Какими свойствами обладают определители
Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >> Определители и их свойства
Определители и их свойства. Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
. (4.3)
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
, (4.4)
где индексы q1, q2,…,qn составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,…, n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или detA = (детерминант, или определитель, матрицы А).
Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j = 1,…,n), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом — из элементов cj.
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +… + ai n Ai n (i = 1,…,n)
или j- го столбца
d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +… + an j An j (j =1,…,n ).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Формула вычисления определителя третьего порядка.
Для облегчения запоминания этой формулы:
Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.
Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.
Пример 2.5. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.
Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:
D = a12A12 + a22A22+a32A32=
.
Пример 2.6. Вычислить определитель
,
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
Решение. Разложим определитель А по первой строке:
.
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:
.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22… ann.
Пример 2.7. Вычислить определитель .
Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det А (или |A|, или ), называемое ее определителем, следующим образом:
Определитель матрицы A также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов основан на свойстве разложения определителя по элементам некоторого ряда (свойство 7). При этом заметим, что определители невысоких порядков (1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно определению.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Пример 4.1. Найти определители матриц
Решение:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:
Пример 4.2. Вычислить определитель матрицы
Решение:
det А = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.
Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.
Свойство 1 («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Иными словами,
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Действительно,
Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Например,
Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одною ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные па любое число.
Пример 4.3. Доказать, что
Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3 подучим
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.
Минором некоторого элемента аij определителя n-гопорядка называется определитель n — 1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, па пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается Aij :
Свойство 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что
В самом деле, имеем
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
Пример 4.4. Вычислите определитель матрицы
Решение: Для разложения определителя обычно выбирают гот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.
Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Так, например,
На главную страницу
Определители
В конец страницы
3. 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Каждой квадратной матрице А соответствует число, которое называется ее
определителем, или детерминантом, и обозначается |А|,
det
А,
или .
Определителем, или детерминантом, n-го порядка служит число, записываемое
в виде квадратной таблицы
det
А
и равное алгебраической
сумме
n!
произведений вида .
Итак,
det
А,
где суммирование
распространено на все перестановки из чисел 1, 2, …,
n.
Здесь –
число инверсий в перестановке .
Говорят, что числа и
образуют
инверсию в перестановке ,
если большее из чисел и
расположено
левее меньшего.
Например, для
n
2
,
для
n
3
Правило вычисления
определителя равносильно
правилу треугольников (правилу Саррюса), которое схематически можно записать как
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
1. Равноправие строк и столбцов.
При транспонировании матрицыее определитель не меняется.
2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны
нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое
слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца
(строки).
3. Антисимметрия.
При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на
противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.
Доказательство свойств 1 и 3
основано на правиле расстановки знаков членов определителя.
4. Определитель с
двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.
Действительно, при
перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но
вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.
,
откуда или
.
5. Линейность.
Если j-й
столбец
(i-я
строка
A)
определителя det
A
является линейной комбинацией
A λB
+
μC
(A λB
+
μC)
двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель
оказывается линейной комбинацией
det
A
det
A(λB+
μC)
λdet
A(B)
+ μdet
A(C)
определителей det
A(B)
и det
A(C).
Здесь det
A(B)
(det
A(C))
– определитель, полученный из определителя
det
А заменой
в нем j-го
столбца
A на
столбец В(столбец С ).
6. Общий множитель
всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его
знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить
на число λ, то сам определитель умножится на это число.
7. Если какой-либо
столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов
(строк), то определитель равен нулю.
Свойства 6 и 7 вытекают из
пятого свойства.
8. Определитель не
изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную
комбинацию его столбцов (строк).
Действительно, в силу
линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с
двумя одинаковыми столбцами (строками).
9. Определитель суммы
двух квадратных матриц одного и того же порядка
n
A
и В ,
i,
j
= равен
сумме всех различных определителей порядка
n,
которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с
соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть –
совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.
Доказательство следует из
свойства линейности определителя.
10. Определитель
произведения двух матриц равен произведению их определителей
det
(AВ)
det
A×det
B.
Назад
К началу страницы
Вперед
Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.
Рассмотрим определитель:
.
Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора .
Пример 4
Минор элемента а12: .
Определение. Алгебраическим дополнениемлюбого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения Аij.
Пример 5
Свойство 1.Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Пример 6
Вычислим определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:
.
Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.
Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).
Свойство 4.Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.
Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.
Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.
Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:
.
Свойство 9.Если к элементам некоторого столбца (или строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.
Пример 7
Вычислим определитель:
,
при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.
Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.
Обратная матрица
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
Обратной матрицей по отношению к даннойА называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.
По определению
А · = · А = Е.
Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.
Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле
,
где — определитель матрицыА, -союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица
,
для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица
.
Пример
Для матрицы найти обратную.
Решение
Обратную матрицу находим по формуле
.
Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:
.
Тогда обратная матрица имеет вид
.
СВОЙСТВО
1. Величина определителя не изменится,
если все его строки заменить столбцами,
причем каждую строку заменить столбцом
с тем же номером, то есть
.
СВОЙСТВО
2. Перестановка двух столбцов или двух
строк определителя равносильна умножению
его на -1. Например,
.
СВОЙСТВО
3. Если определитель имеет два одинаковых
столбца или две одинаковые строки, то
он равен нулю.
СВОЙСТВО
4. Умножение всех элементов одного
столбца или одной строки определителя
на любое число kравносильно
умножению определителя на это число k.
Например,
.
СВОЙСТВО
5. Если все элементы некоторого столбца
или некоторой строки равны нулю, то сам
определитель равен нулю. Это свойство
есть частный случае предыдущего
(при k=0).
СВОЙСТВО
6. Если соответствующие элементы двух
столбцов или двух строк определителя
пропорциональны, то определитель равен
нулю.
СВОЙСТВО
7. Если каждый элемент n-го
столбца или n-й
строки определителя представляет собой
сумму двух слагаемых, то определитель
может быть представлен в виде суммы
двух определителей, из которых один
в n-м
столбце или соответственно в n-й
строке имеет первые из упомянутых
слагаемых, а другой — вторые; элементы,
стоящие на остальных местах, у вех трех
определителей одни и те же. Например,
СВОЙСТВО
8. Если к элементам некоторого столбца
(или некоторой строки) прибавить
соответствующие элементы другого
столбца (или другой строки), умноженные
на любой общий множитель, то величина
определителя при этом не изменится.
Например,
.
Дальнейшие
свойства определителей связаны с
понятием алгебраического дополнения
и минора. Минором некоторого элемента
называется определитель, получаемый
из данного путем вычеркиванием строки
и столбца, на пересечении которых
расположен этот элемент.
Алгебраическое
дополнение любого элемента определителя
равняется минору этого элемента, взятому
со своим знаком, если сумма номеров
строки и столбца, на пересечении которых
расположен элемент, есть число четное,
и с обратным знаком, если это число
нечетное.
Алгебраическое
дополнение элемента мы будем обозначать
большой буквой того же наименования и
тем же номером, что и буква, кторой
обозначен сам элемент.
СВОЙСТВО
9. Определитель
равен
сумме произведений элементов какого-либо
столбца (или строки) на их алгебраические
дополнения.
Иначе
говоря, имеют место следующие равенства:
, 
,
, 
,
, 
.
6) Миноры
и алгебраические дополнения.
Определение.
Минором элемента 
определителя 
–
го порядка называют определитель 
–
го порядка, который получается из
данного определителя вычеркиванием 
—
й строки и 
–
го столбца, на пересечении которых стоит
элемент 
.
Обозначение: 
.
Определение.
Алгебраическим дополнением
элемента 
определителя 
–
го порядка называют его минор, взятый
со знаком плюс, если 
–
четное число и со знаком минус в противном
случае.
Обозначение: 
.
Теорема.
(О разложении определителя.)
Определитель
равен сумме произведений элементов
любой строки (или любого столбца)
определителя на их алгебраические
дополнения:
, 
;
(1)
или
, 
.
(2)
7) Обра́тная
ма́трица —
такая матрица A−1,
при умножении на которую, исходная
матрица A даёт
в результате единичную
матрицу E:
Квадратная
матрица обратима
тогда и только тогда, когда она
невырожденная, то есть её определитель не
равен нулю. Для неквадратных матриц
и вырожденных
матриц обратных
матриц не существует. Однако возможно
обобщить это понятие и ввести псевдообратные
матрицы,
похожие на обратные по многим свойствам.
8)Ранг
матрицы —
наивысший из порядков миноров этой
матрицы, отличных от нуля
Обычно
ранг матрицы 
обозначается 
(
)
или 
.
Оба обозначения пришли к нам из иностранных
языков, потому и употребляться могут
оба.
Свойства
Теорема
(о базисном миноре): Пусть r = rang A M —
базисный минор матрицы A, тогда:
базисные строки
и базисные столбцы линейно независимы;любая строка
(столбец) матрицы A есть линейная
комбинация базисных строк (столбцов).
Следствия:
Если ранг матрицы
равен r, то любые p:p > r строк или столбцов
этой матрицы будут линейно зависимы.Если A — квадратная
матрица, и det A = 0 <=> строки и столбцы
этой матрицы линейно зависимы.Пусть r = rang A, тогда
максимальное количество линейно
независимых строк (столбцов) этой
матрицы равно r.Теорема
(об инвариантности ранга при элементарных
преобразованиях): Введём
обозначение
элементарными
преобразованиями. Тогда справедливо
утверждение: Если
,
то их ранги равны для матриц, полученных
друг из друга
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #