Какое из свойств вероятности события лишнее

Классическое определение вероятности

Первичными понятиями теории вероятностей являются понятия опыта, события, вероятности, равновозможности (равновероятности).

Определение 1. Опытом (испытанием) будем называть всякое действие, которое может быть осуществлено неограниченное число раз в неизменных условиях (говорят «при всякой реализации определённого комплекса условий S»).

Определение 2. Событием(исходом) будем называть результат опыта (испытания).

Определение 3. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдёт при всякой реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S).

Определение 4. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдёт при любой реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S).

Определение 5. Случайнымназывается событие, которое при реализации данного опыта (при всякой реализации комплекса условий S) может либо произойти, либо не произойти.

События обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С и т. д.

Пример 1. Игральная кость. Монета. Монеты.

Замечание. Каждое из случайных событий обладает некоторой степенью возможности. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности нужно связать с каждым событием число, которое тем больше, чем более возможно событие.

Определение 6. Вероятностью события будем называть численную меру степени объективной возможности этого события.

Определение 7. События А и В будем называть равновозможными (равновероятными), если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Пример 2. Симметричная игральная кость.

Определение 8.События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае события называют совместными.

Определение 9. Совокупность событий Н1, Н2, …, Нn называется полной группой событий, если появление хотя бы одного события из совокупности Н1, Н2, …, Нn в одном испытании является достоверным событием.

Определение 10. Пространством элементарных событий (исходов) (группой случаев) будем называть полную группу попарно несовместных равновозможных случайных событий Н1, Н2, …, Нn. Каждое из событий Н1, Н2, …, Нn будем называть элементарным событием или элементарным исходом.

Пример 3.2 монеты, пространство элементарных событий.

Замечание.Понятие пространства элементарных событий как полной группы попарно несовместных равновозможных случайных событий иногда называют классической схемой. Классическая схема возникла из азартных игр и явилась первоначальным этапом развития теории вероятностей. Возможны и неклассические схемы (например, схема Бернулли). В них под пространством элементарных событий понимают полную группу попарно несовместных событий, исключая равновозможность элементарных исходов.

Замечание. Часто возникают задачи, в которых требуется изучить возможность наступления не элементарного события, а одного из нескольких определённых элементарных событий.

Пример 4. Игральная кость. Выпадения числа очков, больше 3-х.

Определение 11.Если в задачеинтересует появление какого-то из определённых элементарных событий Нi1, Нi2, …, Нim, то будем говорить, что интересует наступление события А, состоящего в выпадении одного из m элементарных исходов Нi1, Нi2, …, Нim. Исходы Нi1, Нi2, …, Нim будем называть исходами,благоприятными появлению события А.

Определение 12 (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа элементарных исходов, благоприятных появлению события А к числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: . (2.1)

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае и .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае и .

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае , значит, , следовательно, .

Вывод. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам .

Определение 12.Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Событие, противоположное событию А, обозначается .

Замечание.Формула (2.1) не является исчерпывающим определением вероятности. В общем случае она пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к классической схеме случаев.

Источник

1. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих невозможному событию А, равно нулю, то по формуле (8.1) получаем:

P(A)=0/n=0

2. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих достоверному событию Л, равно общему количеству п этих элементарных событий, то по формуле (8.1) получаем: P(A)=n/n=1

Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий

Если случайные события А и В являются несовместными событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой сложения.

Теорема 8.1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) (8.5)

Пример8.2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 — анальгина и 5 — амидопирина. Наугад извлекается одна упаковка. Найти вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина.

Решение. Вероятность извлечения упаковки аспирина (вероятность события А) в соответствии с формулой классической вероятности равна: Р(А) = 2/10=0,2

Аналогично вероятность извлечения упаковки анальгина (вероятность события В) равна: Р(В) =3/10=0,3

Поскольку данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот), для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой 8.1 следует сложить найденные вероятности: Р(А или. В) = Р(А)+ Р(В) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Определение. Случайное событие Л, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, противоположным событию А.

Для противоположных событий справедлива следующая теорема.

Теорема 8.2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события А равна единице: P(A)+P(Ā)=1 (8.6)

Например, вероятность выпадения герба при однократном подбрасывании монеты равна 0,5, вероятность выпадения цифры также равна 0,5. Поскольку выпадение цифры представляет собой случайное событие, состоящее в невыпадении герба, то выпадение цифры является событием А, противоположным событию А (выпадение герба). В то же время сумма вероятностей этих событий действительно равна единице.

Определение. Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность осуществления каждого из них не зависит от того, осуществилось ли при этом другое событие.

