Какой четырехугольник называется квадратом основные свойства

Какой четырехугольник называется квадратом основные свойства thumbnail

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

1. Параллелограмм

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

Смотри:

Параллелограмм.Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

Параллельные прямые

Пересекли ещё двумя:

параллельные прямые 2.

И вот внутри – параллелограмм!

Какие же есть свойства у параллелограмма?

Свойства параллелограмма.

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм?

На этот вопрос отвечает следующая теорема:

В любом параллелограмме:

  1. Противоположные стороны равны
  2. Противоположные углы равны
  3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

Противоположные стороны параллелограмма равны.  и
 .

Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм, то, опять же, непременно:

Противоположные углы параллелограмма равны.  и
 

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

Диагонали в параллелограмме делятся пополам точкой пересечения.  и
 

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма.

Внимание! Начинаем.

  • Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 1. ;       — параллелограмм.

  — паралелограмм.

  • Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 2. ;       – параллелограмм.
  • Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 3. ;      – параллелограмм.
  • Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
Признак параллелограмма 4. ;       – параллелограмм.

Обрати внимание: если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма.

2. Прямоугольник

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Прямоугольник.Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является! Ведь у него   и   — помнишь, наш признак 3?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма   и  , а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительноесвойство.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника.Диагонали прямоугольника равны:  .

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Свойство прямоугольника.Если у параллелограмма равны диагонали, то это — прямоугольник.

Обрати внимание: чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

3. Ромб

Ромб.Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него   и   (вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

  • Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.
Свойство ромба 1.  (если ты забыл, напомню:  — значок перпендикулярности)
  • Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Свойство ромба 2.

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Признаки ромба

  • Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Признак ромба 1.

  • Признак 2. Если в параллелограммехотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

Признак ромба 2.

И снова обрати внимание: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм. Убедись:

Ромбом может быть только параллелограмм.разве это ромб?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ   – биссектриса углов   и  . Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому   – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

4. Квадрат

КвадратКвадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.
Читайте также:  Укроп лечебные свойства и при каких заболеваниях

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат, прямоугольник, ромб.У квадрата угол между диагональю и стороной равен  .

Понятно почему? Квадрат — ромб   – биссектриса угла A, который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Диагонали квадрата.Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник  диагонали равны; ромб  диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм  диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Диагональ квадрата.Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

Значит,  .

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Параллелограмм. Доказательство теоремы.Давай проведём диагональ  . Что получится?
Два треугольника:   и  .

Раз   – параллелограмм, то :

  •    как накрест лежащие
  •    как накрест лежащие.

Значит,   (по II признаку:   и   — общая.)

Ну вот, а раз  , то   и   – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь   (смотри на картинку), то есть  , а   именно потому, что  .

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Параллелограмм. Доказательство теоремы 2.Мы уже выяснили, что  . Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что   — по II признаку (  угла и сторона «между» ними).

Параллелограмм. Доказательство теоремы 3.Значит,   (напротив углов   и  ) и   (напротив углов   и   соответственно).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

Параллелограмм. Признак №1 - 1. ;     – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему   – этого хватит. Но смотри:

Параллелограмм. Признак №1 - 2.  по 1 признаку:  ,  — общая и   как накрест лежащие при параллельных   и   и секущей  .

А раз  ,

Параллелограмм. Признак №1 - 2то   (лежат напротив   и   соответственно). Но это значит, что   (  и   — накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

Параллелограмм. Признак №2 - 1 ,     – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ  .

Параллелограмм. Признак №2 - 2.Теперь   просто по трём сторонам.

А значит:

Параллелограмм. Признак №2 - 3.   и   , то есть   – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

Параллелограмм. Признак №3 - 1 ,     – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Параллелограмм. Признак №2 - 2  (ведь   – четырехугольник, а  ,   по условию).

Значит,  . Ух! Но   и   – внутренние односторонние при секущей  !

Поэтому тот факт, что   означает, что  .

А если посмотришь с другой стороны, то   и   – внутренние односторонние при секущей  ! И поэтому  .

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

Параллелограмм. Признак №3 - 1 ;       – параллелограмм.

И опять просто:

Параллелограмм. Признак №3 - 2 ,   как вертикальные  ,  , и  .

Точно так же  ,    , и  .

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Достаточные условия для свойств параллелограмма.

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Прямоугольник. Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Свойства прямоугольника:

  1. Прямоугольник – параллелограмм
  2. Диагонали прямоугольника равны

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (  )

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.

Диагонали прямоугольника - равны.Раз прямоугольник – это параллелограмм, то  .

А значит,   по двум катетам (  и   — общий).

Ну вот, раз треугольники   и   равны, то у них и гипотенузы   и   тоже равны.

Читайте также:  Какие важнейшие свойства живого присущи всем живым существам

Доказали, что  !

