOC?
A
О
B
C
Найдите пары смежных углов на рисунке.
B
A
D
E
C
C какими углами не смежные DAB, EAC?
І
B
І. Изучение нового материала
A
C
D
— Постройте угол смежный с углом С.
— Угол, который вы построили, называется внешним углом ΔABC при вершине С.
Определение:
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол смежный с углом треугольника при этой вершине.
— Как вы думаете, можно ли еще построить внешний угол при вершине C?
— Что вы можете сказать о величине данных углов?
— Сколько всего внешних углов имеет треугольник?
Внешние углы треугольника обладают свойством, которые мы сегодня докажем.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
— Откройте учебник на стр. 66 и прочитайте внимательно.
— Где условие, где заключение?
— Что дано, что требовалось доказать?
Дано:
4 – внешний угол треугольника смежный с 3.
Доказать: 4 = 1+2
1
2
3
4
Доказательство:
— Чему равна сумма углов треугольника?
1. 1 + 2+3 = 180°
— Как найти сумму углов 1 и 2?
2. 1+ 2 = 180° — 3
— Как можно найти угол 4?
3. 4 = 180° — 3
— Что мы получим?
4. 4 = 1 + 2
ч.т.д.
— Какую теорему мы доказали?
ІІІ. Закрепление нового материала.
Пусть 4 = 70°. Чему равна сумма углов 1 и 2?
Сумма углов 1 и 2 равна 140°. Чему равен внешний угол не смежный с данными углами?
Задача 1. Внешний угол ABC при вершине C равен 120°. Найдите градусные меры углов треугольника, не смежные с ним, если известно, что один из них в 2 раза больше другого.
(с ребятами читаем еще раз условие задачи).
Д
B
ано:
BCD = 120°
B > A в 2 раза
Н
A
D
айдите: A и B
C
Решение:
Пусть A — х ° , тогда B = 2х° .
х +2х = 120
3х = 120
х =40 A = 40 °
B= 2 ·40° = 80°
Ответ: A = 40 °, B = 80°.
Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине B равен 108°. Найдите углы треугольника.
D
Дано:
A
B
C
108°
Δ ABC- равнобедренный
AC – основание, DBC = 108°
Найдите: A, B, C
Решение:
DBC = A + C = 108° — по свойству внешних углов
A = C = 108° : 2 = 54° — по свойству равнобедренного треугольника
B = 180° — 108° = 72° — по свойству смежных углов
Ответ: A = 54°, С = 54°, B = 72°.
Итог:
— Какой угол называется внешним?
— Каким свойством обладает внешний угол треугольника?
Дополнительные задания:
Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.
Ответ: 68°, 68°, 44°.
Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника.
Ответ: 120°, 120°, 120°.
Найдите внешний угол при основании равнобедренного треугольника с углом в 45°.
Ответ: 135°.
№
B
227 б)
A
C
D
Дано:
Δ ABC- равнобедренный
С < BCD
Найти углы Δ ABC
Решение:
Пусть С = х °, BCD = 3х°
Т.к. углы смежные и в сумме составляют 180°, то составим уравнение:
х + 3х = 180
4х = 180
х = 45
A = C = 45°
B = 90°.
Ответ: B = 90°.
ІV. Домашнее задание
п. 30, стр.66
B 1-2 стр.84
№233, №234, №235.
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.
Тупоугольный треугольник (понятие и определение)
Элементы тупоугольного треугольника
Свойства тупоугольного треугольника
Формулы тупоугольного треугольника
Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник (понятие и определение):
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, а два других – острые. В свою очередь, тупой угол – это угол, градусная мера которого составляет 90° до 180°, а острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов
Рис. 1. Тупоугольный треугольник
∠ BАC– тупой угол треугольника,
∠ АВС, ∠ BСA – острые углы треугольника
По определению, тупоугольным треугольником не может быть правильный (равносторонний) треугольник, т.к. у него каждый угол составляет 60°.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника,
∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
По определению, тупоугольным треугольником не может быть прямоугольный треугольник , т.к. у него один угол составляет 90° и сумма двух других углов также составляет 90°.
Рис. 3. Прямоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником. Но не всякий равнобедренный треугольник тупой.
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,
∠ ВАС – вершинный угол, ∠ АBC и ∠ BСA – углы при основании
Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.
Элементы тупоугольного треугольника:
Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол
∠ ВAD – острый угол
Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.
Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника
MA – медиана тупоугольного треугольника
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника
MС – высота тупоугольного треугольника
Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.
Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника
MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника
Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Свойства тупоугольного треугольника:
Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Рис. 9. Тупоугольный треугольник
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами
АВ = АС
3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
- a < b + c;
- a > b – c;
- b < a + c,
- b > a – c;
- c < a + b;
- c > a – b.
Квадрат
Овал
Остроугольный треугольник
Полукруг
Прямой угол
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ромб
Трапеция
Тупой угол
Тупоугольный треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
2 136
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 апреля 2020;
проверки требуют 2 правки.
Тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.
Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
Варианты определений[править | править код]
Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.
- Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
- Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
- Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.
Во всех случаях вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.
Связанные определения[править | править код]
Виды многоугольников и их свойства[править | править код]
Многоугольник, вписанный в окружность
Многоугольник, описанный около окружности
- Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
- Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного -угольника равен .
- Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
- Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
- Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
- Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.[1] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.
Общие свойства[править | править код]
Теорема о сумме углов многоугольника[править | править код]
Число диагоналей[править | править код]
Площадь[править | править код]
, где .
- Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [2].
Квадрируемость фигур[править | править код]
С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , таких, что и , где обозначает площадь .
Вариации и обобщения[править | править код]
- Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.
Примечания[править | править код]
- ↑ Картаслов.ру
- ↑ Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона// Матем. просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12–15