Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс
Урок геометрии в 7 классе
Учитель –
Петрова Валентина Николаевна
МОУ СОШ № 4
с. Сотниковское
«Вертикальные углы».
Цели урока:
Образовательная – знакомство с новым понятием «вертикальные углы»,
формулировка и доказательство теоремы о
вертикальных углах.
Воспитательная — воспитание у учащихся умения выделить главное при
самостоятельной работе с учебником.
Развивающая – развитие логического мышления у учащихся,
познавательного интереса к предмету, развитие
навыков практической работы.
Оборудование: наглядное пособие, линейка, таблица – схема, мелки,
указка, кнопки, скрепки.
ход урока:
1. Организационный момент.
Тема сегодняшнего урока: «Вертикальные углы».
На уроке, вы познакомитесь с понятием «вертикальные углы» и узнаете, для чего изучается эта тема.
Для того чтобы изучить новый материал, нужно повторить уже изученный.
2. Повторение (устная работа).
Перед вами таблица — повторение, заполните её устно (таблица заполняется в ходе урока).
Ваши знания помогут вам разобраться в новой теме.
3. Изучение новой темы (теорема доказывается самостоятельно) ? Итак: Что такое вертикальные углы?
а) Практическая работа
Задание: 1) Начертите угол АОВ (произвольный).
2) Назовите стороны этого угла.
3) Дополните полупрямые ОА и ОВ до прямых.
4) Рассмотрите ДОС,
Д С
О
Рис.1.
А вот какое название имеют эти углы, вы скажете мне, после того как прочитаете в учебнике определение.
(Дети читают и формулируют друг другу определение)
Значит, ДОС и АОВ – вертикальные.
5) Есть ли ещё на рисунке пара вертикальных углов?
ДОА и СОВ – вертикальные.
б) Закрепление определения
1. Укажите вертикальные углы на рисунках 2 и 3.
2. Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?
O
N
P
M
L
K
С
D
В
А
в) Задача, подводящая к теореме.
Очень важное место в сегодняшней теме отведено теореме о вертикальных углах. С ней вы познакомитесь самостоятельно по учебнику. Чтобы облегчить ваш труд, решим задачу, подводящую к теореме.
a1 Дано:
b2 a1b1) = 180°.
b1 а2 Найти: (а1b1) и 2b2).
Решение:
(a1b1) и (а2 b2) – смежные, значит
(a2 b2) = 180°- 110° = 70°
(а1b2) и 1b1) — смежные
(а1b1) = 180°- 110°= 70°
Вывод: 1b1) = (а2b2) = 70° — вертикальные.
? Можно ли доказать это для любых вертикальных углов?
Учащиеся самостоятельно доказывают теорему, а потом один по желанию доказывает её у доски по готовому рисунку. Запись делает учитель.
b
a2 Дано:
1b1) и 2b2) –вертикальные.
a1
b Доказать: 1b1) = 2b2).
Доказательство:
1) 2b2) = 180°- 1b2).
2) 1b1) = 180° — 1b2). По теореме о смежных углах.
3) 1b1) = 2b2).
4. Закрепление теоремы.
b
Задание: Определите вид углов. Какие из этих углов равны?
2
3
1
1 и
4
a
Задача № 9 (учащиеся самостоятельно рассматривают по учебнику). Один из учеников по желанию объясняет её у доски.
5. Самостоятельная работа (с самопроверкой).
В – I
Дано:
b
2
a ∩b;
4
3
1
a
Найти:
В – II
a
1
Дано:
1
4
4
4
2
a∩b;
3
b
4
Найти:
Ответы: В – I 100°; 80°; 100°.
В – II 150°; 30°; 150°.
6. Итог урока. Таблица заполняется.
7. Домашнее задание: п. 15. к.в. №7, 8, 9.
8. Рефлексия: 1. Что на этом уроке я узнал (а)?
2. На этом уроке я научился (ась)?
3. Что вам понравилось на уроке?
Геометрия
7 класс
Урок № 6
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие смежных и вертикальных углов
- Свойства смежных и вертикальных углов
- Отличие аксиомы от теоремы
Тезаурус
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
- Сумма смежных углов равна 1800.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
- Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.
Давайте докажем это свойство.
Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
Ответ: ∠ВОК=____0
Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800
∠ВОК+ 110= 1800
∠ВОК= 1800– 110= 1690.
Ответ: ∠ВОК= 1690
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
Варианты ответов:
- 1120
- 640
- 1160
- 680
Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.
Ответ: 1160
№3. Тип задания: выделение цветом.
Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.
∠BМD=____0.
Выделите верный ответ из списка:
600; 300; 750; 900
Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.
∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.
Верный ответ: 600
Дидактическая цель: Организация деятельности обучающихся по формированию понятий «Смежные и вертикальные углы».
Цели и задачи урока.
1) По системно-деятельностному подходу.
Цель: На уроке планируется повторить и систематизировать уже известные учащимся 7 класса сведения о смежных и вертикальных углах.
Осознать значимость изучения данной темы.
Формировать позитивную самооценку на основе успешности учебной деятельности.
извлекать дополнительную информацию из источников, ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость получения новых знаний, перерабатывать информацию для получения необходимого результата.
