Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = a√2 + 2 · cosα

d1 = a√2 — 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = a√2 + 2 · cosβ

d2 = a√2 — 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d1 = √4a2 — d22

d2 = √4a2 — d12

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · ha

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Свойства ромба:

(blacktriangleright) Те же, что и у параллелограмма:

(sim) Противоположные стороны попарно равны;

(sim) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(sim) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ);

(blacktriangleright) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

(blacktriangleright) все стороны равны;

(blacktriangleright) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

(blacktriangleright) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Задание
1

#2716

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ромбе (ABCD): (angle ACD = 26^{circ}). Найдите (angle ABD). Ответ дайте в градусах.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда (angle CDB = 90^{circ} — angle ACD = 64^{circ}).

(BC = CD), тогда (angle CBD = angle CDB = 64^{circ}).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то (angle ABD = angle CBD = 64^{circ}).

Ответ: 64

Задание
2

#2717

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите большую диагональ ромба (ABCD), если (AB = 2sqrt{3}), а острый угол равен половине тупого.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), то сумма острого и тупого углов ромба равна (180^{circ}).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}).

Треугольник (ABD) – равнобедренный, один из углов которого равен (60^{circ}), тогда треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 2sqrt{3}).

Пусть (O) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда (OD = 0,5 BD = sqrt{3}), следовательно, по теореме Пифагора находим: (AO^2 + OD^2 = AD^2), тогда (AO^2 + 3 = 12), откуда находим (AO = 3). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, (AC = 6).

Ответ: 6

Задание
3

#2715

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Пусть (angle A = 60^{circ}). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник (ABD) – равнобедренный, у которого один из углов равен (60^{circ}), следовательно, треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 10).

Треугольник (ABC) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда (AC > AB = BD), значит, (BD) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10

Задание
4

#1794

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно (3), а острый угол ромба равен (60^circ). Найдите большую диагональ ромба.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), (angle DAB = 60^circ), тогда (angle
OAB = 30^circ). Получаем, что (OH) – катет лежащий напротив угла в (30^circ), значит (AO = 2cdot OH = 6). Т.к. (AC) и есть большая диагональ, то (AC = 2cdot AO = 12).

Ответ: 12

Задание
5

#1757

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона ромба равна (4). Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно (1). Найдите площадь ромба.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), тогда (S_{triangle ABO} = frac{1}{2}cdot 1 cdot 4 = 2). Диагонали ромба делят его на (4) равных прямоугольных треугольника (Rightarrow) (S_{ABCD} = 4cdot 2 = 8).

Ответ: 8

Задание
6

#2718

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр ромба равен (40), а диагонали относятся, как (3:4). Найдите площадь ромба.

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении (3:4). Зная периметр, найдем сторону ромба: (40
: 4 = 10). Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник (AOB).

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Пусть (AO=4x), (BO=3x).
Тогда по теореме Пифагора: ((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2) (Rightarrow) (25x^2 = 100) (Rightarrow) (x^2 = 4) (Rightarrow) (x = 2). Диагонали равны (BD=2BO=12) и (AC=2AO=16) (Rightarrow) (S_{ABCD} =
frac{1}{2}cdot12cdot16 = 96).

Ответ: 96

Задание
7

#2719

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как (3:1)?

Пусть (angle B) и (angle B_1) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как (3:1), то можно обозначить их за (3x) и (x) соответственно.

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Тогда и (angle D=angle D_1) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, (triangle ABCsim triangle A_1B_1C_1) и (triangle ADCsimtriangle A_1D_1C_1) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен (3). Следовательно, их площади относятся как (9:1). А так как (S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}) и (S_{A_1B_1C_1}+S_{A_1D_1C_1}=S_{A_1B_1C_1D_1}), то (S_1:S_2=9:1).

Ответ: 9

Геометрические задачи на тему «Свойства ромба» в обязательном порядке включаются в ЕГЭ по математике. Причем, в зависимости от условия задания, учащийся может давать как краткий, так и развернутый ответ. Именно поэтому на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ школьникам непременно стоит понять принцип решения задач на применение свойств и признаков ромба.

Еще раз повторить данную тему и восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный проект «Школково». С помощью нашего сайта можно легко и эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Чтобы успешно справляться с геометрическими заданиями, учащимся старших классов стоит повторить базовые понятия и определения: свойства углов ромба и других четырехугольников, признаки этой фигуры, а также формулу для нахождения ее площади. Данный материал представлен в разделе «Теоретическая справка» на сайте «Школково». Информация, которую подготовили наши специалисты, изложена в максимально доступной форме.

Повторив основные свойства диагоналей ромба, а также его углов и биссектрис, учащиеся могут попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий по данной теме, а также по решению нестандартных задач по математике представлена в разделе «Каталог». Найти правильный ответ выпускники смогут, предварительно освежив в памяти свойства биссектрис ромба, в также углов и диагоналей этой фигуры. Подробный алгоритм решения каждой задачи прописан нашими специалистами.

Выполнять простые и более сложные задания по теме «Ромб и его свойства», а также на нахождение площади квадрата на этапе подготовки к ЕГЭ по математике школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти это задание и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем.

Источник

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.
Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:
Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.
Свойства произвольных четырехугольников:
Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360o Если соединить отрезками середины соседних сторон — получится параллелограмм:
Свойства параллелограмма:
Противолежащие стороны попарно равны: Противолежащие углы попарно равны: Сумма углов прилежащих к любой стороне равна 180о: Диагонали делятся точкой пересечения пополам: Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: Каждая диагональ делить параллелограмм на два равных треугольника: Обе диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника:
Свойства ромба:
Диагонали ромба перпендикулярны, и делятся точкой пересечения пополам: Диагонали ромба являются биссектрисами внутренних углов: Если соединить отрезками середины соседних сторон любого ромба, получается прямоугольник:
Свойства прямоугольника:
Диагонали прямоугольника равны, и делятся точкой пересечения пополам: Если соединить отрезками середины соседних сторон любого прямоугольника, то получится ромб:
Свойства квадрата:
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, и точкой делятся точкой пересечения пополам:
Свойства трапеции:
Средняя («серединная») линия трапеции параллельна основаниям, равна их полусумме, и делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам: Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180о: Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции — равновелики: Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции — подобны: Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции делится этой точкой в отношении:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Источник

Какой четырехугольник называется ромбом свойства ромба

Признаки ромба

Основные свойства ромба

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

Периметр ромба

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

Виды четырехугольников:

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции: