Какое свойство имеет медиана треугольника

Какое свойство имеет медиана треугольника thumbnail

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Связанные определения[править | править код]

Три медианы, проходящие через общую точку

На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 медианы: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 медиан разбивает каждую медиану на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем домедианой или предмедианой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем постмедианой.[1]
С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии. Например, в любом треугольнике отношение пред- и постмедианы равно двум.

Свойства[править | править код]

Основное свойство[править | править код]

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан[править | править код]

  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
  • Теркем доказал теорему Теркема.[2] Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (т. е. 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства[править | править код]

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

  • Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения[править | править код]

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

где  — медианы к сторонам треугольника соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

.

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

где  — медианы к соответствующим сторонам треугольника,  — стороны треугольника.

Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

где  — полусумма длин медиан.

См. также[править | править код]

  • Биссектриса
  • Высота треугольника
  • Инцентр
  • Симедиана
  • Центроид
  • Чевиана

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.
Читайте также:  Какие частицы обладают и волновыми и корпускулярными свойствами

Источник

Медиана треугольника, так же, как и высота служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача просто уметь его считать.

Какое свойство имеет медиана треугольника

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

  • Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
  • Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

  • Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

  • В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Какое свойство имеет медиана треугольника

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5$$

Найдем значение медианы: $$m={cover2}={5over2}=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

  • В треугольнике известны значения сторон : a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Рисунок к задаче

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

$$m^2 ={1over2}*(a^2+c^2-b^2)$$

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt{{1over2}*(a^2+c^2-b^2)}$$

$$m=sqrt{{1over2}*(49+81-64)}=sqrt{33}$$ – оставим результат в виде корня.

  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

$$S={1over2}*6*8=24$$

Площадь каждого из малых треугольников: $${24over6}=4$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 129.

Источник

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Треугольник

Отметь на какой-нибудь его стороне середину  .

Середина произвольной стороны треугольника

И соедини с противоположной вершиной!

Медиана треугольника

Получившаяся линия   и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Свойства медианы.

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник   – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Медиана равна половине гипотенузыТогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник  .

Медиана. Свойство 1. Доказательство 1

Ты заметил, что наш треугольник   – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ  :

Медиана. Свойство 1. Доказательство 2

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»)
Но одна из диагоналей –   – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы  . Она называлась у нас  .

Читайте также:  Каким свойством обладает подорожник

Медиана. Свойство 1. Доказательство 3

Значит, половина второй диагонали – наша медиана  . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим  

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:
В   стороны  ;  . Из вершины   проведена медиана  . Найти  , если  .

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. ЗадачаСразу вспоминаем, это если  , то  !

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача 
 
 
Вот и ответ!

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медиана. Свойство 2Медианы  ,   и   пересекаются в одной точке.

И….( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

  •   – вдвое больше, чем  ;
  •   – вдвое больше, чем  ;
  •   – вдвое больше, чем  .

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача: В треугольнике   проведены медианы   и  , которые пересекаются в точке  . Найти  , если  

Медиана. Задача Решение
  — треугольник прямоугольный! Значит,  .
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём   по теореме Пифагора:

Значит,  .

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим  . Отрезок  , а  . Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что  .

Значит,  ;  .

В задаче нас спрашивают об отрезке  .

В наших обозначениях  .

Значит,  .

Ответ:  .

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

МЕДИАНА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Медиана треугольникаПосмотри на рисунок. Линия   – медиана.

Итак,

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

медиана делит площадь пополам 

И применим эту формулу аж два раза!

Две медианы.

Посмотри, медиана   разделила   на два треугольника:   и  . Но! Высота-то у них одна и та же –  ! Только в   эта высота   опускается на сторону  , а в   – на продолжение стороны  . Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу  .

1) B  :

» » – это  
» » – это  
 

2) B  :

» » – это  
» » – это опять  
 

Запишем ещё раз:

 ;  

Но  ! (Посмотри на рисунок или вспомни, что   – медиана).

Значит,   — площадь   разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно — всего-то одна формула площади.

3. Три медианы треугольника

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

Три медианы треугольника

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении  , считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Какое свойство имеет медиана треугольникаСначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой  .

Соединим точки   и  . Что получилось?

Какое свойство имеет медиана треугольникаКонечно,   — средняя линяя  . Ты помнишь, что это значит?

  1.   — параллельна  ;
  2.  .

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину   – поставим точку  , отметим середину   — поставим точку  .

Читайте также:  Какие свойства имеет груша

Теперь   – средняя линия  . То есть

  1.   параллельна  ;
  2.  .

Заметил совпадения? И   , и   – параллельны  . И  , и  .

Что из этого следует?

  1.   параллельна  ;
  2.  
Какое свойство имеет медиана треугольникаПосмотри теперь на четырехугольник  . У какого четырехугольника противоположные стороны (  и  ) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит,   – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Какое свойство имеет медиана треугольника

Получилось, что

  1.   (мы так выбирали точку  )
  2.   (из-за того, что   – параллелограмм)

То есть   — медиана   разделена точками   и   на три равные части. И точно так же  .

Значит, точкой   обе медианы разделились именно в отношении  , то есть   и  .

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану   и проведем медианы   и  .

Какое свойство имеет медиана треугольника

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан   и  . Что тогда?

Получится, что медиана   разделит медиану   абсолютно точно так же: в отношении  , считая от точки  .

Но сколько же может быть точек на отрезке  , которые делят его в отношении  , считая от точки  ?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка  .

Что же получилось в итоге?

Медиана   точно прошла через  ! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении  , считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство – смотри следующий уровень).

Какое свойство имеет медиана треугольникаИтак,  

5. Медиана в прямоугольном треугольнике.

Теорема:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

свойство медианы прямоугольного треугольника

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник  .

Какое свойство имеет медиана треугольника

Ты заметил, что наш треугольник   – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ  

Какое свойство имеет медиана треугольника

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, …»)
Но одна из диагоналей –   – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы  . Она называлась у нас  .

Какое свойство имеет медиана треугольника

Значит, половина второй диагонали – наша медиана  . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим  

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В   стороны  ;  . Из вершины   проведена медиана  . Найти  , если  .

Рисуем:

Медиана. Свойство 1. ЗадачаСразу вспоминаем, это если  , то  !

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Медиана. Прямоугольный треугольник. Задача 
 
 
Вот и ответ!

МЕДИАНА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Медиана делит сторону пополам.

Какое свойство имеет медиана треугольникаМедиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

Какое свойство имеет медиана треугольника

Но  , значит,

3. Три медианы треугольника

Какое свойство имеет медиана треугольникаТри медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

4. Формула длины медианы

Какое свойство имеет медиана треугольника 

5. Медиана в прямоугольном треугольнике

Какое свойство имеет медиана треугольникаВ прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 

А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

Источник