Какое свойство проиллюстрировано на рисунке
- Виды числовых промежутков
- Открытый и замкнутый луч
- Отрезок
- Интервал и полуинтервал
Числовые промежутки или просто промежутки – это числовые множества, которые можно изобразить на координатной прямой. К числовым промежуткам относятся лучи, отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Виды числовых промежутков
В таблице a и b – это граничные точки, а x – переменная, которая может принимать координату любой точки, принадлежащей числовому промежутку.
Граничная точка – это точка, определяющая границу числового промежутка. Граничная точка может как принадлежать числовому промежутку, так и не принадлежать ему. На чертежах граничные точки, не принадлежащие рассматриваемому числовому промежутку, обозначают незакрашенным кругом, а принадлежащие – закрашенным кругом.
Открытый и замкнутый луч
Открытый луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, которая не входит в данное множество. Открытым луч называется именно из-за граничной точки, которая ему не принадлежит.
Рассмотрим множество точек координатной прямой, имеющих координату, большую 2, а, значит, расположенных правее точки 2:
Такое множество можно задать неравенством x > 2. Открытые лучи обозначаются с помощью круглых скобок – (2; +∞), данная запись читается так: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.
Множество, которому соответствует неравенство x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Замкнутый луч – это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от граничной точки, принадлежащей данному множеству. На чертежах граничные точки, принадлежащие рассматриваемому множеству, обозначаются закрашенным кругом.
Замкнутые числовые лучи задаются нестрогими неравенствами. Например, неравенства x ⩾ 2 и x ⩽ 2 можно изобразить так:
Обозначаются данные замкнутые лучи так: [2; +∞) и (-∞; 2], читается это так: числовой луч от двух до плюс бесконечности и числовой луч от минус бесконечности до двух. Квадратная скобка в обозначении показывает, что точка 2 принадлежит числовому промежутку.
Отрезок
Отрезок – это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными нестрогими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный отрезок, можно задать двойным неравенством -2 ⩽ x ⩽ 3 или обозначить [-2; 3], такая запись читается так: отрезок от минус двух до трёх.
Интервал и полуинтервал
Интервал – это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, не принадлежащими данному множеству. Такие множества задаются двойными строгими неравенствами.
Рассмотрим отрезок координатной прямой с концами в точках -2 и 3:
Множество точек, из которых состоит данный интервал, можно задать двойным неравенством -2 < x < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Полуинтервал – это множество точек прямой, лежащих между двумя граничными точками, одна из которых принадлежит множеству, а другая не принадлежит. Такие множества задаются двойными неравенствами:
Обозначаются данные полуинтервалы так: (-2; 3] и [-2; 3). Читается это так: полуинтервал от минус двух до трёх, включая 3, и полуинтервал от минус двух до трёх, включая минус два.
1. Почему трудно дать однозначное определение понятия «жизнь»? Попробуйте сформулировать собственное определение.
Трудно определить грань, которая отделяет живое от неживого. Жизнь как явление природы – величайшая загадка, которую человечество пытается решить уже много тысячелетий. Жизнь – это активная форма существования материи, в некотором смысле высшая по сравнению с ее физической и химической формами существования, закономерно возникающая при определенных условиях в процессе ее развития; совокупность физических и химических процессов, позволяющих осуществлять обмен веществ и воспроизведение.
2. Дополните недостающие парные слова.
Дискретность и целостность; ассимиляция и диссимиляция; наследственность и изменчивость; рост и развитие; раздражимость и движение.
3. Установите соответствие между группами и их представителями.
Объекты:
1. Клетка
2. Молекула белка
3. Корневище ландыша
4. Дизентерийная амеба
5. Сосулька льда
6. Кристалл NaCl
Группы
А. Живая природа
Б. Неживая природа
4. В чем основные отличия биологической системы от объектов неживой природы?
Биологические системы отличаются от объектов неживой природы наличием свойств:
Единство химического и биологического состава.
Единство структурной организации.
Клеточное строение.
Обмен веществ и энергии – ассимиляция и диссимиляции.
Раздражимость (способность реагировать на внешнее изменение) и движение.
Рост и развитие.
Видоспецифичность. Развиваются в соответствии с наследственной программой. Эволюция (неорганическая эволюция).
Самовоспроизведение.
Наследственность. Изменчивость.
Целесообразность (не только организмы, органы и клетки, но и молекулы).
Дискретность и целостность.
Саморегуляция.
Это основные атрибуты жизни. Все они по отдельности могут встречаться в неживых системах, вместе – только в живых.
5. Проиллюстрируйте на примерах такие свойства живой материи, как дискретность и целостность.
Любая биосистема состоит из взаимосвязанных частей, которые вместе образуют структурно-функциональное единство. Например, организм состоит из систем органов, органы – из тканей, ткани – из клеток, клетки – из органоидов, органоиды – из молекул. Каждая структурная единица играет свою роль, а в целом все это образует единую биологическую систему.
6. Раскройте смысл утверждения: «Одним из важнейших свойств живых существ является способность к саморегуляции».
Любые живые организмы обитают в постоянно меняющихся условиях окружающей среды. Благодаря способности организмов к саморегуляции поддерживается постоянство химического состава и интенсивность физиологических процессов, то есть поддерживается гомеостаз.
