Какое свойство имеют смежные углы
Êëèêíèòå, ÷òîáû äîáàâèòü â èçáðàííûå ñåðâèñû.
Êëèêíèòå, ÷òîáû óäàëèòü èç èçáðàííûõ ñåðâèñîâ.
Ñìåæíûìè óãëàìè íàçûâàåòñÿ ïàðà óãëîâ ñ îáùåé âåðøèíîé è îäíîé îáùåé ñòîðîíîé. 2 îñòàâøèåñÿ ñòîðîíû äåëàþò ïðîäîëæåíèå äðóã äðóãó, îáðàçîâûâàÿ ïðÿìóþ ëèíèþ.
Êàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ ñìåæíûìè?
Ñìåæíûìè óãëàìè íàçûâàåòñÿ ïàðà óãëîâ ñ îáùåé âåðøèíîé è îäíîé îáùåé ñòîðîíîé. 2 îñòàâøèåñÿ ñòîðîíû äåëàþò ïðîäîëæåíèå äðóã äðóãó, îáðàçîâûâàÿ ïðÿìóþ ëèíèþ. Äëÿ óãëà 135 ãðàäóñîâ ñìåæíûì áóäåò óãîë ðàâíûé 45 ãðàäóñàì. Äëÿ óãëà x ãðàäóñîâ ñìåæíûì ÿâëÿåòñÿ óãîë (180 – x) ãðàäóñîâ. |  |
Äâà ñìåæíûõ óãëà — ýòî óãëû, ñ îäíîé îáùåé ñòîðîíîé, à îñòàëüíûå ñòîðîíû íàõîäÿòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé.
Ïðè ïåðåñå÷åíèè 2-õ ïðÿìûõ ïîëó÷àåòñÿ 4-ðå ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ:
∠1 è ∠2, ∠3 è ∠4, ∠1 è ∠3, ∠2 è ∠4 Íî, òàê êàê ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (êàê âåðòèêàëüíûå), òî äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíó èç ýòèõ ïàð. |  |
Ñâîéñòâî ñìåæíûõ óãëîâ.
×åìó ðàâíà ñóììà ñìåæíûõ óãëîâ?
Ñìåæíûå óãëû ðàâíû: ñóììà ñìåæíûõ óãëîâ 180º.
1. α+ β= 180°
2. α= 180°−β
Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû î ñìåæíûõ óãëàõ.
- Åñëè 2 óãëà ðàâíû, òî ñìåæíûå èì óãëû òîæå ðàâíû.
- Åñëè óãîë íå ðàçâåðíóòûé, çíà÷èò îí ≠180°.
- Ñìåæíûé óãîë äëÿ ïðÿìîãî óãëà (ò.å. óãëà, ó íåãî ãðàäóñíàÿ ìåðà = 90°), òîæå ïðÿìîé.
- Ñìåæíûé óãîë äëÿ îñòðîãî óãëà (ãðàäóñíàÿ ìåðà ìåíüøå 90°), áóäåò òóïûì (ãðàäóñíàÿ ìåðà áîëüøå
90°), à ñìåæíûé òóïîìó — îñòðûì.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ.
- Ñèíóñû ñìåæíûõ óãëîâ îäèíàêîâû. Èõ êîñèíóñû è òàíãåíñû ðàâíû ïî âåëè÷èíå, íî èìåþò
ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè (èñêëþ÷åíèå íåîïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ).
- ×òîáû ïîñòðîèòü óãîë, ñìåæíûé ñóùåñòâóþùåìó, íåîáõîäèìî îäíó èç ñòîðîí íàøåãî óãëà ïðîäëèòü
äàëüøå âåðøèíû.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð:
Çàäàíèå. ×åìó áóäåò ðàâíà ãðàäóñíàÿ ìåðà óãëà α, êîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà ñìåæíîãî åìó óãëà = 70°?
Êàê íàéòè ñìåæíûé óãîë?
Ðåøåíèå. Èç òåîðåìû î ñìåæíûõ óãëàõ íàõîäèì:
Äàëåå
Îòâåò.
Äîïîëíèòåëüíûå ìàòåðèàëû ïî òåìå: Óãëû. Ñìåæíûå óãëû.
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
Геометрия
7 класс
Урок № 6
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие смежных и вертикальных углов
- Свойства смежных и вертикальных углов
- Отличие аксиомы от теоремы
Тезаурус
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
- Сумма смежных углов равна 1800.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
- Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.
Давайте докажем это свойство.
Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
Ответ: ∠ВОК=____0
Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800
∠ВОК+ 110= 1800
∠ВОК= 1800– 110= 1690.
Ответ: ∠ВОК= 1690
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
Варианты ответов:
- 1120
- 640
- 1160
- 680
Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.
Ответ: 1160
№3. Тип задания: выделение цветом.
Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.
∠BМD=____0.
Выделите верный ответ из списка:
600; 300; 750; 900
Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.
∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.
Верный ответ: 600
- Альфашкола
- Онлайн Уроки
- Планиметрия
- Смежные и вертикальные углы.
Тема: Смежные и вертикальные углы 7 класс. В уроке рассмотрены следующие пункты: Определение смежных углов. Свойства смежных углов. Теорема о сумме смежных углов. Чему равна сумма смежных углов. Определение вертикальных углов. Сформулировано свойство вертикальных углов. Теорема о вертикальных углах.
Давай повторим определения, которые ты уже знаешь и которые мы будем использовать на нашем уроке.
Углом называют фигуру, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, – сторон угла.
Угол называется развернутым, если стороны угла являются дополнительными полупрямыми.
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Биссектриссой угла называют луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
Теперь выбери соответствия между картинками и определениями, которые мы только что повторили.
Прежде чем мы начнем основную часть урока, перечислю для тебя определения, с которыми мы познакомимся сегодня:
1. Смежные углы.
2. Теорема о сумме смежных углов.
3. Вертикальные углы.
4. Теорема о вертикальных углах.
Для продолжения урока кликните на кнопку ниже:
Отзывы:
Спасибо огромное, ребенок в восторге!
Преподаватель очень помог разобраться в непонятных ранее темах!
Вводный урок мне очень понравился, с удовольствием буду дальше заниматься