Какое из действий над матрицами не обладает свойством коммутативности

07.06.2020
0
Главная › Какие свойства › Какое из действий над матрицами не обладает свойством коммутативности
Какое из действий над матрицами не обладает свойством коммутативности thumbnail

Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:

Коммутативность (переместительность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)=(ycirc x) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Дистрибутивность (распределительный закон)
Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций $ oplus $ и $ otimes $ на одном и том же некотором рассматриваемом множестве $ mathbb{P} ,$ при котором выполняется условие левой: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ xotimes (yoplus z) $ $ =(xotimes y)oplus(xotimes z) $; и/или правой: $ (yoplus z) otimes x $ $ =(yotimes x)oplus(zotimes x) $ дистрибутивности.

Примеры

  1. Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.

    Спойлер

    Умножение матриц
    Пусть $ small A in mathbb{M} _{m times p} ,B in mathbb{M} _{p times n}: $ $ small C=Atimes B; C in mathbb{M} _{mtimes n} Rightarrow $ $ small c_{ij}= underset{k=1} {overset{p} {sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $ smallforall A,B in mathbb{M}_{n} Atimes B overset{?}{=} Btimes A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $ small underset{k=1} {overset{m} {sum }}a_{ik}b_{kj}overset {?}{=} underset{k=1}{ overset{m}{sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $ small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.

    [свернуть]

  2. Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
    $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ то в выражении $ a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n}, ,a_{i} in mathbb{P} i=overline{1,n} $ результат не зависит от того, как мы расставим скобки.

    Спойлер

    Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
    База индукции:
    Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $ small forall ,a_{1}, a_{2}, a_{3} in mathbb{P}: $ $ small ( a_{1}circ a_{2})circ a_{3}= a_{2}circ (a_{1}circ a_{3}) .$ База индукции доказана.
    Предположение индукции:
    $ small forall ,n in mathbb{N}: $результат выражения $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} ,$ не зависит от порядка расстановки скобок.
    Шаг индукции:
    Пусть предположение индукции справедливо для $ small forall , n in mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $ small n+1 .$
    Пусть $ small 1leq pleq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} = $ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m})circ $ $ small (a _{m+1} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
    $ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) = a $
    $ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m}) = b $
    $ small (a _{m+1} circ … circ a _{n} circ a _{n+1}) = c $
    По базе индукции имеем $ small (a circ b) circ c = a circ (b circ c ),$ то есть $ small [ (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) ] circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1})=$ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small [ (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) ].$
    В силу свободы выбора $ small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.

    [свернуть]

  3. Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.

    Спойлер

    Пусть $ A in mathbb{M} _{mtimes n}; B,C in mathbb{M} _{ntimes m},$ докажем, что $ Acdot (B+C)=Acdot B+Acdot C.$ Заметим, что $ A=left | a_{ij} right |,$ $ B=left | b_{ji} right |,$ $ C=left | c_{ji} right |,$ $ i=overline{1,m},$ $ j =overline{1,n}$, тогда $ Acdot (B+C)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} right | + left | c_{ji} right |)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} + c_{ji} right |) = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot (b_{ji} + c_{ji})right | = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} + underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right |=$ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} right | + left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right | = $ $ Acdot B+Acdot C.$
    Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

    [свернуть]

Источники:

  • В. В. Воеводин «Линейная алгебра» Издание 2, 1980 года, стр. 9-13
  • А. И. Кострыкин «Введение в алгебру. Основы алгебры», 1994 года, стр. 155-160
  • А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» издание 9, 1968 года, стр. 147-161
  • Белозеров Г.С. Конспект лекций
Читайте также:  Какие свойства дегтя березового

Таблица лучших: Основные свойства бинарных алгебраических операций.

максимум из 30 баллов

МестоИмяЗаписаноБаллыРезультат
Таблица загружается

Навигация по записям

Источник

    Скачать с Depositfiles 

Какое из действий над матрицами не обладает свойством коммутативности

Лекция № 3. Тема 3 : Матрицы

3.1. Основные виды матриц

Определение 1. Матрицей называется совокупность чисел, располо-женных в т строках и п столбцах и обозначается

 

Число, стоящее на пересечении -ой строки и -го столбца, обозначается  и называется элементом матрицы; размерность матрицы.

Существуют следующие виды матриц:

  1. Матрица – строка 

  2. Матрица – столбец 

  3. Нулевая матрица  все ее элементы нули.

  4. Единичная матрица 

  5. Диагональная матрица .

  6. Симметрическая матрица – для ее элементов выполняется равенство  для всех 

Важной характеристикой квадратной матрицы А является её опреде-литель, который обозначается  Если , то матрица А назы-вается невырожденной. В противном случае – вырожденной.

Определение 2. Две матрицы  и  одинаковой размер-ности называются равными, если равны все их соответствующие элементы  для всех

3.2. Действия над матрицами

1. Транспонирование матриц.

Определение 3. Транспонированием матрицы называется замена её строк столбцами с сохранением их номеров.

Транспонированная матрица обозначается А Т.

Пример 1. Найти А Т, если матрица 

Тогда 

2. Сложение матриц.

Определение 4. Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, элементы которой определяются равенствами  и обозначается .

3. Умножение матрицы на число.

Определение 5. Произведением матрицы  на некоторое число  называется матрица , элементы которой равны элементам матрицы А, умноженным на это число , т.е.  и обозначается .

Пример 2. Найти матрицу , если

4. Умножение матриц.

Определение 6. Произведением матрицы  размерности  и матрицы  размерности , называется матрица , размерности , элементы которой удовлетворяют равенству

и обозначается .

Замечание 1. Как видно из определения, произведение двух матриц будет определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример 3. Найти произведение матриц 

Тогда

Замечание 2. Легко убедиться в том, что в общем случае произведение матриц не обладает коммутативным свойством, т.е.  что видно из следующего примера.

Пример 4. Найти произведение матриц 

Тогда имеем

 

3.3. Обратная матрица

Определение 7. Обратной матрицей матрицы А называется матрица , для которой выполняется равенство 

Из этого определения следует, что понятие обратной матрицы является взаимообратным и определено только для квадратных матриц. При этом для существования обратной матрицы необходимо, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. .

Покажем, что обратной матрицей  для случая матрицы А размер-ности  будет матрица

где  алгебраические дополнения элемента .

Тогда

Например,

 и т.д.

Так же можно проверить и равенство 

Замечание 4. Аналогично для матрицы А размерности  обратная матрица  имеет вид

3.4. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

 (1)

Введем следующие матрицы

Тогда, используя правило умножения матриц, систему (1) можно пред-ставить в следующем виде (матричная форма системы уравнений (1))

 (2)

Пусть  тогда для матрицы А существует обратная 

Умножая обе части равенства (2) слева на , получим

 (3)

В силу равенств  и  формула (3) принимает вид

 (4)

Не трудно убедиться в том, что выражение (4), полученное для Х, действительно является решением уравнения (1). Подставляя это выражение в уравнение (2), имеем

Замечание 5. Решение, полученное по формуле (4), то же самое, что было получено по формулам Крамера. Этот факт, вытекающий из единственности решения системы (1), можно непосредственно проверить, если подставить в формулу (4) выражение для обратной матрицы.

Пример 5. Матричным методом решить систему уравнений

Здесь

Тогда

следовательно, обратная матрица существует.

Вычисляем алгебраические дополнения

аналогично далее

Таким образом, получим окончательное решение

.

    Скачать с Depositfiles 

Какое из действий над матрицами не обладает свойством коммутативности

Источник

Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Читайте также:  Какие химические свойства характерны для бора

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm, то матрица называется симметрической.

Пример. — симметрическая матрица

Определение.Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij bij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В А() = А  А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C; .

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Что такое det будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = АТ=;

другими словами, bji = aij.

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)T = CTBTAT,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти АТВ+С.

AT = ; ATB =  = = ;

C = ; АТВ+С = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ =  = .

ВА =  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = = = .

Определители (детерминанты).

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где (1)

М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A = (2)

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n. (3)

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М1к называется дополнительным минором элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det AT;

Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B.

Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Читайте также:  Какие полезные свойства есть у имбиря

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1d2 , e = e1e2 , f = f1f2 , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 718 — 819 = 126 –

– 152 = -26.

Источник

Сами по себе матрицы, как таблицы чисел, не представляли бы никакого интереса, если бы с ними не возможно было производить действия. В этой статье мы познакомимся с основными действиями (операциями) над матрицами: сложением и вычитанием матриц, умножением матрицы на число, умножением матриц, транспонированием матриц.

Содержание

Сложение матриц
Сумма матриц
Пример нахождения суммы матриц
Вычитание матриц
Разность матриц
Пример нахождения разности матриц
Умножение матрицы на число (скаляр)
Произведение матрицы на число
Пример нахождения произведения матрицы на число (скаляр)
Противоположная матрица
Теорема о единственности противоположной матрицы
Свойства операций сложения, вычитания и умножения матриц на число
Умножение матриц
Произведение матриц
Пример нахождения произведения матриц
Перестановочные матрицы
Свойства операции умножения матриц
Транспонирование матриц
Пример транспонирования матрицы
Элементарные преобразования над матрицами
Каноническая форма матрицы

На множестве матриц одного и того же размера можно ввести внутреннюю бинарную операцию сложение матриц, при такой операции двум матрицам A и B одинакового размера displaystyle m times n ставится в соответствие матрица C того же размера, матрицу-результат будем называть суммой матриц и обозначать A+B.

Определение 1. Суммой матриц A^{}_{m times n}=(a^{}_{ij}) и B^{}_{m times n}=(b^{}_{ij}) называется матрица C^{}_{m times n}=(c^{}_{ij}), где каждый элемент c^{}_{ij}=a^{}_{ij}+b_{ij}^{},i=1,ldots,m,j=1,ldots,n, т.е.

left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}\[.5ex]a^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] a^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}end{array}!!right)+ left(!!begin{array}{cccc}b^{}_{1 1}! &b^{}_{1 2}!&ldots!&b^{}_{1 n}\[.5ex]b^{}_{2 1}! &b^{}_{2 2}!&ldots!&b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] b^{}_{m 1}! &b^{}_{m 2}!&ldots!&b^{}_{m n}end{array}!!right)=

=left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}+b^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}+b^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}+b^{}_{1 n} \[.5ex] a^{}_{2 1}+b^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}+b^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n}+b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots \[.35ex] a^{}_{m 1}+b^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}+b^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}+b^{}_{m n}end{array}!!right)

Таким образом, для нахождения суммы матриц надо сложить их соответствующие элементы.

Например,

left(!!begin{array}{ccc}3 &10& 0\[.35ex] -5&2&3end{array}!!right)+left(!!begin{array}{ccc}1 &4& -2\[.35ex] 3&12&-3end{array}!!right)=

=left(!!begin{array}{ccc}3+1 &10+4& 0+(-2)\[.35ex] -5+3&2+12&3+(-3)end{array}!!right)=left(!!begin{array}{ccc}4 &5& -2\[.35ex] 2&14&0end{array}!!right).

Аналогичным образом на множестве матриц одного и того же размера вводится внутренняя бинарная операция вычитание матриц, при такой операции двум матрицам A и B одинакового размера m times n ставится в соответствие матрица C того же размера, матрицу-результат будем называть разностью матриц A и B и для обозначения использовать запись A-B.

Определение 2. Разностью матриц A^{}_{m times n}=(a^{}_{ij}) и B^{}_{m times n}=(b^{}_{ij}) называется матрица C^{}_{m times n}=(c^{}_{ij}), где c^{}_{ij}=a^{}_{ij}-b_{ij}^{},i=1,ldots,m,j=1,ldots,n, т.е.

left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}\[.5ex]a^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] a^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}end{array}!!right)- left(!!begin{array}{cccc}b^{}_{1 1}! &b^{}_{1 2}!&ldots!&b^{}_{1 n}\[.5ex]b^{}_{2 1}! &b^{}_{2 2}!&ldots!&b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] b^{}_{m 1}! &b^{}_{m 2}!&ldots!&b^{}_{m n}end{array}!!right)=

=left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}-b^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}-b^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}-b^{}_{1 n} \[.5ex] a^{}_{2 1}-b^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}-b^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n}-b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots \[.35ex] a^{}_{m 1}-b^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}-b^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}-b^{}_{m n}end{array}!!right)

Таким образом, для нахождения разности двух матриц надо от элементов первой матрицы вычесть соответствующие элементы второй матрицы.

Например,

left(!!begin{array}{ccc}5 &0& -3\[.35ex] -15&2&3end{array}!!right)-left(!!begin{array}{ccc}10 &-4& -2\[.35ex] 3&7&0end{array}!!right)=

=left(!!begin{array}{ccc}5-10 &0-(-4)& -3-(-2)\[.35ex] -15-3&2-7&3-0end{array}!!right)=left(!!begin{array}{ccc}-5&4& -1\[.35ex] -18&-5&3end{array}!!right).

На множестве матриц введем внешнюю бинарную операцию умножение матрицы на число, при такой операции матрице A и числу alpha ставится в соответствие матрица B того же размера, что и матрица A. Матрицу-результат будем называть произведением матрицы A на число alpha и обозначать alpha A.

Определение 3. Произведением матрицы A^{}_{m times n}=(a^{}_{ij}) на число alpha называется матрица B^{}_{m times n}=(b^{}_{ij}), где b^{}_{ij}=alpha a^{}_{ij},i=1,ldots,m,j=1,ldots,n, т.е.

alpha left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}\[.5ex]a^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] a^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}end{array}!!right)=left(!!begin{array}{cccc} alpha a^{}_{1 1}! & alpha a^{}_{1 2}!&ldots!& alpha a^{}_{1 n} \[.5ex] alpha a^{}_{2 1}! & alpha a^{}_{2 2}!&ldots!& alpha a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] alpha a^{}_{m 1}! & alpha a^{}_{m 2}!&ldots!& alpha a^{}_{m n}end{array}!!right).

Таким образом, для нахождения произведения матрицы A на число alpha надо каждый элемент матрицы A умножить на число alpha.

Например,

3left(!!begin{array}{ccc}2 &5& 0\[.35ex] -2&1&5end{array}!!right)=left(!!begin{array}{ccc}3cdot 2 &3cdot 5& 3cdot 0\[.35ex] 3cdot(-2)&3cdot 1&3cdot 5end{array}!!right)=left(!!begin{array}{ccc}6&15& 0\[.35ex] -6&3&15end{array}!!right).

Противоположная матрица

Определение 4. Противоположной матрицей к матрице A, называется матрица, обозначаемая {}-A, такая, что A+({}-A)=O, где O — нулевая матрица того же размера, что и матрица A.

Теорема 1. Каждая матрица A имеет единственную противоположную матрицу, причем {}-A=(-1)A.

Доказательство. Пусть A_{mtimes n}=(a_{ij}) произвольная матрица. Тогда из задания операций сложения матриц и умножения матрицы на число, следует, что для матрицы A существует противоположная матрица ({}-1)Acolon

A+(-A)=(a_{ij})_{mtimes n}+(-1)(a_{ij})_{mtimes n}=(a_{ij})_{mtimes n}+(-a_{ij})_{mtimes n}=

=(a_{ij}+(-a_{ij}))_{mtimes n}=(a_{ij}-a_{ij})_{mtimes n}=(0)_{mtimes n}=O_{mtimes n}.

Докажем единственность противоположной матрицы. Предположим, что матрица A имеет противоположную матрицу B_{mtimes n}=(b_{ij}), отличную от матрицы (-1)A. Тогда

A+B=Oiff(a_{ij})_{mtimes n}+(b_{ij})_{mtimes n}=Oiff(a_{ij}+b_{ij})=Oiff

iff a_{ij}+b_{ij}=0,i=1,ldots,m,j=1,ldots,n,iff

iff b_{ij}=-a_{ij},i=1,ldots,m,j=1,ldots,n.

Мы получили, что каждый элемент b_{ij} матрицы B равен соответствующему элементу матрицы (-1)A, а значит, матрицы B и (-1)A равны. Полученное противоречие (по предположению матрицы B и (-1)A не равны) доказывает то, что у матрицы A не существует противоположной матрицы отличной от (-1)A.boxtimes

Разность матриц A и B можно определить через сумму матрицы A и противоположной матрицы -B:A-B=$ $A+(-B)=$ $A+(-1)B.

Пусть A, B и C произвольные матрицы размера mtimes n, а alpha и beta любые действительные числа, тогда справедливы следующие утверждения.

  1. A+B=B+A;
  2. A+(B+C)=(A+B)+C;
  3. A+O=A;
  4. A-A=O;
  5. 1cdot A=A;
  6. alpha (A+B)=alpha A+alpha B;
  7. (alpha+beta)A=alpha A+beta A;
  8. alpha(beta A)=(alphabeta)A.

На множестве матриц вводится операция (действие) умножение матриц. При умножении матрицы A размера mtimes k и матрицы B размера ktimes n им ставится в соответствие матрица Какое из действий над матрицами не обладает свойством коммутативности

Предыдущая статья
Какие продукты надо есть чтобы стояло
Следующая статья
Какие свойства у веществ с молекулярной кристаллической ...
© Какой продукт?