Какое свойство прямой позволяет обозначать ее

Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства

§ 1. Точки и прямые

Точка — самая простая геометрическая фигура. Это единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Например, каждая из фигур, изображённых на рисунке 11, разбита на части. И даже о фигуре, изображённой на рисунке 12, состоящей из двух точек, можно сказать, что она состоит из двух частей: точки A и точки B.

На рисунке 13 изображены прямая a и две точки A и B. Говорят, что точка A принадлежит прямой a, или точка A лежит на прямой a, или прямая a проходит через точку A и, соответственно, точка B не принадлежит прямой a, или точка B не лежит на прямой a, или прямая a не проходит через точку B.

Прямая — это геометрическая фигура, обладающая определёнными свойствами.

Основное свойство прямой

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Это утверждение называют аксиомой (что такое аксиома, вы узнаете в § 6).

Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д., будем иметь в виду, что это разные точки и разные прямые. Случай их совпадения будем оговаривать особо.

Почему это свойство прямой — основное?

Через точки A и B можно провести много различных линий (рис. 14). Прямая же задаётся этими точками однозначно. В этом и состоит суть основного свойства прямой.

Это свойство позволяет обозначать прямую, называя две любые её точки. Так, прямую, проведённую через точки M и N, называют «прямая MN» (или «прямая NM»).

Если хотят разъяснить смысл какого-либо слова (термина), то используют определения. Например:

1)часами называют прибор для измерения времени;

2)геометрия — это раздел математики, изучающий свойства фигур.

Определения есть и в геометрии.

Определение

Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.

На рисунке 15 изображены прямые a и b, пересекающиеся в точке O.

Часто справедливость (истинность) какого-либо факта приходится устанавливать с помощью логических рассуждений.

Рассмотрим такую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы — математики. Женя живёт по адресу: ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком?

Из условия задачи следует, что Женя живёт на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик.

Приведённые логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя — математик.

В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой.

Теорема 1.1

Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

Доказательство

Пусть пересекающиеся прямые a и b, помимо общей точки A, имеют ещё одну общую точку B (рис. 16). Тогда через две точки A и B проходят две прямые. А это противоречит основному свойству прямой. Следовательно, наше предположение о существовании второй точки пересечения прямых a и b неверно.

1. Какую фигуру нельзя разбить на части?
2. Сформулируйте основное свойство прямой.
3. Какое свойство прямой позволяет обозначать её, называя любые две точки прямой?
4. Для чего используют определения?
5. Какие две прямые называют пересекающимися?
6. Как называют утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства?
7. Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.

Практические задания

1.Проведите прямую, обозначьте её буквой m. Отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки C, D, E, не лежащие на ней.

2.Отметьте точки M и K и проведите через них прямую. Отметьте на этой прямой точку E. Запишите все возможные обозначения полученной прямой.

3.Проведите прямые a и b так, чтобы они пересекались. Обозначьте точку их пересечения буквой C. Принадлежит ли точка C прямой a? Прямой b?

4.Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образовалось прямых?

5.Отметьте четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

6.Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?

7.Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через каждые две из них на рисунке образовалось: 1) одна прямая; 2) четыре прямых; 3) шесть прямых. Проведите эти прямые.

Упражнения

8.Пользуясь рисунком 17:

1)определите, пересекаются ли прямые a и MK.

2)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a; прямой MK;

3)укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой a; прямой MK;

4)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a, но не принадлежащие прямой MK;

9.Пользуясь рисунком 18, укажите:

1)какие из отмеченных точек принадлежат прямой p, а какие не принадлежат ей;

2)каким прямым принадлежит каждая из точек A, B, C, D и E;

3)какие прямые проходят через каждую из точек C, B и A;

4)в какой точке пересекаются прямые k и p, m и k;

5)в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на рисунке прямых.

10.Точка C принадлежит прямой AB. Являются ли различными прямые AB и AC  ? Ответ обоснуйте.

11.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?

12.Как надо расположить шесть точек, чтобы они определяли шесть прямых?

13.Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может образоваться точек пересечения этих прямых с данной?

14.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения может образоваться?

15.Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?

16.Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?

17.На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?

18.Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три из проведённых прямых?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

19.Из фигурок, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.