Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Определение 1

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b→=λ·a→ коллинеарен вектору a→ , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b→ коллинеарен вектору a→, его можно представить в виде λ·a→. Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Определение 2

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b→=λ·a→ или a→=μ·b→, μ∈R

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a→ задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты (ax, ay), тогда, согласно полученному выше условию, вектор b→=λ·a→ имеет координаты (λ·ax, λ·ay).

По аналогии: если вектор a→ задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a=(ax, ay, az) , а вектор b→=λ·a→ имеет координаты (λ·ax, λ·ay, λ·az). Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

Определение 3

Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: bx=λ·axby=λ·ay или ax=μ·bxay=μ·by
Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями:bx=λ·axby=λ·ay bz=λ·azили ax=μ·bxay=μ·by az=μ·bz

Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

Если ненулевые векторы a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a→×b→=0→. И это также соответствует равенству: i→j→k→axayazbxbybz=0→, что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b→=λ·a→ и a→=μ·b→ , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

Определение 4

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

Пример 1

Исходные данные: векторы a→=(3-22, 1) и b→=(12+1, 2+1) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: bx=λ·axby=λ·ay Подставив заданные значения координат, получим: bx=λ·ax⇔12+1=λ·(3-22)⇒λ=1(2+1)·(3-22)=132-4+3-22=12-1by=λ·ay⇔2+1=12-1·1⇔(2+1)·(2-1)=1 ⇔1≡1

Т.е. b→=12-1·a→, следовательно, заданные векторы коллинеарны.

Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Пример 2

Исходные данные: векторы a→=(1, 0, -2) и b→=(-3, 0, 6) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

Решение

Т.к. bx=λ·axby=λ·ay bz=λ·az⇔-3=-3·10=-3·06=-3·(-2) , то верным будет равенство: b→=-3·a→ , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→10-2-306=i→·0·6+j→·(-2)·(-3)+k→·1·0-k→·0·(-3)-j→·1·6-i→·(-2)·0=0→Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Пример 3

Исходные данные: векторы a→=(2, 7) и b→=(p, 3) . Необходимо определить, при каком значении pзаданные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

b→=λ·a→⇔bx=λ·axby=λ·ay⇔p=λ·23=λ·7

тогда λ=37, а p=λ·2⇔p=67 .

Ответ: при p=67 заданные векторы коллинеарны.

Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

Пример 4

Исходные данные: вектор a→=(2, -6) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответом может послужить, например, 12·a→=(1, -3) или вектор 3·a→=(6, -18) .

Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты (1, -3).

Пример 5

Исходные данные: вектор a→=(3, 4, -5) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a→=ax2+bx2+cx2=32+42+(-5)2=52 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1a→·a→=(352, 452,- 12)

Ответ: (352, 452,- 12)

Источник

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение

a × b =

ijkaxayazbxbybz

= i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) =

= i (aynaz — aznay) — j (axnaz — aznax) + k (axnay — aynax) = 0i + 0j + 0k = 0

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к.	1	=	2	.
	4		8

Вектора a и с не коллинеарны т.к.	1	≠	2	.
	5		9

Вектора с и b не коллинеарны т.к.	5	≠	9	.
	4		8

Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Значит:

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

ax	=	ay	=	az	.
bx		by		bz

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к.
14 = 28 = 312

Вектора a и с не коллинеарны т.к.
15 = 210 ≠ 312

Вектора с и b не коллинеарны т.к.
54 = 108 ≠ 1212

Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.

ax	=	ay	=	az	.
bx		by		bz

Значит:

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Источник

1. Нулевой вектор
коллинеарен любому вектору: Если

(или
),
то

(или
).

2. Нулевой вектор
одинаково направлен с любым вектором,
.

3. Любые два
коллинеарных вектора можно отложить
на одной прямой.

Достаточно отложить
векторы от одной точки.

4. На прямой можно
указать всего два направления,
следовательно, два вектора, отложенных
на ней могут иметь либо одно и то же
направление, либо противоположное.

Определение 4.

Векторы

и

называются противоположными.

Рассмотрим вектор
.
Отложим его от точки А.

Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы

Для вектора
=
противоположным называется вектор
,
=–.

Вектор, противоположный
,
это вектор
,
т.е.
=–(–).

Для нулевого
вектора

противоположным является вектор
,
или
=–.

Определение 5.

Ненулевые векторы

и

называются одинаково
направленными
(сонаправленными), если лучи АВ
и CD
одинаково направлены, обозначается
символом
:

Ненулевые векторы

и

называются противоположно
направленными,
если лучи АВ
и CD
противоположно направлены, обозначается
символом
:

3. Абсолютная величина вектора

Определение 6.

Модулем
(длиной, абсолютной величиной)
вектора

называется длина отрезка АВ,
обозначается
,
или
АВ.

Длина нулевого
вектора равна нулю:
.

Определение 7.

Вектор, абсолютная
величина которого равна единице,
называется единичным.

Единичный вектор
обозначается
,
.

4. Равенство векторов

Определение 8.

Два вектора

и

называются равными,
если выполнены следующие условия:

1) они имеют
одинаковое направление,
;

2) абсолютные
величины их равны, ||=||.

Из определения
следует, что два нулевых вектора всегда
равны.

