Какое свойство точек биссектрисы угла

2 июня 2018

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

1. Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
2. И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $Hin l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:

Провели перпендикуляры к сторонам угла

Получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

1. $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
2. $angle M{{H}_{1}}O=angle M{{H}_{2}}O=90{}^circ $ по построению;
3. $angle OM{{H}_{1}}=angle OM{{H}_{2}}=90{}^circ -angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:

Провели луч $OM$ внутри угла

Снова получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:

1. Гипотенуза $OM$ — общая;
2. Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
3. Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.

Следовательно, треугольники $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:

Биссектриса разбила угол $angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

Смотрите также:

1. Высота в треугольнике
2. Основное свойство биссектрисы угла в треугольнике и его применение для решения задач
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
4. Правила вычисления производных
5. Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
6. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

Тема: Окружность

Урок: Свойства биссектрисы угла. Задачи

1. Некоторые важные определения

Треугольник является центральной фигурой всей геометрии, и в шутку говорят, что он неисчерпаем, как атом. Его свойства многочисленны, интересны, занимательны. Мы рассматриваем некоторые из этих свойств.

Любой треугольник – это прежде всего три угла и три отрезка (см. Рис. 1).

Рис. 1

Рассмотрим угол с вершиной А и сторонами В и С – угол .

В любом угле, в том числе и в угле треугольника, можно провести биссектрису – то есть прямую, которая делит угол пополам (см. Рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим свойства точки, лежащей на биссектрисе угла (см. Рис. 3).

Рассмотрим точку М, лежащую на биссектрисе угла.

Напомним, что расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рис. 3

Очевидно, что если мы возьмем точку, которая не лежит на биссектрисе, то расстояния от этой точки до сторон угла будут разные. Расстояние же от точки М до сторон угла одинаковое.

2. Прямая и обратная теорема о свойстве биссектрисы угла

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Задан угол , его биссектриса – AL, точка М лежит на биссектрисе (см. Рис. 4).

Доказать, что .

Рис. 4

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы  и  равны, так как AL – биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла (см. Рис. 5).

Рис. 5

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники  и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т. к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Иногда прямую и обратную теоремы объединяют следующим образом:

Теорема

Точка равноудалена от сторон угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссектрисе этого угла.

Равноудаленность точек биссектрисы от сторон угла широко используется в различных задачах.

3. Решение задачи

Задача № 674 из учебника Атанасяна, геометрия, 7-9 класс:

Из точки М биссектрисы неразвернутого угла  проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла (см. Рис. 6). Докажите, что .

Дано: угол , биссектриса ОМ, перпендикуляры МА и МВ к сторонам угла.

Рис. 6

Доказать, что :

Доказательство:

Согласно прямой теореме, точка М равноудалена от сторон угла, так как по условию она лежит на его биссектрисе. .

Рассмотрим прямоугольные треугольники  и  (см. Рис. 7). Они имеют общую гипотенузу ОМ, катеты МА и МВ равны, как мы доказали ранее. Таким образом, два прямоугольных

Рис. 7

треугольника равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, отсюда равенство углов  и равенство других катетов .

Из равенства катетов ОА и ОВ следует, что треугольник  равнобедренный, причем АВ – его основание. Прямая ОМ является биссектрисой треугольника . Согласно свойству равнобедренного треугольника эта биссектриса одновременно является высотой, значит, прямые ОМ и АВ пересекаются под прямым углом, что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели прямую и обратную теоремы о свойстве точки, лежащей на биссектрисе угла, обобщили их и решили задачу, применив различные геометрические факты, включая данную теорему.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Bymath.net (Источник).
2. Oldskola1.narod.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9, № 676-678, ст. 180.