Какое свойство у диагоналей параллелепипеда
Одной из самых распространённых фигур в геометрии является прямоугольный параллелепипед. Формула его диагонали позволяет найти различные параметры объекта из-за своих замечательных свойств. Знать, что она представляет, необходимо не только для решения задач, связанных с многогранником, но и для успешного изучения стереометрии. Поэтому важно не только запомнить теоремы и формулы, дающиеся учителем в шестом классе средней школы, но и уметь применять знания.
Общие сведения
В математике существует раздел, который называют стереометрией. Это наука, изучающая свойства фигур в пространстве. Геометрические объёмные тела состоят из точек, прямых и плоскостей. В зависимости от их взаимного расположения формируется та или иная фигура. Основным телом в стереометрии является многогранник — поверхность, состоящая из определённого числа многоугольников.
По сути, параллелепипед — это фигура, состоящая из шести прямоугольников. Его часто называют шестигранником. Образовывается он путём пересечения трёх пар плоскостей параллельных друг другу. Стороны, формирующие параллелепипед, называют гранями, а точки ограничивающие отрезки — вершинами. Таким образом, многогранник имеет шесть сторон и восемь вершин.
Прямоугольный объект отличается тем, что все углы в нём равняются девяносто градусов, а в основании лежит прямоугольник. Одной вершине прямоугольного многогранника сразу принадлежит три ребра. В литературе их часто называют измерениями. Правильным многогранником называют тот, у которого длины двух граней-измерений равны.
Фигура отличается следующим:
- стороны, располагающиеся напротив друг друга, не только равны, но и параллельны;
- линии, соединяющие по диагонали вершины пересекаются в одной точке делящую их пополам;
- квадрат диагонали можно найти как сумму трёх измерений — высоты, длины и ширины;
- если основания представляют собой квадрат, то фигуру называю кубом.
Кроме этого, объём прямоугольного объекта можно найти, перемножив три размерности фигуры. Если стороны основания обозначить как a и b, а высоту c, то формула для вычисления будет выглядеть как V = a * b * c. В частном случае объём для куба вычисляют по упрощённой формуле: V = a3. Отсюда следует, что площадь боковой поверхности равняется: S = 2ab + 2bc + 2ac.
В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Его объём будет составлять третью часть от размера основного геометрического тела. Из типовых предметов с формой параллелепипеда в качестве примера можно привести спичечный коробок, кирпич, упаковочную почтовую коробку.
Диагонали параллелепипеда
Пусть имеются две параллельные поверхности АВС и А1B1C1. Плоскость АА1В1 пересекается с ними соответственно по линиям АВ и А1В1. Учитывая свойства параллельных площадей, можно утверждать, что прямые АВ и А1B1 будут параллельными. А так как и отрезки АА1 и ВВ1 параллельны по условию, то АВВ1А1 параллелограмм. Значит, все грани параллелепипеда — параллелограммы.
Если взять параллелепипед построенный на двух параллелограммах ABCD и А1B1C1D1 расположенных в параллельных плоскостях и соединить их вершины A1C, D1B, можно заметить, что отрезки являются диагоналями как четырёхугольника A1D1CB, так и параллелепипеда.
В четырёхугольной фигуре замкнутые линии A1D1 и BC параллельны и равны, отсюда следует — A1D1CB параллелограмм (по признаку параллелограмма). Значит, так как в четырёхугольной фигуре на плоскости диагонали пересекаются в одной точке, при этом делятся ею пополам, то и все диагонали параллелепипеда А1С1, С1А и D1В, DB1 будут пересекаться в этой точке.
Доказательство можно построить и следующим образом. Для любой пары противолежащих граней фигуры справедливо, что их соответствующие углы будут одинаковы, а значит A1ADD1 = B1BCC1 и их плоскости параллельны. Учитывая параллельность отрезков AB — DC и D1C1 — DC, верно будет утверждать, что AB не пересекает D1C1.
Если между AB и D1C1 провести плоскость, то AD и BC будут параллельны друг другу. Отрезки AC1 и BD1, так как являются диагоналями параллелепипеда, должны в ней делиться пополам. Для примера можно рассмотреть диагональ AC1 и A1C. Они будут диагоналями параллелограмма AA1C1C. Поэтому A1C пересекает AC1 в середине. Значит, три диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. По аналогии можно привести доказательство и для четвёртого отрезка B1D.
Таким образом, можно сформулировать три свойства диагоналей в параллелепипеде:
- В прямоугольном многоугольнике они пересекаются в одной точке.
- Диагонали не могут быть параллельными, но при этом равны друг другу.
- Найти диагональ в прямоугольном параллелепипеде можно по формуле: d = √(a² + b² + c²).
Зная эти свойства, можно приступать к решению задач. При этом стоит знать и сколько диагоналей у параллелепипеда — всего их четыре, а не шестнадцать, как думают, некоторые, прибавляя к четырём диагонали прямоугольников, формирующих объёмную фигуру.