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

Параллелограмм с равными диагоналями.  – параллелограмм  
  – по условию.
  – теперь уже по трём сторонам.

Значит,   (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что   – параллелограмм, и поэтому  .

Значит,  . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по  ! Ведь в сумме-то они должны давать  !

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб.Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него   и   (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Ромб. Свойство 1.Поэтому   по трём сторонам ( ,   — общая,  ).И значит,  , но они смежные!
  и  .

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да, потому же!

Ромб. Свойство 2.Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника:  .

Поэтому

Иными словами, диагонали   и   оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

Ромб. Признак 1. 
   — ромб

Почему? Смотри:

Ромб. Признак 1. Обоснование.  — параллелограмм  .
Но ещё дано, что
    — по двум катетам.
И значит,   – и всё!

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри,

Ромб. Признак 2. , так как   – параллелограмм. Но ещё дано, что   – биссектриса углов   и  .

Значит,   и оба этих треугольника – равнобедренные.

Ромб. Признак 2. Обоснование.Значит,  , то есть   — ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Не каждый четырехугольник - ромб.Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Квадрат.Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат. Угол между диагональю и стороной.У квадрата угол между диагональю и стороной равен  .

Понятно, почему? Квадрат — ромб     – биссектриса угла  , который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Диагонали квадрата.Диагонали квадрата – равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник   диагонали равны; ромб   диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм   диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Зависимость длины диагонали квадрата, от длины его стороны.Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

Значит,  

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Какой четырехугольник называется квадратом основные свойства
  • Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  1. Противоположные стороны равны:  ,  .
  2. Противоположные углы равны:  ,  .
  3. Углы при одной стороне составляют в сумме  :  ,  ,  ,  .
  4. Диагонали делятся точкой пересечения пополам:  .
Читайте также:  Химия какие свойства алюминия лежат в основе его применения 7 класс
Какой четырехугольник называется квадратом основные свойства
  • Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые:  .

Свойства прямоугольника:

  1. Диагонали прямоугольника равны:  .
  2. Прямоугольник – параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Какой четырехугольник называется квадратом основные свойства
  • Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой:  .

Свойства ромба:

  1. Диагонали ромба перпендикулярны:  .
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов:  ;  ;  ;  .
  3. Ромб – параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Какой четырехугольник называется квадратом основные свойства
  • Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые:  ;  .

Свойства квадрата:

Квадрат — ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же:

Какой четырехугольник называется квадратом основные свойства
  • Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

Источник

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.
Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:

  • Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны
Виды четырехугольников. Параллелограмм - это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны
  • Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Виды четырехугольников. Ромб - это параллелограмм, у которго все стороны равны.
  • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Виды четырехугольников. Прямоугольник - это параллелограмм у которого все углы прямые.
  • Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Виды четырехугольников. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.
  • Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.Виды четырехугольников. Трапеция.
Виды четырехугольников. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны

Свойства произвольных четырехугольников:

  • Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360o
    • Свойства произвольных четырехугольников. Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360
  • Если соединить отрезками середины соседних сторон — получится параллелограмм:
    • Свойства произвольных четырехугольников. Если соединить отрезками середины соседних сторон - получится параллелограмм:
Свойства произвольных четырехугольников.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны попарно равны:
    • Свойства параллелограмма
  • Противолежащие углы попарно равны:
    • Свойства параллелограмма
  • Сумма углов прилежащих к любой стороне равна 180о:
    • Свойства параллелограмма
  • Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства параллелограмма
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
    • Свойства параллелограмма
  • Каждая диагональ делить параллелограмм на два равных треугольника:
    • Свойства параллелограмма
  • Обе диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника:
    • Свойства параллелограмма
Свойства параллелограмма

Свойства ромба:

  • Диагонали ромба перпендикулярны, и делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства ромба
  • Диагонали ромба являются биссектрисами внутренних углов:
    • Свойства ромба
  • Если соединить отрезками середины соседних сторон любого ромба, получается прямоугольник:
    • Свойства ромба
Свойства ромба

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны, и делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства Четырехугольников. Свойства прямоугольника.
  • Если соединить отрезками середины соседних сторон любого прямоугольника, то получится ромб:
    • Свойства Четырехугольников. Свойства прямоугольника.
Свойства Четырехугольников. Свойства прямоугольника.

Свойства квадрата:

  • Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, и точкой делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства квадрата
Свойства квадрата

Свойства трапеции:

  • Средняя («серединная») линия трапеции параллельна основаниям, равна их полусумме, и делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам:
    • Свойства трапеции.
  • Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180о:
    • Свойства трапеции.
  • Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции — равновелики:
    • Свойства трапеции.
  • Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции — подобны:
    • Свойства трапеции.
  • Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции делится этой точкой в отношении:
    • Свойства трапеции.
Свойства трапеции.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Источник