Какое свойство есть у углов прямоугольника
Определение.
Прямоугольник — это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.
Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую — шириной прямоугольника.
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.
Основные свойства прямоугольника
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
AC = BD
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
| AO = BO = CO = DO = | d | ||
| 2 |
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника — квадрат).
Стороны прямоугольника
Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.
Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d2 — b2
b = √d2 — a2
2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:
4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:
a = d sinα
b = d cosα
5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:
Диагональ прямоугольника
Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.
Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a2 + b2
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
| d = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| a | b |
3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
| d = | √P2 — 4Pa + 8a2 | = | √P2 — 4Pb + 8b2 |
| 2 | 2 |
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S : sin β
Периметр прямоугольника
Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
| P = | 2S + 2a2 | = | 2S + 2b2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d2 — a2) = 2(b + √d2 — b2)
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R2 — a2) = 2(b + √4R2 — b2)
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √Do2 — a2) = 2(b + √Do2 — b2)
Площадь прямоугольника
Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.
Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
| S = | Pa — 2a2 | = | Pb — 2b2 |
| 2 | 2 |
3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:
S = a√d2 — a2 = b√d2 — b2
4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a√4R2 — a2 = b√4R2 — b2
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a√Do2 — a2 = b√Do2 — b2
Окружность описанная вокруг прямоугольника
Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
| R = | √P2 — 4Pa + 8a2 | = | √P2 — 4Pb + 8b2 |
| 4 | 4 |
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:
| R = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| 2a | 2b |
4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
Угол между стороной и диагональю прямоугольника
Формулы определения угла между стороной и диагональю
1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
Угол между диагоналями прямоугольника
Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника
1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
β = 2α
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник (понятие, определение)
Свойства прямоугольника
Признаки прямоугольника
Формулы прямоугольника
Прямоугольник (понятие, определение):
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.
Рис. 1. Прямоугольник
В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.
Свойства прямоугольника:
1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.
Рис. 2. Прямоугольник
AB || CD, BC || AD
2. Противоположные стороны прямоугольника равны.
Рис. 3. Прямоугольник
AB = CD, BC = AD
3. Стороны прямоугольника являются его высотами.
4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.
Рис. 4. Прямоугольник
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.
Рис. 5. Прямоугольник
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°,
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника равны.
Рис. 6. Прямоугольник
AC = BD
7. Каждая диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.
Рис. 7. Прямоугольник
△ABD = △BCD, △ABC = △ACD
8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).
Рис. 8. Прямоугольник
AC2 = AD2+ CD2
9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
Рис. 9. Прямоугольник
AO = BO = CO = DO = АС / 2 = BD / 2
10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
Рис. 10. Прямоугольник
АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника
11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.
12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.
Рис. 11. Квадрат
AВ = ВC = AD = CD
Признаки прямоугольника:
– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;
– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;
– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
Формулы прямоугольника:
Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.
Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):
,
,
,
.
Формула диагонали прямоугольника:
,
d = 2R.
Формулы периметра прямоугольника:
P = 2a + 2b,
P = 2(a + b).
Формулы площади прямоугольника:
S = a · b.
Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:
.
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
1 446
Ïðÿìîóãîëüíèê — ïàðàëëåëîãðàìì ñ ïðÿìûìè óãëàìè, ðàâíûìè 90 ãðàäóñàì è äâóìÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè ðàâíûìè ñòîðîíàìè.
 åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè äëÿ òîãî, ÷òîáû ÷åòûðåõóãîëüíèê îêàçàëñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì, íóæíî, ÷òîáû õîòÿ áû 3 óãëà áûëè ïðÿìûìè. ×åòâåðòûé óãîë òàêæå áóäåò ðàâåí 90°, èñõîäÿ èç òåîðåìû î ñóììå óãëîâ ìíîãîóãîëüíèêîâ.  íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, åñëè ñóììà óãëîâ ÷åòûð¸õóãîëüíèêà áîëüøå èëè ìåíüøå 360 ãðàäóñîâ, òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê íå ìîæåò áûòü ïðÿìîóãîëüíèêîì.
Ðàçíèöà â ïðÿìîóãîëüíèêàõ ëèøü â îòíîøåíèè äëèííîé ñòîðîíû ê êîðîòêîé, â òî âðåìÿ êàê êàæäûé èç ÷åòûðåõ óãëîâ ïðÿìîé (ðàâåí 90°).
Ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíèêà.
Êðîìå ïàðàëëåëîãðàììà ïðÿìîóãîëüíèêîì ìîãóò áûòü åùå êâàäðàò è ðîìá.
— Ïðÿìîóãîëüíèê — ýòî ïàðàëëåëîãðàìì. Ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó.
— Ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà – ýòî åãî æå âûñîòû.
— Êâàäðàò äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà = ñóììå êâàäðàòîâ 2-õ ñìåæíûõ ñòîðîí (èç òåîðåìû Ïèôàãîðà).