Решение задач
В школе ученикам после рассмотрения теоретического материала учитель обычно предлагает для закрепления знаний решить несколько задач. Самостоятельное решение позволяет усвоить тему и научится применять теорию на практике. Существует набор типовых примеров, решив которые, школьник может переходить к следующим темам. Вот некоторые из них, часто попадающиеся в контрольных работах и тестах:
- Найти, у какого прямоугольника объём будет больше, если три измерения первого равны: 1, 2, 2, а диагональ второго составляет семь единиц. Так как большая фигура будет иметь длиннее диагональ, то нужно вычислить её значение у первой фигуры и выполнить сравнение. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, то есть d 2 = √ 12 + 22 + 22 = √9 = 3 единицам. Значит, объём первой фигуры будет меньше чем второй на четыре единицы.
- В прямоугольном параллелепипеде грань AA1 равняется 150 сантиметров, а отрезок AB = 2√9 метров. Найти диагональ фигуры. В первую очередь необходимо выбрать размерность, так как длины даны в сантиметрах и метрах. Для удобства вычислений можно взять метры. Фигура прямоугольная, значит, грани являются прямоугольниками. Отсюда следует, что обе диагонали одинаковые. Поэтому можно составить равенство: A1D = AD1. Вписанный треугольник A1B1D имеет прямые углы, так как ребро A1B1 перпендикулярно стороне AA1D1D. Опираясь на теорему Пифагора, можно сказать, что гипотенуза B1D, являющаяся диагональю, равна: B1D = √A1B12 + A1D2 = √1,52 + (2√9)2 = √2,25 + 6 = 2,87 метра.
- Пусть в прямоугольном многограннике два отрезка у основания равны двум и трём сантиметрам, а высота фигуры составляет шесть сантиметров. Найти диагональ. Для удобства можно принять, что AB = 2, AD = 3, AA1 = 6. В прямоугольнике диагональ основания будет равняться BD. Учитывая теорему Пифагора и то, что угол A равняется девяносто градусов, можно составить равенство: BD2 = AB2 + AD2. В треугольнике BB1D, у которого угол B составляет также девяносто градусов, диагональ будет равна сумме квадратов: B1D2 = BD2+BB12. Выполнив подстановку BD2 из первого равенства во второе, можно получить искомое выражение: B1D2 = AB2 + AD2 + BB12 = 22 + 32 + 62 = 49. Значит, длина диагонали в параллелепипеде равна: B1D = √49 = 7 сантиметрам.
Использование онлайн-калькулятора
Конечно же, на обычном калькуляторе не зная формул и свойств прямоугольного параллелепипеда ответ, даже на простую задачу, найти невозможно. Но решить практически любой сложности задание можно на так называемых онлайн-расчётчиках или используя математический онлайн калькулятор.
По сути, это интернет-сайты, предлагающие пользователям бесплатно воспользоваться услугами по вычислению различных геометрических величин. Для того чтобы их использовать, нужно иметь лишь подключение к интернету и любой гаджет, поддерживающий работу с веб-обозревателем.
Пользователю, загрузившему сайт с онлайн-калькулятором, можно даже не знать формулы и вообще не понимать, что собой представляет геометрическая фигура. Всё что от него требуется, так это внимательно вести в специальную форму условия задачи и нажать кнопку вычислить. Конечно же, такое решение нельзя назвать самостоятельным. Но использование сайтов подходит идеально для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте.
Тем более, кроме непосредственно автоматического вычисления диагонали объёмного многогранника большинство сервисов содержат на своих страницах краткую теорию, а также примеры с подробным решением типовых заданий.
Из существующих сервисов можно выделить:
- Geleot. Калькулятор-справочник. Все математические разделы снабжены интерактивными калькуляторами, которые позволяют быстро и в автоматическом режиме проводить расчёты.
- Allcalc. Кроме, стандартного доступа через веб-страницу, сайт предлагает своим пользователям скачать приложение для Android OS. На проекте присутствуют авторские калькуляторы с таких сайтов как 4×4.lviv, Papaimama, V-stroim и многих других.
- Planetcalc. Особенность сайта в том, что для пользователей доступно написание комментариев под любым калькулятором. Это даёт возможность не только совершенствовать процесс, но и обмениваться опытом.
- Infofaq. На своих страницах содержит довольно подробные теоретические выкладки. На сайте в простой и доступной форме даны общие понятия и выложены основные формулы.
Приведённые онлайн-калькуляторы предлагают универсальные способы решения задач. Они дают возможность разобраться в вычислении примеров и заданий, хорошо закрепить пройденный материал и в дальнейшем без труда справляться не только с домашними, но и контрольными заданиями.
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Что такое параллелепипед
Что за слово такое мудреное – «параллелепипед»? Что за многогранник скрывается за этим словом? Что-то должно быть связано с параллельностью, не правда ли?
Так и есть:
Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.
Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.
Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?
Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.
Основные понятия
Смотри, запоминай и не путай!
Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.
Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.
Свойства параллелепипеда
- Все грани параллелепипеда – параллелограммы.
- Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Внимание: передняя и задняя грани параллелепипеда равны, верхняя и нижняя – тоже равны, но не равны (не обязаны быть равны) передняя и верхняя грани – потому что они не противоположные, а смежные.
- Боковые ребра параллелепипеда равны:
- Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей называется центром параллелепипеда.
