Какое свойство умножения выражает равенство

Математика, 2 класс

Урок № 52. Переместительное свойство умножения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Что такое переместительное свойство умножения?
2. Когда используется переместительное свойство умножения?

Глоссарий по теме:

Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. Знак умножения — *, х.

Компоненты умножения: первый множитель, второй множитель.

Результат умножения – произведение.

Переместительное свойство умножения – от перестановки мест множителей произведение не изменяется. В общем виде переместительное свойство умножения записывают так: a • b = b • a.

Обязательная литература и дополнительная литература:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.56
2. Математика. 2 класс: Тесты по математике в 2 ч. Ч.2/ В.Н. Рудницкая. – М. Экзамен, 2016. – с. 20-24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрите выражения. Выполните вычисления устно, используя таблицу умножения.

3 • 2

6 • 4

3 • 5

Проверьте, 3 • 2= 6, 6 • 4 = 24, 3 • 5 = 15

А теперь в каждом произведении поменяйте множители местами и найдите значение получившихся произведений, заменив их суммой одинаковых слагаемых.

2 • 3 = 2 + 2 + 2 = 6

4 • 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24

5 • 3 = 5 + 5 + 5 = 15

Сравните равенства.

Множители поменяли местами. Произведения не изменились, они равны в каждой паре равенств.

Это переместительное свойство умножения. Если множители поменять местами, произведение не изменится. Оно записывается так: a + b = b + a.

Составим равенства по рисунку и найдем их значение.

6 • 3 = 18. Так как в каждом ряду 6 яблок одного цвета и таких рядов 3.

3 • 6 = 18. Так как 3 столбца яблок разного цвета и таких столбцов 6.

Получили равные произведения, хотя множители поменяли местами.

Составим равенства к следующему рисунку и найдем значение выражений.

5 • 2 = 10. Так как 2 ряда по 5 треугольников.

2 • 5 = 10. Так как 5 столбцов по 2 треугольника в каждом. Множители поменяли местами. Сравним произведения. Они одинаковые.

Составим равенства к этому рисунку.

На рисунке 2 ряда вазочек, по 3 вазочки в каждом. Получаем равенство.

3 • 2 = 6.

А можем рассуждать по-другому. 3 столбца вазочек, по 2 вазочки в столбце. Составляем равенство. 2 • 3 = 6. Множители поменяли местами. Произведения не изменились.

Решим задачу. В школьном саду 3 ряда кустов малины, по 6 кустов в каждом ряду. Сколько всего кустов малины в школьном саду?

Для решения выбираем действие умножение, так как неизвестно общее число кустов.

Решение задачи:

6 • 3 = 18 (к.)

Ответ: 18 кустов.

Сравним с решением другой задачи.

В школьной столовой 6 рядов столов, по 3 стола в каждом ряду. Сколько всего столов в школьной столовой?

Решение задачи:

3 • 6 = 18 (с.)

Ответ: 18 столов.

Для решения задач выбрали действие умножение. Множители поменяли местами. Произведения одинаковые.

Но в первой задаче большее число умножали на меньшее. А во второй задаче, наоборот, меньшее на большее. В математике удобнее большее число умножать на меньшее. Для этого используют переместительное свойство умножения.

Переместительное свойство умножения – полезное правило, не сложное для запоминания. Свойство позволяет выбирать более удобный способ умножения чисел.

Вывод:

Ответим на вопрос, поставленный в начале урока.

От перестановки множителей произведение не меняется. Это переместительное свойство умножения. В общем виде оно записывается так:

a • b = b • a.

Переместительное свойство умножения используется для удобства вычислений.

Выполним несколько тренировочных заданий.

1. Используя переместительное свойство умножения, найдите значение второго выражения в каждой паре, зная значение первого.

В каждой паре значения выражений будут одинаковыми, так как множители поменяли местами.

2. Подчеркните неверные равенства:

Неверными будут три равенства:

6 • 5 = 4 • 6;

7 • 2 = 2 + 7;

5 • 3 = 5 + 5.

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.

Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3. Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3) * 4.

Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4). 

Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4. Имеем: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

В буквенном виде это свойство записывают так:

(ab)c = a(bc)

Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений.

Например, верны равенства:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3) * (2 * 5).

На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.

Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см  двумя способами.

С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2. Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2).

Равенсто 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения.

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так:

a(b + c) = ab + ac

Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что

ab + ac = a(b + c).

Это равенство позволяет формулу P = 2a + 2b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:

P = 2(a + b).

Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то

a(b − c) = ab − ac

Пример 1. Вычислите удобным способом:

1) 25 * 867 * 4;

2) 329 * 75 + 329 * 246.

Решение.

1) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:

25 * 867 * 4 = 867 * (25  * 4) = 867 * 100 = 86 700.

2) Имеем:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246) = 329 * 1 000 = 329 000.

Пример 2. Упростите выражение:

1) 4a * 3b;

2) 18m − 13m.

Решение.

1) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:

4a * 3b = (4 * 3) * ab = 12ab.

2) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:

 18m − 13m = m(18 − 13) = m * 5 = 5m.

Пример 3. Запишите выражение 5(2m + 7) так, чтобы оно не содержало скобок.

Решение.

Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:

5(2m + 7) = 5 * 2m + 5 * 7 = 10m + 35.

Такое преобразование называют раскрытием скобок.

Пример 4. Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283.

Решение. Имеем:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8) * (3 * 283) = 1 000 * 849 = 849 000.

Пример 5. Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6.

Решение. Имеем:

3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.

При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:

3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.