Например, при одновременном подбрасывании двух монет случайное событие А, состоящее в выпадении герба у одной монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у другой монеты, являются независимыми событиями, поскольку вероятность события А равна 0,5 и не зависит от того, осуществилось ли при этом событие В, и наоборот, вероятность события В также равна 0,5 и не зависит от того, произошло ли при этом событие А.

Если случайные события Л и В являются независимыми событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для независимых событий.

Теорема 8.3. Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А и В) = P(A)*P(B) (8.7)

Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, вероятность выпадения гербов на двух одновременно подбрасываемых монетах. Действительно, поскольку, как уже обсуждалось выше, событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (8.7) получим: Р(А и В) = Р(А)*Р(В) = 0,5*0,5 = 0,25.

Определение. Случайное событие В называется зависимым от случайного события А, если вероятность осуществления события В зависит от того, произошло ли событие А.

Определение. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).

Если случайные события Л и 6 являются зависимыми событиями, причем, например, событие В зависит от события А, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для зависимых событий.

Теорема 8.4. Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В: Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А) (8.8)

Пример 8.3.В корзине находятся 2 белых и 3 красных шара. Из корзины извлекают наугад один шар и, не возвращая его в корзину, извлекают наугад еще один шар. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми.

Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что первый извлеченный шар окажется белым. Вероятность этого события в соответствии с классическим определением вероятности равна: P(A)=2/5=0,4

поскольку всего в корзине 5 шаров, 2 из которых белые.

Случайное событие В, состоящее в том, что второй извлеченный шар окажется белым, является зависимым от события А, поскольку в случае наступления события А в корзине останется только один белый шар из четырех и вероятность события В будет равна P(В/A) = 0,25, а в случае ненаступления — два белых шара из четырех и вероятность события В окажется равной Р(В/Ā) = 0,5.

Вследствие этого для определения вероятности того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, следует воспользоваться теоремой умножения вероятностей зависимых событий, в результате чего найдем искомую вероятность:

Р(А и В)=Р(А) * P(B/A) = 0,4*0,25 = 0,1.

Случайные величины

Определение. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до эксперимента невозможно предсказать, какое именно.

Случайными величинами являются, например, количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д.

Случайными величинами являются также температура больного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента и т. д.

Однако с математической точки зрения между такими случайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X,) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (величина Х2), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X1, можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6, …), тогда как для величины Х2этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка [hmin, hmax], где hmin и hmax — соответственно минимальный и максимальный рост студентов группы. Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита — X, Y, Z и т. д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины X обозначают следующим образом: х1, х2, х3и т. д.

Источник

Теорема (сложение вероятностей несовместных случайных событий). Вероятность суммы двух несовместных случайных событий и равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно ; событию благоприятствуют элементарных событий, событию — элементарных событий. Так как и — несовместные события, то ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию , и событию . Следовательно, событию будет благоприятствовать элементарных событий. По классическому определению вероятности имеем

откуда и следует утверждение теоремы.

Точно так же теорема о сумме вероятностей формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство. По определению противоположных событий имеем , где — достоверное событие: и несовместны. Отсюда

Задача. Докажите, что вероятность невозможного события равна .

Пример. При стрельбе по мишени вероятность выбить 10 очков равна 0,2, а вероятность выбить 9 очков равна 0,5. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

Пусть событие — выбить 9 очков, событие — выбить 10 очков. Тогда — выбить не менее 9 очков. События и несовместны. Поэтому

Теорема. Для произвольных событий и

Доказательство. Пусть событие состоит из элементарных событий, благоприятствующих событию , но не благоприятствующих . Тогда и имеем

Исключая из этих равенств, получаем

Справедливо также обобщение формулы суммы вероятностей на произвольное конечное число событий. Пусть . Тогда

$[P(A)=sum_{i=1}^nP(A_i)-sum_{i<j}P(A_iA_j)+sum_{i<j<k}P(A_iA_jA_k)-ldots+(-1)^{n+1}P(A_1ldots A_n).]$

Упражнение. Докажите эту формулу.

Пример. Четыре поздравительных открытки случайно разложены по четырем конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт.

Решение. Различных расположений открыток по конвертам . Событие — хотя бы одна открытка попала в свой конверт — можно представить в виде

где — -я открытка попала в свой конверт. Находим

$[begin{array}{l} displaystyle P(A_i)={3!over 4!}={1over 4}, P(A_iA_j)={2!over 4!}={1over 12},\[3mm] displaystyle P(A_iA_jA_k)=P(A_1A_2A_3A_4)={1over 4!}={1over 24}. end{array}]$

По формуле суммы вероятностей находим

$[P(A)=4cdot{1over 4}-{sf C}_4^2cdot{1over 12}+{sf C}_4^3cdot{1over 24}-{1over 24}={5over 8}.]$

Задача. Пять человек пришли в гости и оставили свои шляпы в гардеробе. Уходя, каждый из гостей взял шляпу “наудачу”. Чему равна вероятность того, что каждый надел чужую шляпу?