7. Чем принципиально отличается обмен веществ у живых организмов от обмена веществ, происходящего в неживой природе?
Все живые организмы являются открытыми системами, то есть постоянно обмениваются с окружающей средой энергией и веществом. Неживые объекты – часто закрытые, замкнутые системы.
8. Рассмотрите рисунок 1 в §1. 2. Сформулируйте основные отличия закрытой и открытой систем.
Открытая система обменивается веществом и энергией с окружающей средой. В закрытой системе обмена веществ и энергии с окружающей средой не происходит.
9. Соедините стрелками соответствующие друг другу элементы левого и правого столбика.
Дискретность и целостность – отдельные взаимодействующие части образуют единое целое.
Открытость – постоянный обмен веществами и энергией с окружающей средой.
Ритмичность – приспособление организмов к периодически меняющимся условиям существования.
Раздражимость и движение – способность организма избирательно реагировать на внешние и внутренние воздействия.
10. Выберите правильный ответ.
Тест 1.
Живыми являются:
1. Кораллы в витрине зоологического музея
2. Вулканы, извергающие лаву
3. Дрожжи, добавленные в опару теста
4. Гейзеры на камчатке.
Тест 2.
Название какого термина написано без орфографической ошибки?
1. Дескретность
2. Асимиляция
3. Филогенез
4. Гомеастаз.
11. Сформулируйте и запишите основные идеи §1. 2.
Жизнь – это активная форма существования материи; совокупность физических и химических процессов, позволяющих осуществлять обмен веществ и воспроизведение.
Живой объект или система обладает следующими свойствами:
Единство химического и биологического состава, структурной организации.
Клеточное строение.
Обмен веществ и энергии.
Раздражимость и движение.
Рост и развитие.
Самовоспроизведение.
Наследственность. Изменчивость.
Целесообразность.
Дискретность и целостность.
Саморегуляция.
Ритмичность.
Эти основные атрибуты жизни по отдельности могут встречаться в неживых системах, вместе – только в живых.
Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.
Понятие плоскости и ее обозначения
Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.
В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.
Прямые и точки, размещенные в пространстве, мы будем обозначать аналогично размещенным на плоскости – с помощью строчных и прописных латинских букв (B, A, d, q и др.) Если в условиях задачи у нас есть две точки, которые расположены на прямой, то можно выбрать такие обозначения, которые будут соответствовать друг другу, например, прямая DB и точки D и B.
Чтобы обозначить плоскость на письме, традиционно используются маленькие греческие буквы, например, α, γ или π.
Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.
Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.
Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга
Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:
Определение 1
В любой плоскости есть точки.
Такой вариант расположения также называется прохождением плоскости через точку. Чтобы обозначить это на письме, используется символ ∈. Так, если нам нужно записать в буквенном виде, что через точку A проходит некая плоскость π, то мы пишем: A∈π.
Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.
Определение 2
Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Зная это правило, можно ввести новое обозначение плоскости. Вместо маленькой греческой буквы мы можем использовать названия точек, лежащих в ней, например, плоскость АВС.
Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:
Определение 3
Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.
Выше мы уже отмечали, что для обозначения плоскости в пространстве будет достаточно трех точек, а четвертая может находиться как в ней, так и вне ее. Если нужно обозначить отсутствие принадлежности точки к заданной плоскости на письме, то используется знак ∉. Запись вида A∉π правильно читается как «точка A не принадлежит плоскости π»
Графически последнюю аксиому можно представить так:
Варианты взаимного расположения прямой и плоскости
Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:
Определение 4
Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.
Чтобы записать принадлежность прямой некой плоскости, используем тот же символ, что и для точки. Если мы напишем «a∈π», то это будет означать, что у нас есть прямая a, которая расположена в плоскости π. Изобразим это на рисунке:
Второй вариант взаимного расположения – это когда прямая пересекает плоскость. В таком случае у них будет всего одна общая точка – точка пересечения. Для записи такого расположения в буквенном виде используем символ ∩. Например, выражение a∩π=M читается как «прямая a пересекает плоскость π в некоторой точке M». Если у нас есть точка пересечения, значит, у нас есть и угол, под которым прямая пересекает плоскость.
Графически этот вариант расположения выглядит так:
Если у нас есть две прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая ее пересекает, то они являются перпендикулярными друг другу. На письме это обозначается символом ⊥. Особенности такой позиции мы рассмотрим в отдельной статье. На рисунке это расположение будет выглядеть следующим образом:
Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.
Определение 5
Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.
Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:
Третий случай взаимного расположения прямой и плоскости – это их параллельность. В таком случае ни одной общей точки у них нет. Для указания таких отношений на письме используется символ ∥. Если у нас есть запись вида a∥π, то ее следует читать так: «прямая a является параллельной плоскости ∥». Подробнее этот случай мы разберем в статье про параллельные плоскости и прямые.
Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.
Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.
Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга
1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.
2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:
Определение 6
Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.
На графике это будет выглядеть так:
В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.
3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.
Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.
Как задать плоскость в пространстве
В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.
1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.
Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:
2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:
3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:
4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.
На рисунке этот способ будет выглядеть так:
Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:
Определение 7
Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.
Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).
Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:
Определение 8
Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.
Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.
Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.
Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.