Прямой параллелепипед
Прямым называется параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.
Вот так:
У прямого параллелепипеда в основании – параллелограмм, а боковые грани — прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Это такая обувная коробка:
У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.
Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.
.
Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.
Смотри:
— прямоугольный, поэтому
— тоже прямоугольный!
Поэтому
,
Подставим:
Вывели формулу.
Куб
Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты.
Все ребра куба равны.
Кстати, заметь, что куб – частный вид прямоугольного параллелепипеда.
Поэтому для диагонали куба действует формула, которую мы получили для прямоугольного параллелепипеда.
,
То есть
Давай убедимся в пользе этой формулы.
Представь, что у тебя задача: «Диагональ куба равна . Найти полную поверхность».
Пользуясь нашей формулой: , мы узнали, что , то есть .
Значит полная поверхность – шесть площадей квадратов со стороной -равна:
.
Видишь как быстро? И ты применяй!
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. КУБ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Определения:
| Параллелепипед — это четырехугольная призма (многогранник с гранями), все грани которой — параллелограммы. |
| Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые грани — прямоугольники. |
| Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники |
| Куб – параллелепипед, у которого все грани квадраты. |
Высота параллелепипеда – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.
2. Свойства:
- Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения диагоналей (центр параллелепипеда), делится ею пополам.
- Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой и равны сумме квадратов его измерений.
.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Параллелепи́пед др.-греч. παραλληλ-επίπεδον[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, основанием которой служит параллелограмм, или, что равносильно, многогранник, у которого шесть граней, каждая из которых — параллелограмм.
Типы параллелепипеда[править | править код]
Прямоугольный параллелепипед
Различается несколько типов параллелепипедов:
- Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
- Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
- Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
- Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
- Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами.
Основные элементы[править | править код]
Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.
Свойства[править | править код]
- Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
- Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
- Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Основные формулы[править | править код]
Прямой параллелепипед[править | править код]
Площадь боковой поверхности
Sб=Ро*h, где Ро — периметр основания, h — высота
Площадь полной поверхности
Sп=Sб+2Sо, где Sо — площадь основания
Объём
V=Sо*h
Прямоугольный параллелепипед[править | править код]
Площадь боковой поверхности
Sб=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда
Площадь полной поверхности
Sп=2(ab+bc+ac)
Объём
V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Куб[править | править код]
Площадь поверхности:
Объём: , где — ребро куба.
Произвольный параллелепипед[править | править код]
Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[2]:215.
В математическом анализе[править | править код]
В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом понимают множество точек вида
Сечение параллелепипеда плоскостью[править | править код]
В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.
Примечания[править | править код]
Ссылки[править | править код]
- Прямоугольный параллелепипед
Тетраэдр. Виды тетраэдров
Тетраэдр (четырёхгранник) — многогранник, гранями которого являются четыре треугольника (от греческого tetra — четыре и hedra — грань).
Рис. 1
У тетраэдра (4) грани, (4) вершины и (6) рёбер (Рис. 1).
Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные — боковыми гранями тетраэдра.
В зависимости от видов треугольников и их расположения выделяют разные виды тетраэдров.
В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:
— равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники;
— правильная треугольная пирамида — основание — равносторонний треугольник, все боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники (Рис. 3);
— правильный тетраэдр, у которого все четыре грани — равносторонние треугольники (Рис. 2).
Рис. 2 Рис. 3
Свойство правильного тетраэдра:
из определения правильного многогранника следует, что все рёбра тетраэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.
Параллелепипед. Виды параллелепипедов
Параллелепипедом называется многогранник, у которого (6) граней — параллелограммы.
Рис. 4
У параллелепипеда, как отмечено, (6) граней, (8) вершин и (12) рёбер (Рис. 4).
Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер — противоположными.
Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.
Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми рёбрами.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда (Рис. 5).
Рис. 5
В зависимости от видов параллелограммов и их расположения выделяют разные виды параллелепипедов:
параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.
У прямых параллелепипедов боковые грани — прямоугольники (Рис. 5),
у наклонных — параллелограммы (Рис. 4).
Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.
Рис. 6
Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).
У прямоугольного параллелепипеда — три линейных размера: DA, DC, DD1 (Рис. 6).
Свойства параллелепипеда:
— противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
— Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
— Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда
Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Так как у тетраэдра (4) грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7) или
четырёхугольник (Рис. 8).
Рис. 7 Рис. 8
У параллелепипеда (6) граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9), четырёхугольник ( Рис. 10), пятиугольник (Рис. 11) или шестиугольник (Рис. 12).
При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:
1. если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая находится в этой плоскости.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.
3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.
Пример:
Задача
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки (K), (M) и (N).
1. Проводим (MK), так как обе точки находятся в одной плоскости;
2. MK∩CC1=X — непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются;
3. проводим (XN), так как обе точки находятся в одной плоскости;
4. XN∩D1C1=P;
5. проводим (MP), так как обе точки находятся в одной плоскости;
6. через точку (N) в плоскости основания NL∥MP, так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны;
7. соединяем (N) и (L) и получаем сечение (MPNLK).