— Âîêðóã âñÿêîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ëåãêî îïèñàòü îêðóæíîñòü, ïðè ýòîì äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà áóäåò ðàâíîé ñ äèàìåòðîì îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ îïèñàíà (òîãäà ðàäèóñ îêðóæíîñòè áóäåò ðàâåí ïîëóäèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà).
— Ó ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà îäèíàêîâàÿ äëèíà, ò.å. ñòîðîíû ðàâíû:
AB = CD, BC = AD
— Ïðîòèâîëåæàùèå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó:
AB||CD, BC||AD
— Ïðèëåãàþùèå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíû:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
— Êàæäûé èõ ÷åòûðåõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíèêà ïðÿìîé:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
— Ñóììà óãëîâ ïðÿìîóãîëüíèêà ñîñòàâëÿåò 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
— Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà èìåþò îäèíàêîâûå äëèíû:
AC = BD
— Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ ñòîðîí:
2d2 = 2a2 + 2b2
— Âñå äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà äåëÿò ïðÿìîóãîëüíèê íà 2 îäèíàêîâûå ôèãóðû (åñëè êîíêðåòíåå, íà ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè).
— Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ, äåëÿ äðóã äðóãà íà 2 ðàâíûå ÷àñòè:
AO = BO = CO = DO = d/2
— Òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé íàçûâàþò öåíòðîì ïðÿìîóãîëüíèêà, êðîìå òîãî îíà åñòü öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
— Äèàãîíàëü ïðÿìîóãîëüíèêà åñòü äèàìåòð îêðóæíîñòè îïèñàííîé.
— Îêîëî ïðÿìîóãîëüíèêà ëåãêî îïèñàòü îêðóæíîñòü, ò.ê. ñóììà ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ ðàâíà 180°:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
—  ïðÿìîóãîëüíèê ñ íåðàâíîé äëèíîé è øèðèíîé, íèêàê íå âïèñàòü îêðóæíîñòü, ò.ê. ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí íå ðàâíà ìåæäó ñîáîé (âïèñàòü îêðóæíîñòü ïîëó÷èòñÿ ëèøü â ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðÿìîóãîëüíèêà — êâàäðàò).
Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, îíëàéí ðàñ÷åò | |
| Ðàñ÷åò ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà ïî øèðèíå è âûñîòå, äèàãîíàëÿì è óãëó ìåæäó íèìè, êàê íàéòè ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. | |
| Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, îíëàéí ðàñ÷åò | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû — ïèðàìèäà, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, óãëû, øàð, ïàðàëëåëîãðàìì, ïàðàëëåëåïèïåä, ïðèçìà, ñâîéñòâà, ôîðìóëû ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïàðàëëåëîãðàìì. | |
| Ïàðàëëåëîãðàìì — ýòî ÷åòûðåõóãîëüíèê ñ ïîïàðíî ïàðàëëåëüíûìè ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè (íàõîäÿòñÿ íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ). | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïàðàëëåëîãðàìì. | |
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.
Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.
Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.
Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».
Прямоугольник — это…
Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).
У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.
То есть выглядит это так:
Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.
Судите сами:
У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.
У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.
Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.
Признаки прямоугольника
Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.
В случае с прямоугольником их всего три:
- Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
- Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.
Диагонали прямоугольника
Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.
Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».
В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:
Свойства прямоугольника
К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:
- Прямоугольник является параллелограммом, а значит имеет все присущие ему свойства.
- У прямоугольника равны противоположные стороны.
- У прямоугольника противоположные стороны параллельны.
- У прямоугольников все прилегающие друг к другу стороны пересекаются под прямыми углами. А в сумме они дают 360 градусов.
- У прямоугольников обе диагонали равны между собой.
- Диагональ прямоугольника делит фигуру ровно пополам, и в результате получаются два одинаковых прямоугольных треугольника.
- Диагонали прямоугольника пересекаются в его геометрическом центре. А их точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка. Более того, все четыре отрезка равны между собой.
- У прямоугольника точка пересечения диагоналей является еще и центром описанной вокруг окружности. Причем длина диагонали одновременна является диаметром (что это такое?) этой окружности.
Периметр и площадь
Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.
Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:
Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:
К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.
Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Подборки по теме
- Вопросы и ответы
- Использую для заработка
- Полезные онлайн-сервисы
- Описание полезных программ
Использую для заработка
- ВоркЗилла — удаленная работа для всех
- Анкетка — платят за прохождение тестов
- Etxt — платят за написание текстов
- Кьюкоммент — биржа комментариев
- Поиск лучшего курса обмена
- 60сек — выгодный обмен криптовалют
- Толока — заработок для всех в Яндексе
- Бинанс — надёжная биржа криптовалют
- ВкТаргет — заработок в соцсетях (ВК, ОК, FB и др.)