Условные верояности

Часто возникает необходимость определить вероятность события после того, как стало известно, что произошло некоторое событие . Так, если нам нужно определить вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости, а известно, что выпало число очков, меньшее 4; это означает, что наступлению интересующего нас события благоприятствует только один из трех возможных исходов.

Определение. Условной вероятностью события при условии, что наступило событие , называется отношение числа тех благоприятствующих исходов, которые благоприятствуют и , к числу всех исходов, благоприятствующих :

$[P(A/B)=P_B(A)={kover m}.]$

Здесь — число исходов, благоприятствующих событию , — число исходов, благоприятствующих событию из общего числа исходов.

Если — невозможное событие, то будем считать, что вероятность не определена.

Заметим, что

Поэтому

Эта формула служит определением условной вероятности в общем случае.

Пример. Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на 5.

Решение. Пусть событие — выпало две пятерки, событие — сумма выпавших очков делится на 5. Различных комбинаций выпавших очков 36. Ясно, что

Задачи.

1. Из колоды карт (36 карт) вынимают наудачу карту. Чему равна вероятность того, что эта карта окажется тузом?

2. Предположим теперь, что вынутая карта оказалась черной. Чему равна условная вероятность вынуть туза при этом условии?

Определение. Событие называется независимым от события , если имеет место равенство

Пусть события и не являются невозможными. Если независимо от , то и независимо от . Действительно,

$[begin{array}{l} displaystyle P(A/B)=P(A)={P(AB)over P(B)}Longrightarrow P(AB)=P(A)P(B),\[3mm] displaystyle P(B/A)={P(A)P(B)over P(A)}=P(B). end{array}]$

Задача. Нарисуйте два подмножества квадрата, такие, что два события: попадание в каждое из этих множеств при стрельбе по квадрату — будут независимыми.

Теорема (умножения вероятностей). Для произвольных событий

Следствие. Для независимых событий

Теорема. Пусть для событий определены и отличны от нуля вероятности и . Пусть и события попарно несовместны. Тогда

— это формула полной вероятности.

Пример. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом I, 30% — заводом II, 50% — заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованной детали равна 0,05, для завода II — 0,01, для завода III — 0,06. Чему равна вероятность, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?

Решение. Введем события: — выбранная деталь окажется бракованной, — деталь изготовлена соответственно заводом I, II, III.

Известны вероятности:

$[begin{array}{l} P(B_1)=0{,}2,P(B_2)=0{,}3,P(B_3)=0{,}5\ P(A/B_1)=0{,}05,P(A/B_2)=0{,}01,P(A/B_3)=0{,}06. end{array}]$

По формуле полной вероятности находим

Следствие (теорема Байеса). Пусть события попарно несовместны и . Тогда

$[P(B_i/A)={P(B_i)P(A/B_i)over displaystylesum_{j=1}^kP(B_j)P(A/B_j)}.]$

Доказательство. Из теоремы умножения вероятностей

следует формула Байеса

Подставим в эту формулу выражение для по формуле полной вероятности и положим , получим утверждение теоремы Байеса.

Пример. Пусть выполнены условия примера о бракованных деталях. Наудачу выбранная деталь из партии оказалась бракованной. Чему равна вероятность, что она была изготовлена заводом I?

Решение. Нам нужно найти вероятность . По теореме Байеса

$[P(B_1/A)={P(B_1)P(A/B_1)over displaystylesum_{j=1}^3P(B_j)P(A/B_j)}={0{,}2cdot0{,}05over 0{,}043}approx0{,}233.]$

Задачи.

1. По каналу связи передается одна из последовательностей букв , , с вероятностями . Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью и с вероятностью принимается за одну из двух других букв. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано , если принято .

2. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй — 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

3. Упрощенная схема контроля изделий состоит из двух независимых проверок. В результате -й проверки изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью , а бракованное изделие принимается с вероятностью . Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найдите вероятности событий:

а) бракованное изделие будет принято;

б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.

3. Среди 25 экзаменационных билетов 5 “хороших”. Два студента по очереди берут по одному билету. Найдите вероятность того, что:

а) первый студент взял “хороший” билет;

б) второй студент взял “хороший” билет;

в) оба студента взяли “хорошие” билеты.

4. События и независимы. Являются ли независимыми события

а) и ,

б) и ?

5. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна . Вероятность принять здорового человека за больного равна . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна .

а) Найдите условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

б) Вычислите эту вероятность при числовых значениях: , , .

Источник