Какими свойствами обладают средние величины
Среди показателей, характеризующих статистические совокупности, важное место занимают средние величины.
Средняя величина — показатель, который даёт обобщённую (усреднённую) характеристику единиц изучаемой совокупности. В средней величине отражается то общее, что имеется в каждой единице совокупности.
Сущность статистической обработки методом средней величины заключается в замене индивидуальных значений признака их средним показателем. При этом общий объём совокупности остаётся неизменным.
Пример: есть данные о выработке 5 рабочих: 135, 141, 153, 159, 162. Определить среднюю выработку. .
Средние величины, которые необходимо знать наизусть:
— средняя арифметическая;
— средняя гармоническая;
— средняя хронологическая;
— средняя квадратическая, кубическая;
— средняя геометрическая;
— структурные средние: мода, медиана.
1. Средняя арифметическая: чаще всего в статистике и социально-экономических исследованиях применяется арифметическая величина.
Средняя арифметическая простая рассматривается в случаях, когда значение признака повторяется один или одинаковое число раз в ряде распределения:
, где n-количество единиц совокупности.
Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда каждое значение признака повторяется неодинаковое число раз, или частота ряда распределения превышает единицу хотя бы для одного признака:
, где f-вес.(сколько раз повторяется каждая еденица совокупности)
2. Средняя гармоническая: в ряде случаев бывают известны варианты (x) и произведения варианты на частоту (x•f), в то время как сами частоты (f) неизвестны, тогда применяется средняя гармоническая, которая бывает простой и взвешенной.
Произведение x•f выражается через сложный экономический показатель M (M= x•f). Для расчёта средней величины, когда x•f =M=1, применяется средняя гармоническая простая: .
Еслиx•f =M? 1, то для расчёта применяется средняя гармоническая взвешенная: .
Средняя гармоническая — величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака.
1. Если от каждой варианты отнять или прибавить одно и то же число, то средняя увеличится или уменьшится на то же число.
2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в a раз, то средняя увеличится или уменьшится в столько же раз.
3. Если все частоты увеличить или уменьшить в aраз, то средняя не изменится.
4. Если все частоты увеличить или уменьшить на a, то средняя изменится непредсказуемо.
5. Средняя арифметическая суммы нескольких величин равна суме средних арифметических этих величин.
6. Алгебраическая сумма отклонений значений признака от средней арифметической всегда равна нулю.
Пример: Найти среднюю урожайность в 2003 и 2004 гг.
№ колхоза | 2003 г. | 2004 г. | ||
урожайность (ц/га) | площадь (га) | урожайность (ц/га) | Валовой сбор(ц) | |
1 2 3 | 40 50 60 | 1000 2000 3000 | 38 49 65 | 40000 100000 150000 |
Решение:
, где f-вес
(ц/га)
.
(ц/га)
3. Средняя хронологическая: применяется для расчёта средней величины, если исходные данные представлены на определённые даты, моменты времени:
Пример: Найти среднюю стоимость ОПФ
дата | 1.01 | 1.02 | 1.03 | 1.04 | 1.05 | 1.06 |
стоимость ОПФ | 100 | 120 | 110 | 120 | 140 | 140 |
Решение:
, ,
,
, .
Приведем все расчеты к одному знаменателю: Х=эээ
4. Средняя квадратическая: применяется для измерения вариации признака в совокупности:
,
5. Средняя кубическая: .
6. Средняя геометрическая: применяется чаще всего для определения средних темпов роста в единицу времени: , ,
Пример: Рассчитайте среднегодовые темпы роста
показатели | год | ||||
1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | |
выпуск продукции | 20 | 22 | 26 | 50,1 | 100,2 |
х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | |
коэффициент роста выпуска продукции | ? | 1,1 | 1,2 | 1,9 | 2 |
k1 | k2 | k3 | k4 |
Решение:
, где m=n-1.
.
Средняя геометрическая, чаще всего, применяется в экономических расчетах, но учитывает только начало и конец ряда и недостаточно точно отражает динамику изменения, т.е. она не учитывает сумму ряда.
7. Средняя кумулятивная:
.
Формула кумулятивной средней более чётко отражает динамику изменений и помогает увидеть сумму ранжированного ряда.
Все рассмотренные средние величины (кроме средней хронологической) являются степенными средними и выводятся из следующей формулы: , где получается при
k=-1 ?средняя гармоническая;
k=0 ? средняя геометрическая;
k=1 ?средняя арифметическая;
k=2 ?средняя квадратическая;
k=3 ?средняя кубическая.
Все эти показатели рассчитываются для варьирующего признака для простых средних. Если все значения признака в ряде распределения одинаковы, то все значения средних равны. Между указанными средними величинами имеет место зависимость (для одного ряда распределения):
? это неравенство называется правилом мажорантности средних величин.
8. Структурные средние:
1) Структурное среднее мода (Mо) — наиболее часто встречающееся значение ряда, другими словами, мода — это варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретных рядах мода определяется визуально, в интервальных рядах визуально определяется модальный интервал, а мода (точечная) определяется по формуле: , где
x0? нижняя граница модального интервала;
i ?шаг интервального ряда;
fMо ?частота модального интервала;
fMо-1? частота интервала, предшествующего модальному;
fMо+1?частота интервала, следующего за модальным.
Пример: Найти Мо в дискретном и интервальном рядах.
.
2) Структурное среднее медиана (Mе) — значение, которое делит ранжированный ряд пополам.
В нечётных, чётных и дискретных рядах медиана определяется визуально, но в дискретных рядах она определяется с помощью накопленных частот. В интервальном ряду медианный интервал находится визуально, с помощью накопленных частот, а сама медиана (точечно) по формуле:
, где
x0?нижняя граница медианного интервала;
i ?шаг интервального ряда;
?f ?сумма накопленных частот;
SMe-1?сумма частот, накопленных до медианного интервала;
fMe ?частота медианного интервала.
Пример: Найти Ме в нечетных, четных, дискретных, интервальных рядах.
интервальный ряд:
.
Если х сред. равно Мо = Ме — это симметричное распределение, если х сред не равно Мо, не равно Ме — распределение ассиметричное.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский Государственный Экономический Университет»
Центр дистанционного образования
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Статистика»
Исполнитель:
студент группы: ЭТр-09 СР
Трошева Наталья Юрьевна
Содержание
Введение
1. Среднее величины: виды, свойства, область применения
1.1 Виды средних величин и способы расчета
1.2 Структурные средние величины
2. Практическое задание
Заключение
Список литературы
Введение
Данная контрольная работа состоит из двух частей – теоретической и практической.
В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная статистическая категория как средняя величина с целью выявления её сущности и условий применения, а также выделения видов средних и способов их расчёта.
Практическая часть посвящена расчету и анализу важнейших показателей работы любого предприятия – планового уровня развития явления и общего индекса цен с целью выделения основных факторов, влияющих на изменение этих показателей.
1. Среднее величины: виды, свойства, область применения
Средняя величина – это обобщающая величина изучаемого признака в исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.
Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака.
Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Отсюда средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.
Для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений.
Необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:
· качественная однородность совокупности, по которой вычислена средняя величина.
· исключение влияния на вычисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов
· при вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель, на который она должна быть ориентирована.
Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней — отражает общие черты изучаемого явления; средние величины, рассчитанные для каждой группы групповыми средними — дают характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
1.1 Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины
Средние величины делятся на 2 больших вида:
степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая и др.). Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Если рассчитывать все виды степенных средних для одних и тех же данных, то их значения окажутся одинаковыми. Тогда действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина (
).
структурные средние (мода, медиана). Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют «структурными позиционными средними». Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
Для наглядности наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в Таблице 1.
Таблица 1 Виды степенных средних
Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы.
Средняя арифметическая простая величина равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака.
Средняя арифметическая взвешенная – это средняя их вариант, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.
Основные свойства средней арифметической:
1. Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.
2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число.
3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.
4. Сумма отклонений отдельных значений признака (вариант) от средней арифметической равна нулю.
Прежде чем выполнять расчет средней величины необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный. Для этого находят середину интервала в каждой группе. Ее определяют делением суммы верхней и нижней границы пополам.
Формула средней гармонической взвешенной величины применяется когда информация не содержит частот
по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение
. Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить
, откуда
. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным x и m можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо
подставим m, а вместо f – отношение
, и таким образом получим формулу средней гармонической взвешенной.
Средняя гармоническая простая величина применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, т.е.
,
Средняя геометрическая величина применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.
1.2 Структурные средние величины
Бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном ряду значений признака вполне определенное положение. Примерами таких величин являются средние мода (
) и медиана (
).
Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).
Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.
Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.
- Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.
Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.
ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:
- средняя арифметическая;
- средняя гармоническая;
- средняя геометрическая;
- средняя квадратическая.
Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.
- Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
- Средняя арифметическая (взвешенная) – варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.
ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
- Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):
(8.8 -формула средней арифметической простой)
- где хi – вариант, а n – количество единиц совокупности.
- Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):
Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей. - Средняя арифметическая взвешенная формула 8.9.
(8.9 -формула средней арифметической взвешенной)
- где хi – вариант, а fi – частота или статистический вес.
- Пример вычисления средней арифметической взвешенной. Результаты опроса всех работников офиса приведены в табл. 8.2.
Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса
Желаемый размер заработной платы, тыс.руб хi | Количество работников fi | хifi |
| 1 | 2 | 3 |
50 100 200 350 500 | 6 10 20 9 5 | 300 1000 4000 3150 2500 |
| Итого | 50 | 10950 |
Пример. Вычислим (ориентируясь на итоговые строки таблицы) желаемый размер заработной платы, 50 сотрудников офиса (используем формулу 8.9):
Пример вычисления средней арифметической взвешенной
Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 50 человек составил 219 тысяч рублей.
Среднеарифметическая – всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности.
- Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины.
- Средняя гармоническая простая представлена ниже:
(8.10 – формула средней гармонической простой)
Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле
(8.11- формула средней гармонической взвешенной)
где xi – вариант, n – количество вариантов, Vi – веса для обратных значений xi.
Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, чем взвешенная. Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером.
- Пример (вычисление средней гармонической простой (невзвешенной)).
Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй – 15 мин.
- Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?
На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. если используем среднюю арифметическую простую получим: (5+15):2=10, мин.
- Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа (60 минут) работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй – 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов.
Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится: (60/10) + (60/10) = 12 заказов (что не соответствует истине).
- Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов, т.е. используем среднюю гармоническую:
Пример вычисления средней гармонической простой (невзвешенной)
Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится: (60/7,5) + (60/7,5) = 16 заказов
- Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wj для единиц совокупности равны (в рассмотренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).
Пример (вычисление средней гармонической взвешенной) В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе рубля по отношению к доллару США приведены в табл.8.3.
Таблица 8.3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже (цифры условные)
Номер сделки Сумма продажи V, млн руб. Курс рубля x, руб. за 1 дол. V/x 1 2 3 4 1
2
3
4
5
455,00
327,50
528,00
266,00
332,50
65,00 65,50
66,00
66,50
66,50
7,00
5,00
8,00
4,00
5,00
итого 1909,00 – 29,00 Для того чтобы определить средний курс рубля по отношению к доллару, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.
- Вывод: средний курс за один доллар составил 65,83 руб.;
- Если бы для расчета среднего курса была использована средняя арифметическая простая:
то, за один доллар, по данному курсу на покупку 29 млн дол. нужно было бы затратить 1899,5 млн.руб., что не соответствует действительности.Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.
- Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле 8.12
(8.12)
- Если использовать частоты m, получим формулу средней геометрической взвешенной
- Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле 8.13
(8.13)
Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы.
Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой
Средняя квадратическая простая (формула 8.14)
8.14
Для сгруппированных данных используют формулу средней квадратической взвешенной
Средняя квадратическая взвешенная (формула 8.15)
(8.15) – Формула -средняя квадратическая взвешенная
Средние арифметическая, гармоническая, геометрическая и квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга. Их численное значение возрастает с ростом показателя степени в формуле степенной средней правило мажорантности средних А.Я. Боярского, т.е.
Мода и Медиана (структурные средние) формулы и примеры вычисления см. по ссылке