Какой угол называется внешним свойства внешнего угла

Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà áóäåò ðàâíÿòüñÿ âíåøíåìó óãëó, íå ñìåæíîìó ñ íèìè.

Ïðîàíàëèçèðóåì óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.

Êàê èçâåñòíî, ñóììà âñåõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà 2 d, èç ýòîãî ïîëó÷àåì òîæäåñòâî / 1 + / 2 = 2d — / 3, íî è / ÂÑD, âíåøíèé óãîë ýòîãî òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíûé ñ / 1 è / 2, â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî âûðàçèòü òîæäåñòâîì 2d — / 3.

Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:

/ 1 + / 2 = 2d — / 3;

/ ÂÑD = 2d — / 3.

Çíà÷èò âåðíûì áóäåò / 1 + / 2 = / ÂÑD.

Óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà êîíêðåòèçèðóåò ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î âíåøíåì óãëå òðåóãîëüíèêà, â êîòîðîé îáîñíîâûâàëîñü ëèøü, ÷òî âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà áîëüøå âñÿêîãî âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíîãî ñ íèì; òåïåðü æå ïîäòâåðæäåíî, ÷òî âíåøíèé óãîë ðàâíÿåòñÿ ñóììå îáîèõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì.

Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.

Тупоугольный треугольник (понятие и определение)

Элементы тупоугольного треугольника

Свойства тупоугольного треугольника

Формулы тупоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник (понятие и определение): 

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, а два других – острые. В свою очередь, тупой угол – это угол, градусная мера которого составляет 90° до 180°, а острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов

Рис. 1. Тупоугольный треугольник

∠ BАC– тупой угол треугольника,

∠ АВС, ∠ BСA – острые углы треугольника

По определению, тупоугольным треугольником не может быть правильный (равносторонний) треугольник, т.к. у него каждый угол составляет 60°.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника,

∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника 

По определению, тупоугольным треугольником не может быть прямоугольный треугольник , т.к. у него один угол составляет 90° и сумма двух других углов также составляет 90°.

Рис. 3. Прямоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником. Но не всякий равнобедренный треугольник тупой.

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,

∠ ВАС – вершинный угол, ∠ АBC и ∠ BСA – углы при основании

Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.

Элементы тупоугольного треугольника:

Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.

Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол

∠ ВAD – острый угол

Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.

Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника

MA – медиана тупоугольного треугольника

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника

MС – высота тупоугольного треугольника

Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.

Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы  пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника

MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника

Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Свойства тупоугольного треугольника:

Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Рис. 9. Тупоугольный треугольник

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами

АВ = АС

3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

• • a < b + c;
  • a > b – c;
  • b < a + c,
  • b > a – c;
  • c < a + b;
  • c > a – b.

Квадрат

Овал

Остроугольный треугольник

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Тупоугольный треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

карта сайта

Коэффициент востребованности
2 257

1

Задачи для школьников : 1. Знать: а) определение внешнего угла треугольника; б) свойство внешнего угла треугольника. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

2

Повторение. 1) Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о. 2) o B A C Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными. Смежные углы. Сумма смежных углов равна 180 о

3

A C B D 13 2 Определение. Угол, смежный с каким–нибудь углом треугольника, называется внешним углом треугольника – внешний угол треугольника. 4 – внешний угол треугольника.

4

Задача. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС. Внешний угол при вершине В равен 100 о. Чему равен угол А и угол С в треугольнике АВС? В A D C 100 О Дано: ABC – равнобедренный; АC — основание.

5

Задачи для школьников : 1. Знать: а) определение параллельных прямых; б) углы, образованные при пересечении двух прямых третьей. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

6

Повторение. А А А В В В АВ – отрезок. АВ – луч. АВ – прямая C А B D а) АВ СD. б) А D B C АВ СD. = 3.3. а) o B A C

7

а O b b a А a D B a b = O a b = Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. c b b a c a c b = а b C Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.. a)a) б) AB CD = А a h В b А В h a b = = = a b = 2.2. b a = Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются b a a b = Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

8

a c b Определение. Прямая с называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках Накрест лежащие углы: 3 и 5; 4 и 6. Односторонние углы: 3 и 6; 4 и 5. Соответственные углы: 1и 5; 4 и 8. 2 и 6; 3 и 7. a c b

9

Задачи. 1. Какие углы выделены? а). б). в). a c b 1 2 Угол 1 и угол 2 – накрест лежащие. a b 1 2 a b 1 2 c c Угол 1 и угол 2 – односторонние. Угол 1 и угол 2 – соответственные. 2. Назвать: накрест лежащие углы; соответственные углы; односторонние углы. a b c Накрест лежащие углы: 2 и 8; 3 и 5. Соответственные углы: 1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7. Односторонние углы: 2 и 5; 3 и 8.

10

Задачи для школьников : 1. Знать виды треугольников по углам. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

11

Повторение. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о. Виды углов. Острый угол Разверну- тый угол Тупой угол Прямой угол А

12

А C C C A B B А B С = 90 о А + В = ? А + В = 90 о А + В = ? А и В — острые С — тупой А + В ? А + В

13

А C B CB А C A B Треугольник, у которого все три угла острые. называется остроугольным. Треугольник, у которого один угол тупой, называется тупоугольным. Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным. Гипотенуза лежит против прямого угла. Катеты образуют прямой угол. Гипотенуза Катет

14

Задачи. 1. Отрезки АВ и CD пересекаются под прямым углом в точке О. Назовите гипотенузы и катеты прямоугольного треугольника АОС и прямоугольного треугольника BOD. 2. В треугольнике MNK проведена высота KD. Назовите получившиеся прямоугольные треугольники, их гипотенузы и катеты. O D C В А D N K M

15

По углам По углам. C B A C B A C B A 1. Остроугольный треугольник. Все три угла острые. 2. Тупоугольный треугольник. Один угол тупой, остальные — острые. 3. Прямоугольный треугольник. а) Один угол прямой, остальные – острые. б) Гипотенуза лежит против прямого угла. в) Катеты образуют прямой угол.

16

По сторонам По сторонам. A С B C B A 60 o C B A 1.Равнобедренный треугольник. а) Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным. б) Углы при основании равны. в) Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. 2.Равносторонний треугольник. а) Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. б) Все углы по 60 о. в) Выполняется свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. 3. Разносторонний треугольник. Все стороны разной длины.

17

Задачи для школьников : 1. Знать: а) понятие теоремы, обратной данной; б) алгоритм доказательства методом от противного; в) теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

18

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений. Такие рассуждения – доказательство теоремы. Свойство смежных углов – теорема: если углы смежные, то их сумма равна 180 о Если …, то … Условие (дано). Утверждение, заключение ( что следует доказать) Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы. Данная теорема Обратная теорема Дано: Доказать: Дано:

19

Данная теорема Обратная теорема Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая;

20

Алгоритм : 1.Предполагаем противоположное тому, что нужно доказать. 2.Выясняем, что следует из нашего предположения. 3.Находим противоречие с ранее изученными аксиомами, теоремами. 4.Делаем вывод: предположение неверно, а верно то, что нужно доказать.

21

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; a b, с – секущая;

22

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая;

23

c b a 1 2 Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 b a 1 2 c Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 о. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.