Определять и формулировать цель урока с помощью учителя.
Составлять план решения задачи совместно с учителем.
Формировать умения работать самостоятельно.
Оформлять свои мысли в устной и письменной речи.
Осуществлять взаимоконтроль и взаимопомощь по ходу выполнения заданий.
Понимать, как находить градусную меру смежных и вертикальных углов и применять данные понятия при решении задач.
Применять знания при решении заданий.
Учиться осуществлять самоконтроль и взаимоконтроль.
Научиться решать задачи используя знания о смежных и вертикальных углах.
Способствовать запоминанию основной терминологии, умению структурировать результаты наблюдений событий.
Способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни;
Пробудить интерес к умению применять полученные знания решения задач.
Формы организации обучения: Фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.
Деятельность
учителя
Деятельность
учеников
Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов
Планируемые результаты
Предметные
УУД
Личностные
Коммуника-
тивные
Регулятивные
Познаватель
ные
1. Организационный момент (3 мин)
Цель этапа:
включить учащихся в учебную деятельность.
Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.
У каждого из вас на столах лежат карточки самооценивания. Подпишите их. В течение урока мы с вами будем выполнять различные задания. По окончанию решения каждой задачи, вы должны оценить свою работу:
«+» — справился с задачей без затруднений,
«±» — справился с задачей, но возникали сложности,
«-» — не справился с задачей.
(Слайд 1)
Проверка готовности к уроку
мотивация учения
Умение слушать и понимать речь других.
организация своей учебной деятельности
2. Устная работа (8 мин)
1)Проверка д/з
2) Математическая разминка (Слайд 2)
Отвечают на вопрос
Заполняют таблицу
“Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии”.
(А.С. Пушкин)
Для того, чтобы узнать кто автор этих слов разгадайте кроссворд.
Как называется угол, градусная мера которого равна 90?
Геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки.
Сколько минут в 1 градусе?
Расстояние между населенными пунктами обычно измеряют в …?
Что мы делаем с углами с помощью транспортира?
Верно ли утверждение: Сумма смежных углов равна 360°?
Умение выражать свои мысли
3. Актуализация знаний (2 минут)
Цель этапа: актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала.
Какова же цель нашего урока?
(Слайд 3)
Какая же будет тема урока?
(Слайд 4)
Отвечают на вопрос учителя.
Ставят цель урока, записывают тему урока
Знать: какие таблицы встречаются в учебниках 5 класса? В газетах? На вокзалах и аэропортах?
Ответствен
ное отношение к учению.
Формиро
вания способности к эмоциональ
ному восприятию математичес
ких объектов
Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Учиться критично относиться к своему мнению
Учиться формулировать цель деятельности в совместной работе с другими учащимися при помощи учителя.
Уметь проговаривать последователь
ность действий на уроке
Ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания
4. Этап работы с информацией (5 мин.). Цель этапа:
организовать поиск решения проблемы
Работа с текстом п.11
Стр. 22
Обсудить в парах и ответить на вопросы.
Сколько прямых можно провести через две точки?
Объясните, что такое отрезок?
Какая точка называется серединой отрезка?
Какая фигура называется углом?
Какой луч называется биссектрисой угла?
Какие углы называются смежными?
Чему равна сумма смежных углов?
Какие углы называются вертикальными?
Каким свойством обладают вертикальные углы?
Какие прямые называются перпендикулярными?
Понимать, как чертить и находить градусную меру смежных и вертикальных углов
Осознать значимость изучения данной темы
Доводить свою позицию до других. Формировать умение работать с текстом; самостоятельно использовать приёмы изучающего чтения.
Составлять план действий по решению проблемы. Соотносить результат своей деятельности с поставленной целью и оценивать его.
Добывать новые знания из текста учебника. Обрабатывать полученную информацию
(25 мин ) Физминутка 2 мин (Слайд 6) Называю дни недели и т.п., конфигурации могут быть разные. Истина –наклоны, Ложь- приседания
5. Первичное закрепление (10 минут)
Цели:
организовать первичное применение нового знания.
Работа по готовым чертежам.
Работа по группам.
Прочитайте задание.
Выберите ответ и объясните свой выбор.
Организует выбор верного ответа.
На выполнение даю 5мин.
=Меняемся бланками по группам и проверим на сколько вы поняли и усвоили данный метод.
Применяем новые знания.
Самостоятельно читают задания.
Работают в группах.
Выполняют задание.
Взаимопроверка по группам.
Называют место своего затруднения, причину. Исправляют ошибки.
Выполняют самооценку.
1.
2.
4 = 135° 1,2,3 = ?
3. 
MKN = 37°
NK – биссектриса. MNP = ?
4. 
AB_|_CD
OE – биссектриса AOD COE= ?
5. 
hk : kl=1 : 4 hk и kl – ?
6. 
AD_|_BE
OC – биссектриса DOB
OF – продолжение ОС
а) Может ли FOE быть равным 45°1′?
б) Чему равна разность градусных мер углов FOB и EOC ?
7. 
BC_|_AD, 2 = 3
Сравнить 1 и 4
8. Через т.А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, которые пересекают прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.
Знать, находить градусную меру углов.
Осознать значимость изучения данной темы
Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.
Осуществлять взаимоконтроль и взаимопомощь по ходу выполнения заданий. При необходимости отстаивать свою точку зрения, аргументируя её.
Формирова
ние умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану.
В диалоге с учителем и учащимися
учиться
оценивать полученные результаты
Уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке Ориентировать
ся в своей системе знаний:отличать новое от уже известного с помощью учителя
6. Самостоятельная работа (7 минут)
Цель этапа: проверить своё умение читать и составлять таблицы
Организует выполнение уч-ся самостоятельной работы на новое знание.
Организует самопроверку по эталону.
Организует выявление места и причины затруднений, работу над ошибками.
Организует самооценку
Выполняют задание самостоятельно на распечатках.
Выполняют взаимопроверку по эталону.
Выполняют самооценку.
Тест
Вариант 1.
1) Выберите все углы, не являющиеся тупыми:
А=82°, В=153°, С=31°, Д=90°, Е=180°
а) А и С;
б) А, С, Д;
в) А,В Д;
г) А, С, Д, Е.
2) Углы ДОЕ и ЕОС смежные. Найдите эти углы, если L ДОЕ на 68° больше ЕОС.
а) 40° и 140°;
б) 56° и 124°;
в) 7,2° и 171,8°;
г) 46° и 134°.
3) Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 236°. Найдите эти углы.
а) 180°, 28°, 28°;
б) 118°, 59°, 59°;
в) 56°, 90°, 90°;
г) 56°, 56°, 124°.
4) Углы АОС и ДОВ прямые. Найдите АОВ, если ДОС=27°
а) 117°;
б) 153°;
в) 63°;
г) другой ответ.
Вариант 2.
1) Выберите все углы, не являющиеся острыми:
А=82°, В=153°, С=31°, Д=90°, Е=180°
а) В;
б) В и Д;
в) В, Д и Е;
г) другой ответ.
2) Углы ДОЕ и ЕОС смежные. Найдите эти углы, если LДОЕ на 24° больше LЕОС
а) 40° и 140°;
б) 78° и 102°;
в) 7,2° и 171,8°;
г) 46° и 134°.
3) Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 314°. Найдите эти углы.
а) 180°, 28°, 28°;
б) 122°, 96°, 96°;
в) 180°, 67°, 67°;
г) 134°, 134°, 46°.
4) Углы КОN и MОN прямые. Найдите КОД, если MО N=136°
а) 122°;
б) 44°;
в) 62°;
г) другой ответ.
Самопроверка.
Ответы на доске:
Вариант 1: 1) г; 2) б; 3) г; 4) б.
Вариант 2: 1) в; 2) б; 3) г; 4) б.
Выполнять элементарные вычисления.
Формировать позитивную самооценку на основе успешности учебной деятельности.
Формировать умения работать самостоятельно.
Оформлять свои мысли письменно.
формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты.
Осуществлять поэтапный контроль действий
Самостоятельно отбирать полученную информацию. Анализировать, сравнивать данные в таблице. Представлять информацию в виде таблиц
7. Рефлексия деятельности на уроке (7 мин)
Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.
Организует фиксирование нового содержания.
Организует рефлексию.
Организует самооценку учебной деятельности.
Оценки за урок
Отвечают на вопросы учителя.
Рассказывают, что узнали, знают, смогли.
Делают самооценку
Игра “Дальше…” (класс разделить на команды).
Вопросы для 1 команды.
Градусная мера прямого угла?
Луч, делящий угол пополам?
Прибор, для измерения диаметра трубки?
1/60 часть градуса?
Автор учебника геометрии, по которому вы занимаетесь?
Стандартной международной единицей измерения отрезков выбран…
Сколько сантиметров содержит 1 метр?
Две прямые, перпендикулярные к третьей…
Курс геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур в пространстве?
Один из смежных углов тупой. Каким является другой угол?
Вопросы для 2 команды.
Градусная мера развернутого угла?
Свойство вертикальных углов?
Прибор для измерения углов на местности?
Какой угол называется тупым?
Единица измерения углов?
Кто была русской женщиной- математиком?
Сколько прямых можно провести через одну точку?
В астрономии для измерения очень больших расстояний за единицу измерения принимают…
Один из смежных углов прямой. Каким является другой угол?
Сколько можно построить углов, смежных данному углу?
Вопросы для 3 команды.
Сумма смежных углов?
Курс геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур на плоскости?
Сколько сторон имеет треугольник?
Какой угол называется острым?
Свойство вертикальных углов?
Точка отрезка, делящая его пополам?
Где хранится эталон метра?
1/60 часть минуты?
Прибор, для построения прямых углов на местности?
Один из смежных углов острый. Каким является другой угол?
Объяснять
(прежде всего
самому себе) свою оценку, свою точку зрения. Сравнивать свою оценку с оценками других и объяснять их отличие
Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других. Учиться критично относиться к своему мнению и мнению учащихся класса
Уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки.
8. Домашнее задание
(1 мин)
Стр. п. 11, правила учить № 58, №61