Какое свойство прямой позволяет обозначать ее называя любые две точки
Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства
В этой главе рассматриваются знакомые вам из курса математики геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, лучи и углы.
Вы узнаете больше о свойствах этих фигур. Некоторые из этих свойств научитесь доказывать. Слова определение, теорема, аксиома станут для вас привычными, понятными и часто употребляемыми.
§ 1. Точки и прямые
Точка — самая простая геометрическая фигура. Это единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Например, каждая из фигур, изображённых на рисунке 11, разбита на части. И даже о фигуре, изображённой на рисунке 12, состоящей из двух точек, можно сказать, что она состоит из двух частей: точки A и точки B.
На рисунке 13 изображены прямая a и две точки A и B. Говорят, что точка A принадлежит прямой a, или точка A лежит на прямой a, или прямая a проходит через точку A и, соответственно, точка B не принадлежит прямой a, или точка B не лежит на прямой a, или прямая a не проходит через точку B.
Прямая — это геометрическая фигура, обладающая определёнными свойствами.
Основное свойство прямой
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Это утверждение называют аксиомой (что такое аксиома, вы узнаете в § 6).
Рис. 14 |
|
Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д., будем иметь в виду, что это разные точки и разные прямые. Случай их совпадения будем оговаривать особо.
Почему это свойство прямой — основное?
Через точки A и B можно провести много различных линий (рис. 14). Прямая же задаётся этими точками однозначно. В этом и состоит суть основного свойства прямой.
Это свойство позволяет обозначать прямую, называя две любые её точки. Так, прямую, проведённую через точки M и N, называют «прямая MN» (или «прямая NM»).
Если хотят разъяснить смысл какого-либо слова (термина), то используют определения. Например:
1)часами называют прибор для измерения времени;
2)геометрия — это раздел математики, изучающий свойства фигур.
Определения есть и в геометрии.
Определение
Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
Рис. 15 |
|
На рисунке 15 изображены прямые a и b, пересекающиеся в точке O.
Часто справедливость (истинность) какого-либо факта приходится устанавливать с помощью логических рассуждений.
Рассмотрим такую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы — математики. Женя живёт по адресу: ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком?
Из условия задачи следует, что Женя живёт на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик.
Приведённые логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя — математик.
В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой.
Теорема 1.1
Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Рис. 16 |
|
Доказательство
Пусть пересекающиеся прямые a и b, помимо общей точки A, имеют ещё одну общую точку B (рис. 16). Тогда через две точки A и B проходят две прямые. А это противоречит основному свойству прямой. Следовательно, наше предположение о существовании второй точки пересечения прямых a и b неверно. 
- Какую фигуру нельзя разбить на части?
- Сформулируйте основное свойство прямой.
- Какое свойство прямой позволяет обозначать её, называя любые две точки прямой?
- Для чего используют определения?
- Какие две прямые называют пересекающимися?
- Как называют утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства?
- Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.
Практические задания
1.Проведите прямую, обозначьте её буквой m. Отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки C, D, E, не лежащие на ней.
2.Отметьте точки M и K и проведите через них прямую. Отметьте на этой прямой точку E. Запишите все возможные обозначения полученной прямой.
3.Проведите прямые a и b так, чтобы они пересекались. Обозначьте точку их пересечения буквой C. Принадлежит ли точка C прямой a? Прямой b?
4.Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образовалось прямых?
5.Отметьте четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
6.Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?
7.Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через каждые две из них на рисунке образовалось: 1) одна прямая; 2) четыре прямых; 3) шесть прямых. Проведите эти прямые.
Упражнения
8.Пользуясь рисунком 17:
1)определите, пересекаются ли прямые a и MK.
2)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a; прямой MK;
3)укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой a; прямой MK;
4)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a, но не принадлежащие прямой MK;
9.Пользуясь рисунком 18, укажите:
1)какие из отмеченных точек принадлежат прямой p, а какие не принадлежат ей;
2)каким прямым принадлежит каждая из точек A, B, C, D и E;
3)какие прямые проходят через каждую из точек C, B и A;
4)в какой точке пересекаются прямые k и p, m и k;
5)в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на рисунке прямых.
Рис. 17 | Рис. 18 |
|
|
10.Точка C принадлежит прямой AB. Являются ли различными прямые AB и AC ? Ответ обоснуйте.
11.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?
12.Как надо расположить шесть точек, чтобы они определяли шесть прямых?
13.Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может образоваться точек пересечения этих прямых с данной?
14.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения может образоваться?
15.Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?
16.Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?
17.На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?
18.Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три из проведённых прямых?
Рис. 19 |
|
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
19.Из фигурок, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ — îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ãåîìåòðèè.
Íàãëÿäíî ïðÿìóþ ëèíèþ ìîæåò ïðîäåìîíñòðèðîâàòü òóãî íàòÿíóòûé øíóð, êðîìêà ñòîëà, êðàé ëèñòà áóìàãè, ìåñòî, ñîåäèíåíèÿ äâóõ ñòåí êîìíàòû, ëó÷ ñâåòà. Ïðè íà÷åðòàíèè ïðÿìûõ ëèíèé íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþò ëèíåéêó.
Ïðÿìîé ëèíèè ïðèñóùè òàêèå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè:
1.Ó ïðÿìîé ëèíèè íåò íè íà÷àëà íè êîíöà, òî åñòü îíà áåñêîíå÷íà. Ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü íà÷åðòèòü òîëüêî åå ÷àñòü.
2.×åðåç äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ ëèíèþ, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
3. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè íå îãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè.
4.Äâå íåñîâïàäàþùèå ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè èëè ïåðåñåêàþòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå, èëè îíè ïàðàëëåëüíû.
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðÿìîé ëèíèè èñïîëüçóþò èëè îäíó ìàëóþ áóêâó ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, èëè äâå áîëüøèå áóêâû, íàïèñàííûå â äâóõ ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ ýòîé ïðÿìîé.
Åñëè íà ïðÿìîé ëèíèè óêàçàòü òî÷êó, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äâà ëó÷à:
Ëó÷îì íàçûâàþò ÷àñòü ïðÿìîé ëèíèè, îãðàíè÷åííóþ ñ îäíîé ñòîðîíû. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ëó÷à ïðèìåíÿþò èëè îäíó ìàëóþ áóêâó ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, èëè äâå áîëüøèå áóêâû, èç êîòîðûõ îäíà îáîçíà÷àåòñÿ â íà÷àëå ëó÷à.
×àñòü ïðÿìîé, îãðàíè÷åííàÿ ñ îáåèõ ñòîðîí, èìåíóþò åå îòðåçêîì. Îòðåçîê, êàê è ïðÿìàÿ ëèíèÿ, îáîçíà÷àåòñÿ èëè îäíîé áóêâîé, èëè äâóìÿ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ýòè áóêâû óêàçûâàþò êîíöû îòðåçêà.
Ëèíèþ, ñôîðìèðîâàííóþ íåñêîëüêèìè îòðåçêàìè, íå ëåæàùèìè íà îäíîé ïðÿìîé, ïðèíÿòî íàçûâàòü ëîìàíîé. Êîãäà êîíöû ëîìàíîé ñîâïàäàþò, òî òàêàÿ ëîìàíàÿ èìåíóåòñÿ çàìêíóòîé.
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
К основным понятиям геометрии относятся точка, прямая и плоскость, они даются без определения, но определения других геометрических фигур даются через эти понятия.
Прямая и плоскость безграничны, поэтому на чертеже изображают часть.
- Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D,…
- Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d,… Или же прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней.
- Отрезок обозначается заглавными латинскими буквами: AB, CD,…
Точка – это самая простая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.
Всякая более сложная геометрическая фигура– это множество точек, обладающих определенным свойством, характерным только для этой фигуры.
Прямую можно представить себе как бесчисленное множество точек, которые расположены на одной линии, не имеющей ни начала, ни конца. На листе бумаги мы видим только часть прямой линии, так как она бесконечна. Прямая изображается так:
Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком (или отрезком прямой). Основное свойство отрезка – это его длина. Длина отрезка – это расстояние между его концами.Измерить отрезок – это значит установить его длину в определенных единицах. Основные единицы измерения длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), метр (м), километр (км).
Отрезок изображается так:
Луч – это направленная полу прямая, которая имеет точку начала и не имеет конца. Луч изображается так:
Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается на два противоположно направленных луча. Такие лучи называются дополнительными.
Плоскость, как и прямая, – это первичное понятие, не имеющее определения. У плоскости, как и у прямой, невозможно увидеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией.
Примером плоскости является поверхность вашего рабочего стола, тетрадный лист, любая гладкая поверхность. Плоскость можно изобразить как заштрихованную геометрическую фигуру:
Взаимное расположение прямой и точки
Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости:
– либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку);
– либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).
Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ «(in)». К примеру, если точка (A) лежит на прямой (a), то это можно записать в виде (Ain a). Если точка (A) не принадлежит прямой (a), то записывают как (Anotin a).
Аксиома – это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.
Основные свойства принадлежности точек и прямых
- Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
- Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости
- Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
- Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Основные свойства измерения отрезков
- Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Основные свойства откладывания отрезков
- На любой полу прямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы.