Какой символ содержится в иррациональном уравнении

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень. А вот как это выглядит:  ;  .

Метод уединенного радикала

Радикал, а попросту выражение с корнем надо уединить в одной стороне уравнения) предусматривает возможность того, что уединять и возводить в степень придется не один раз.

Какие замысловатые махинации по уединению одного из выражений с корнем в одной стороне и возведении всего выражения в степень нужно делать пока от корней не избавимся вовсе, чтоб получилось нормальное такое, рациональное уравнение (без корней в смысле).

Но с другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений.

На этапе, когда мы получили   вместо того, чтобы тупо возводить все очередной раз в квадрат можно прикинуть, что квадратный корень берется только из неотрицательных чисел, значит, икс в данном случае будет больше либо равен нолю.

А что из этого следует?

А то, что икс не может быть равен  , т.к. и икс и корень из икс неотрицательны. В то время, как равенство говорит, будто неотрицательное умноженное на отрицательное равно неотрицательному, но все ведь знают, что минус на плюс дает минус.

Значит что?

Значит это равенство возможно лишь в случае, когда икс равен нолю. Я бы назвал решение методом уединения радикала решением «в лоб», а изложенный сейчас способ более рациональным с точки зрения лишней писанины и подсчетов. Е

сли ты понял то, что я сейчас объяснял, то тебе, возможно, стоит ознакомиться с этой темой в изложении для среднего уровня (см. далее). 

Вернемся к нашему несчастному примеру,

Опять возводим в квадрат обе части.

Дальше, как ты уже запомнил нужно подставить корни   и   в исходное уравнение для проверки, скажу лишь, что   тут будет побочным корнем, а ты давай, давай, подставляй, проверь на всякий случай.

А ответ, соответственно будет  .

Решать тебе, применять до последнего метод уединения радикала или на определенной стадии решить, что выражение можно не упрощать больше и решение очевидно и сейчас.

Давай сделаем выжимку из сказанного выше.

Решение иррациональных уравнений включает в себя 3 шага:

1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
2. Решить получившееся рациональное уравнение;
3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Вот, собственно, и все, а чтоб слова которые ты тут прочел не остались просто словами и ты на собственном опыте понял, что здесь к чему, вот порешай:

Примеры для самостоятельной работы:

1.  ;
2.  
3.  

Решения примеров для самостоятельной работы:

1.  

  но   не проходит проверку

Ответ:  

2.  реши самостоятельно. Подсказка: Ответ:  

3.  
 
 
 , но   не проходит проверку.

Так же можно на второй строке решения понять, что равенство не имеет смысла, т.к.  , только в случае, когда  , но   в данном случае не подходит.

Ответ:  

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

• «ОДЗ»
• «Корень степени n>1 и его свойства»
• «Квадратные уравнения»
• «Квадратные неравенства»

Простейшие иррациональные уравнения

Два примера:

Начнем с самого простого: уравнения вида  .

Например:  . Как его решить? Как избавиться от корня? Правильно, квадратный корень убирается возведением в квадрат:

 .

А как решить такое:  ?

И снова вспомним определение корня степени  :   – это такое число, которое нужно возвести в степень  , чтобы получить  . В данном случае эта степень равна  :

Итак, общее правило:

Хорошо, а что с этим:  ? Все просто: квадрат и корень уничтожаются, и получаем  , верно?

Нет!

Когда мы проходили корни, на это обращали особое внимание: здесь два корня –   и  , ведь  .

Не забываем правило:

Реши сам:

Ответы:

Учет ОДЗ

Помнишь, что такое ОДЗ? ОДЗ (область допустимых значений) уравнения или неравенства – это множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл.

Например, в уравнении   присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства  .

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, задачу из предыдущей главы:  . При возведении в квадрат получаем  , то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно.

Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ.

Пример №1:

ОДЗ:  .

Но при таких   правая часть уравнения неположительна, а левая, как и любой приличный квадратный корень, неотрицательна.

Тогда равенство возможно только если обе части уравнения равны нулю, то есть при  :  .

Ответ:  .

Пример №2

Решение:

Найдем ОДЗ:

Итак, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Проверим его – подставим   в уравнение. Что получилось? Если получилось  , все верно: корень   подходит.

Ответ:  .

Большинство стандартных иррациональных уравнений не требуют нахождения ОДЗ – как и в приведенном в начале примере, ОДЗ оказывается автоматически учтенной после равносильного преобразования.

Иррациональные уравнения вида √A = √B

Здесь и далее большими буквами  ,  ,  , и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную. Так, общая запись   соответствует, например, уравнению  :   здесь и  .

Как решить такое уравнение?

Во-первых, корни равны только когда подкоренные выражения равны:  .

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом уравнении?

Действительно, чтобы уравнение имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку эти выражения равны друг другу, достаточно потребовать неотрицательности только одного из них:

Примеры (реши сам):

Ответы:

1. Какое из выражений будем проверять на неотрицательность? Конечно же то, которое проще, то есть  :

2.  

3.  

Все понятно в этих решениях? Если нет, значит ты скорее всего не повторил тему «Квадратные неравенства».

Иррациональные уравнения вида​ A√B = 0 

Что написано в левой части? Правильно, произведение выражений. А при каких условиях произведение равно нулю? Конечно, если один из множителей равен нулю, то есть верна совокупность 

Но, как ты догадался, это еще не все. Что нужно добавить? ОДЗ. Причем в той части, где  , все хорошо.

Но если мы выбираем  , придется кое-что сказать и про  :

Примеры (реши сам):

Ответы:

1.  

2.  

3.  

Иррациональные уравнения вида √A=B

Наиболее распространённый тип иррациональных уравнений.

Рассмотрим пример:

Возводим обе части в квадрат:

Все верно? Это ответ?

Проверим корни:

  – все и правда верно,   – подходящий корень.

  – а вот здесь ошибка. Значит, корень   – сторонний.

И правда, мы ведь помним, что результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен! Значит, прежде чем возводить в квадрат, нужно убедиться, что правая часть неотрицательна. Тоже своего рода ОДЗ.

Проверять же ОДЗ корня ( ) здесь снова не нужно (почему?).

Примеры:

Ответы:

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

I. Корни четной степени.

Корни  ,  ,  , и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

Например:

II. Корни нечетной степени.

С нечетными степенями ( ,  , …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

Примеры:

Ответы:

1.  

2.  

3.  

4.  

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА​​

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

Для того, чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

1. Уединить одно из выражений с корнем в одной части и избавиться от знака корня (возвести в соответствующую степень обе части уравнения и упростить его) – повторять эту процедуру пока все корни не уйдут или пока решение не станет очевидным;
2. Решить получившееся рациональное уравнение;
3. Для проверки подставить получившиеся корни уравнения в исходное уравнение.

Твое мнение? 

Узнал что-нибудь новое в этой статье?

Напиши нам.

Если нет, тоже напиши 🙂

Если серьезно, пиши в комментариях как мы можем улучшить статью.

Или если найдешь ошибку.

Удачи на экзаменах!