Какое из свойств может задать соответствие
Тема 1.3. Соответствия и функции
Резюме по теме
Вопросы для повторения
1.Что называется унарным отношением?
2.В чем состоит отличие унарного и бинарного отношений?
3.Перечислите свойства бинарных отношений?
4.Назовите способы задания бинарных отношений?
5.Как выглядит матрица отношения обладающего свойством симметричности?
6.Дайте определение отношению эквивалентности?
7.Что понимают под n-местным отношением?
8.В чем заключается свойство рефлексивности?
9.В чем состоит различие между отношениями строгого и нестрогого порядков?
10.В каком случае отношение называется транзитивным?
11.Есть ли антитранзитивное отношение?
Рассмотрены основные понятия отношений на примере наиболее изученных и чаще употребляемых бинарных отношений. Показаны способы задания бинарных отношений. Приведены свойства бинарных отношений, каждое из которых было охарактеризовано. Рассмотрены отношения эквивалентности и порядка.
Цель: ознакомиться и разобраться с понятиями соответствие и функция.
Задачи:
1. Рассмотреть соответствия и изучить их свойства.
2. Рассмотреть взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств.
3. Дать определения понятиям функция и отображение.
4. Рассмотреть понятие операция и виды операций.
5. Разобраться с понятиями гомоморфизм и изоморфизм.
Соответствие – способ задания взаимосвязей, взаимодействий между элементами множества (наряду с отношениями). Частными случаями соответствий являются функции, отображения, преобразования, операции и др.
Соответствием между множествами А и В (рис. 1.7) называется некоторое подмножество G их декартова произведения: .
Если , то говорят, что соответствует а при соответствии .
Область определения соответствия G – множество пр1G={а:(а,b) ÎG}. Область значений соответствия G — множество пр2G={b:(а,b) ÎG}.
Рис. 1.7. Соответствие G между множествами А и B
В принятых обозначениях, каждый элемент , соответствующий данному элементу называется образом при соответствии , наоборот, элемент называется прообразом элемента при данном соответствии.
Свойства соответствий :
1) Соответствие называется полностью определённым, если , то есть каждый элемент множества имеет хотя бы один образ во множестве ; в противном случае соответствие называется частичным.
2) Соответствие называется сюръективным, если , то есть если каждому элементу множества соответствует хотя бы один прообраз во множестве .
3) Соответствие называется функциональным (однозначным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества .
4) Соответствие называется инъективным, если оно является функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет не более одного прообраза.
5) Соответствие называется взаимнооднозначным (биективным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества , и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимнооднозначным, если оно является полностью определённым, сюръективным, функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет единственный прообраз.
Основные понятия и правила комбинаторики.
На практике часто встречаются задачи, где необходимо подсчитать число всех возможных способов размещения объектов конечного множества или число всех возможных способов выполнения определенного действия из конечного множества таких действий.
Задачи такого типа называют комбинаторными, а методы их решения – методами комбинаторного анализа. Поскольку комбинаторика имеет дело с конечными множествами, то ее называют теорией конечных множеств.
Определение 2.1. Комбинаторика – раздел дискретной математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными свойствами.
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило произведения и правило суммы.
Основное правило комбинаторики (правило произведения):
Пусть необходимо выполнить последовательно действий. Если первое действие можно выполнить способами, второе – способами, а -е – способами, то все действий можно выполнить способами.
Правило суммы:
Если элемент может быть выбран способами, а элемент другими способами, то выбор либо , либо может быть выбран способами.
Будем рассматривать задачи, связанные с нахождением числа способов построения кортежей из элементов конечного множества. Простейшими такими кортежами являются: размещения, перестановки и сочетания. Эти задачи образуют часть комбинаторики, называемую перечислительной комбинаторикой или теорией перечислений.
Размещения (arrangement).
Пусть – конечное множество, состоящее из элементов .
Определение 2.2. Кортежи длины , , состоящие из различных элементов -элементного множества (кортежи отличаются один от другого как самими элементами, так и их порядком), называются размещениями из элементов множества по , .
Схема выбора состоит в выборе элементов из -элементного множества без возвращений. Тогда необходимо совершить действий, причем первое действие можно совершить способами, -е – способами, -е – способами и т.д. Согласно комбинаторному правилу умножения, получим формулу:
.
Если умножить и разделить полученное выражение на , получим:
.
Пример:
Дано множество . Выпишем все размещения из трех элементов по два:
.
Число этих размещений можно найти по формуле:
.
Перестановки (permutation).
Пусть – конечное множество из элементов.
Определение 2.3. Будем строить из этого множества размещения в виде кортежей длины . Эти размещения будут отличаться друг от друга только порядком элементов, поскольку в каждом из них встречаются по одному разу все элементы множества . Такие размещения называют перестановками, . Поскольку , то число перестановок вычисляется по формуле .
Пример:
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая входит в число только один раз.
Составим следующие тройки: – то есть шесть чисел. С помощью введенной формулы можно сразу определить число перестановок, не выписывая их:
.
Сочетания (combination).
Пусть – конечное множество из элементов.
Определение 2.4. Будем строить упорядоченные множества длины , , не учитывая порядок элементов, т. е. размещения с одними и теми же элементами, расположенными в разном порядке, будем считать равными. Такие размещения называются сочетаниями, .
Число сочетаний из элементов по меньше числа размещений из элементов по в раз, т. е.:
.
Пример:
Какие парные сочетания можно составить из цифр 1, 3, 5 и сколько их?
Выпишем эти сочетания: , т. е. или .
Комбинации элементов с повторениями
Все приведенные формулы справедливы в том случае, когда элементов множества различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае рассматриваются комбинации с повторениями,число которых вычисляется по другим формулам.
Размещения с повторениями.
Определение 2.5. Размещениями с повторениями из элементов по называются кортежи длины , составленные из -элементного множества . Число этих кортежей обозначают . Черта указывает на возможность повторения элементов .
Пример:
Сколько пятизначных номеров можно составить из элементов множества ?
Такими номерами являются кортежи длины 5, составленные из девятиэлементного множества, где схема выбора состоит в выборе 5 элементов из девятиэлементного множества с возвращением, т. е. для каждого из пяти элементов есть девять способов выбора: .
Перестановки с повторениями.
Определение 2.6. Перестановкой с повторениями состава из элементов называют любой кортеж длины , в который входит раз, входит раз, – раз. Число таких перестановок:
.
Пример:
Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?
В слове «МАТЕМАТИКА» 2 буквы М, 3 буквы А, 2 буквы Т, 1 буква Е, 1 буква И и 1 буква К. Число слов будет равно:
.
Сочетания с повторениями.
Определение 2.7. Пусть имеются предметы видов и из них составляется набор, содержащий элементов, т. е. различными исходами будут всевозможные наборы длины , отличающиеся составом, и при этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Такие наборы называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой:
.
Пример:
Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта?
Искомое число равно .
Соответствия.
Пусть и – произвольные множества.
Определение 2.8. Соответствием называется произвольное подмножество . В частном случае, когда каждый элемент входит не более, чем в одну пару , получается обычное однозначное отображение из в , или функция. Таким образом, понятие соответствия обобщает понятие функции.
Пример:
Пусть .
Декартово произведение показано на рис.1 в виде прямоугольной таблицы, а элементы представлены заполненными точками.
рис.1. Пример соответствия
Определение 2.9. Образом множества при соответствии называется множество точек , входящих в в паре с некоторым . Для образ одноточечного множества будем также обозначать .
Определение 2.10. Обратным к соответствием называется подмножество , определяемое следующим образом:
.
Пример:
рис.2. Пример обратного соответствия
Образ множества при соответствии называют также прообразом при соответствии . Для обозначения прообразов одноточечных множеств используется то же соглашение, что и для образов . Понятие соответствия оказывается особенно удачным в том смысле, что обратное соответствие всегда существует, и .
В общем случае, рассматриваются множества, элементы которых имеют различную природу. Например: отношение родился в году является подмножеством декартова произведения множества людей и множества лет и ставит в соответствие каждому человеку его год рождения. Для исключения подобных отношений вводятся понятия соответствия, отображения, функции.
Свойства соответствий.
Соответствие называется функциональным, если образ любого элемента , содержит не более одного элемента, то есть график такого соответствия не содержит пар с одинаковыми первыми и разными вторыми элементами.
рис.3. Функциональное соответствие
В противном случае соответствие является нефункциональным, т.е. если образ любого элемента , содержит более одного элемента.
рис.4. Нефункциональное соответствие
В случае, если каждому элементу соответствует более одного элемента из , соответствие называется антифункциональным.
рис.5. Антифункциональное соответствие
Соответствие называется инъективным, если прообраз любого элемента содержит не более одного элемента из , т. е. график такого соответствия не содержит пар с одинаковыми вторыми и разными первыми элементами.
рис.6. Инъективное соответствие
Соответствие называется неинъективным, если прообраз любого элемента содержит более одного элемента из .
рис.7. Неинъективное соответствие
Соответствие называется антиинъективным, если, каждый прообраз любого элемента содержит более одного элемента из .
рис.8. Антиинъективное соответствие
Соответствие называется всюду определенным, если для каждого , его образ не равен пустому множеству, то есть в графике такого соответствия из любой вершины выходит по крайней мере одна стрелка.
рис.9. Всюду определенное соответствие
Соответствие называется сюръектиеным, если для любого его прообраз не равен пустому множеству, то есть в графике такого соответствия в любую вершину входит хотя бы одна стрелка.
рис.10. Сюръективное соответствие
Соответствие называется биективным или взаимооднозначным, если оно функционально, инъективно, всюду определено и сюръективно.
рис.11. Биективное соответствие
Главная | Случайная
Обратная связь
ТОР 5 статей:
Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия
Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века
Ценовые и неценовые факторы
Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка
Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы
КАТЕГОРИИ:
Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.
Что общее имеют эти соответствия?
Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом — это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором — это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем — это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.
Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).
Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:
I. {(в1,),(в3 20)};
II. {(F1,4), (F2,10), (F3,10)};
III.{y1,4), (y2,11), (y3,4)}.
Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары — это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.
Определение.Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, R и др. Если S-соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно определению, S ÌХ ´ Y.
Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно задавать как любое множество,т.е. либоперечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либоуказав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X = {1, 2, 4, 6} и Y = {3, 5} можно задать:
3)при помощи предложения с двумя переменными: а < b при условии, чтоа Î X, bÎ Y;
4)перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х´Y. {(1, 3), (1,5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 68) и графика (рис. 69).
Нередко, изучая соответствие между множествами X и Y, приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Пусть, например, S -соответствие «больше на 2» между множествами X = {4, 5, 8, 10} и Y- {2, 3, 6}. Тогда S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} и его граф будет таким, как на рисунке 70, а.
Соответствие, обратное данному, — это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами Y и X, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (рис. 70,б). Если соответствие «меньше на 2» обозначить
S-1, то S-1 = {(2,4), (3,5), (6,8)}.
а) б)
Рис. 70
Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2у; х > 3у+1 и др.
Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному.
Определение. Пусть S — соответствие между множествами Х иY. Соответствие S-1 между множествами Y и X называется обратным данному, если у S-1х тогда и только тогда, когда хSу.
Соответствия S и S называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков.
Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (рис. 71, а). При построении графика соответствия S-1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = {2, 3, 6}, а вторую — из множества Х= {4, 5, 8, 10}. В результате график соответствия S-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S-1, условились первую компоненту пары соответствия S-1 считать абсциссой, а вторую — ординатой. Например, если (5, 3) Î S, то (3, 5) Î S-1. Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Чтобы построить график соответствия S-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Упражнения
5. Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ — 7 см, СD = 12 см, КL = 15 см, ХY — 12 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.
6.Даны множества: X — {2, 5), Y = {3, 6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?
3. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если:
а) X= {2,4,6,8}, Y = N; б) Х =[2,8], Y=R;
в) Х=Y=R.
4. Между множествами X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} и Y = Zзадано соответствие «х — у = 3», причем х е X, у е Y. Какая фигура на рисунке 72 является графиком этого соответствия?
10. Графиком соответствия Р, заданного между множествами X и Y, являются все точки прямоугольника АВСБ (рис. 73). Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику и задайте множества Х и Y.
11. Множества X = {1, 3, 4, 6} и Y = {0, 1} находятся в соответствии S = {(1, 1), (3, 0), (3, 1), (4, 0), (4, 1) (6, 1)}. Задайте соответствиеS-1, обратное соответствию Y, и постройте на одном чертеже их графики.
12. Между множеством X — углов треугольника AВС и множеством Y — его сторон задано соответствие Т — «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.
13. Даны графики соответствий Р и Q (рис. 74). Можно ли утверждать, что соответствия Р и Q взаимно обратные?
14.Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 75).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действующих чисел, при котором каждому числу их множества X сопоставляется единственное из множества R. (Множество X называют областью определения функции. Множество R – это множество действительных чисел.)
Способы задания функций. 1. при помощи уравнения-формулы 2. при помощи таблицы 3. с помощью графика
Экзаменационный билет №16.Функциональные соответствия. Числовые функции, способы их задания. График функции. Примеры числовых функций из начального курса математики.
Функциональным соответствием между множествами X и Y называют такое соответствие, при котором каждому элементу из множества X сопоставляется не более одного элемента из множества Y.
Примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
Примером функциональных соответствий могут служить соответствия, графы которых изображены на рисунке.
Частным случаем функционального соответствия между множествами X и Y является соответствие, при котором каждому элементу из множества X сопоставляется точно один элемент из множества Y. Такое соответствие называется отображением множества X во множество Y.
Функция — одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей ее области — математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям.
Числовой функцией называют такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.
Множество X называют областью определения функции.
Функции принято обозначать буквами f,g,h и др. Если f— функция, заданная на множестве X, то действительное число y, соответствующее числу x из множества X, часто обозначают f(x) и пишут y=f(x).Переменную x при этом называют аргументом(или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(x) для всех x из множества X называют областью значений функцииf.
Для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.
Часто функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.(y=2x-3, y=x₂, y=3x, где x— действительное число, задают функции, поскольку каждому действительному значению x можно, производя указанные в формуле действия, поставить в соответствие единственное значение y). С помощью одной и той же формулы можно задать как угодно много функций, которые будут отличаться друг от друга областью определения.
Числовые функции можно представлять наглядно на координатной плоскости. Пусть y=f(x) – функция с областью определения X. Тогда ее графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу x и ординату f(x) для всех x из множества X.
Так, графиком функции y=2x-3, заданной на множестве R, является прямая (рис. 9.1), а графиком функции y=x₂, заданной также на множестве R,- парабола (рис. 9.2).
Функции можно задавать с помощью графика. (рис. 9.3 а, б) задают функции, одна из которых имеет в качестве области определения промежуток [-2, 3], а вторая – конечное множество {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.
В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Учитель начальных классов должен обладать определенными знаниями о функции и её свойствах.
2.Основные этапы решения текстовой задачи и приемы их выполнения. Иллюстрация приемов на примере решения задачи из начального курса математики (№553 Н.Б.Истомина, 4 класс,2008 г.)
Решение любой задачи — процесс сложной умственной деятельности. Чтобы овладеть им, надо знать основные этапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения:
1)анализ задачи; (понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условия и требования; назвать известные искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними).
2)поиск и составление плана решения задачи; (установить связь между данными и исходными объектами, наметить последовательность действий).
3)осуществление плана решения задачи; (найти ответ на требования задачи, выполнив все действия в соответствии с планом).
4)проверка решения задачи. (установить правильность или ошибочность выполненного решения)
Задача №553
200 м.
Дл.
Ш.
Решение:
1) 200:4=50 (м.)- ширина
2) 50+200=250 (м.)- длина
3) 250*50=12500 (м₂)
Ответ: площадь дна бассейна 12500 м₂
17. Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики. Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач.
Числовая функция – соответствие между числовым мн-вом Х и мн-вом R, при кот каждому числу из мн-ва Х сопоставляется единств число из мн-ва действит чисел(R). Способы задания ф-ции: формула (по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции), график, таблица.
Прямой пропорциональностью наз.ф -ю,к-я может б. задана при помощи формулы y=kx, где k-не равное нулю действит. число. Название ф-и y=kx связано с тем, что в формуле y=kx есть переменные x и y, к-е могут б. значениями величин. А если отношения 2х величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. y/x=k(k≠0) –это число коэффициент пропорциональности.
ф-я y=kx- матем. модель многих реальных ситуаций. Если в одном пакете муки 2кг, а куплено х таких пакетов, то всю массу купленной муки обозначим через у можно представить у=2х, т.е зависимость явл. прямой с коэф. k=2.
Св-ва:
1) Областью опред. ф-и y=kx и областью ее значения явл. мно-во действит. чисел.
2) Графиковм прямой пропорц. Явл. прямая, проходящая через начало координат. Достаточно найти лишь одну точку, принадл. Ему и не совпадающую с началом координат, а затем провести прямую.
С увеличением(уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увелич(уменьш) во столько же раз. Присуще только прямой пропорц.Им можно польз-ся при решении задач , в к-х рассматрив. Прямо пропорциональн. величины.
Обратной пропорц. Наз. Ф-ю,кот. Может б. задана формулой у=к/х, где к- не равное нулю действит. число . Название связано с тем, что у у=к/х есть переменные х и у, к-е могут. Б. значениями величн. А если произведение 2х величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их наз. Обратно пропорц. Ху=к(k≠0). Число к-коэфф. Пропорц.
Св-ва:
1) Обл. опред. и областью значений х явл. мно-во действит. числе отличных от нуля.
2) Графиком явл. гипербола
3) При к>0 ветви гиперболы расположены в 1 и 3 четв. И ф-я у=к/х явл убывающей на всей области определения х. При к<0 ветви во 2 и 4 четв. И ф-я явл. возрастающей навсей области опред. х.
С увеличением (уменьш) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается(увелич) во столько же раз. Присуще только обр. пропорц. И использ. При решении задач с обратно пропорц. Величинами.
Билет №18. Отношения на множестве, их свойства. Отношения эквивалентности и порядка. Примеры отношений из начального курса математики.
Отношения между элементами одного множества называют отношением на множестве.
Бинарным отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартового произведения Х×Х.
xRy – элемент х находится в отношении R с элементом у.
Отношение на конечном множестве Х можно представить наглядно при помощи графа.
R: “x<y” X={2,4,6,8}
Способы задания отношений: перечисление пар, граф, характеристическое свойство пар.
Свойства отношений:
1) Рефлексивность. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о любом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.
R рефлексивно на ХóxRx, хϵХ
Если отнош рефлексивно, то в каждой вершине его графа есть петля.
2) Симметричность. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х. R симметрично на ХóxRy => yRx.
На графе все стрелки парные.
3) Антисимметричность. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у их множества Х, из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у следует, что элемент у не находится в отношении R с элементом х. R антисимметрично на Хó х≠у, xRy => yRx
На графе нет парных стрелок.
4) Транзитивность. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, и элемент у находится в отношенииR с элементом z следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z.
R транзитивно на ХóxRy и yRz=> xRz.
5) Антирефлексивность. Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если о любом элементе множества Х можно сказать, что он не находится в отношении R с самим собой.
R антирефлексивно на Хó хϵХ, xRx
6) Связанность. Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и у из множества Х, из того, что х≠у следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо у находится в отношении R с элементом х.
R связанно на Хóх≠у, xRy или yRx
На графе две любые вершины соединены стрелкой.
Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Рассмотрим на множестве Х отношение равенства дробей. Построим граф этого отношения. Х={2/4, 2/6, 2/8, 6/12, 6/18, 3/6}
По графу мы видим, что данное отношение явл-ся отношением эквивалентности.
Данное отношение обладает одновременно тремя свойствами: рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью => отношение R является отношением эквивалентности.
Для отношения эквивалентности выполняется следующее утверждение: Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы. Верно и обратное утверждение: Если какое-либо отношение на множестве Х порождает разбиение множества на классы, то это отношение является отношением эквивалентности.
В нашем случае отношение R породило разбиение множества Х на классы равных дробей.
В 1 класс вошли: 2/4, 6/12, 3/6; во 2: 2/6, 6/18; в 3: 6/18
Произошло разбиение множества х на 3 класса равных дробей. Использование приема классификация тесно связано с изучением конкретного материала. Уже на первых уроках детям предлагаются различные предметы по форме, цвету, размеру. Ставится вопрос «Какой предмет лишний?». При этом возможны различные ответы. Или «Разбейте все предметы на несколько групп» (дочисловой период,с.5,с.26).