Равенство векторов
обладает свойствами, аналогичными
свойствам равенства чисел.

Свойства равенства
векторов:

1. Рефлексивность:
каждый вектор равен самому себе
;

2. Симметричность:
.

3. Транзитивность:
.

Равенство векторов
является отношением эквивалентности.

5. Линейные операции над векторами

Линейными операциями
над векторами называются сложение
векторов и умножение вектора на
действительное число.

5.1. Сложение векторов

Определение 9
(Правило треугольника).

Суммой
векторов

и
,
отложенных последовательно, называется
вектор
,
начало которого совпадает с началом
первого слагаемого вектора, а конец –
с концом второго.

Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы

(7.1)

Сумма векторов
существует и определена однозначно.

Свойства сложения:

1.	С=В
2.	С=В, В=А
3.	С=А
4.	Коммутативность
5.	Ассоциативность

Определение 10
(Правило параллелограмма).

Суммой
векторов

и
,
отложенных от общего начала, называется
вектор
,
задаваемый диагональю построенного на
них, как на сторонах, параллелограмма,
исходящей из их общего начала. Начало
вектора суммы совпадает с началом
слагаемых векторов, а конец – с
противоположным концом диагонали
параллелограмма.

Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы

Сложение двух
скользящих
векторов
определено лишь в случае, когда прямые,
на которых они расположены, пересекаются.
Тогда каждый из векторов переносится
вдоль своей прямой в точку пересечения
этих прямых, после чего сложение
осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух
связных
(фиксированных) векторов
определено лишь в случае, когда они
имеют общее начало. Их сложение в этом
случае осуществляется по правилу
параллелограмма.

Определение 11
(Правило многоугольника).

Суммой
nвекторов
,
отложенных последовательно, называется
вектор, начало которого совпадает с
началом первого слагаемого вектора, а
конец – с концом последнего слагаемого
вектора.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Знак коллинеарности векторов

Общие сведения

Вектором называют направленный отрезок, который имеет начало и конец. Обозначают его либо большими буквами, либо маленькими, например, АБ или a. Над буквой ставится знак вектора — стрелка. Любой отрезок характеризуется длиной, которую называют модулем. Если начало и конец прямой совпадают, то такой вектор носит название нулевой и обозначается в виде точки. При этом его модуль будет равняться нулю.

Для равенства векторов необходимо выполнение двух условий:

модули отрезков должны быть равны;
сравниваемые отрезки должны быть направлены в одну сторону.

Коллинеарные векторы это

Равные вектора могут быть совмещены параллельным переносом, при этом начало и конец отрезков должны совпадать. Если ограниченные линии не являются равными, но лежат на параллельных прямых, то их называют коллинеарными, то есть, по определению коллинеарных векторов, их направление для определения признака не является важным.

Коллинеарность является одним из признаков сонаправленности, но для выполнения последнего они должны ещё и совпадать по направлению. Наглядным понятием, объясняющим сонаправленность, является прямое движение транспорта или пешехода. Например, если рассматривать две траектории движения как векторы АБ и СД, лежащие на плоскости, при этом их лучи лежат в одной полуплоскости и перпендикулярны её границам, то их можно назвать сонаправленными.

Поэтому параллельные отрезки будут направлены в одну сторону лишь тогда, когда их лучи находятся по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. При этом если векторы коллинеарны, но не сонаправлены, то они будут являться противоположными.

Коллинеарные векторы

С векторами можно выполнять любые простейшие арифметические операции. При сложении используют правила параллелограмма и треугольника. Пусть есть два отрезка, имеющие общее начало. Для того чтобы найти их сумму, необходимо фигуру достроить до параллелограмма. Диагональ этой фигуры и будет искомой величиной. Когда же конец одного отрезка является началом другого, то, соединив свободные точки, можно получить треугольник. Новая прямая и будет являться вектором суммы. Следует отметить, что эти правила равнозначны друг другу. Вычитание отрезков находится аналогично.

Вектор можно и умножить на число, то есть длина отрезка увеличивается на значение множителя. Если в произведении стоит отрицательное число, то характеристика меняет направление.

Критерии коллинеарности

Теорема критерия коллинеарности представляет собой утверждение, которое сообщает, что если есть два не ортогональных отрезка, одинаковых по длине, a и b, то вектор a может быть выражен через формулу a || b = a = y * b. При этом y обозначает любое произвольное число. Есть и обратное утверждение: если вектор b умножить на число и получится отрезок a, то тогда a и b будут коллинеарными.

Эти два правила тождественны и называются критериями коллинеарности. Для их доказательства нужно знать правило арифметических действий с параллельными и перпендикулярными векторами, а также понимать основной базис. Заключается он в том, что если имеются три отрезка a, b и c, при этом верной является следующая комбинация a || b и a || c, то справедливо утверждать, что b || c.

Условие коллинеарности векторов

Для того чтобы доказать свойство a || b = a = y * b, нужно воспользоваться определением коллинеарности. Из него следует, что если a || b, то отрезки могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Таким образом, необходимо проверить утверждение для двух случаев:

|a| ↑↑ |b|.
|a| ↑↓ |b|.

Если предположения окажутся верными, то можно будет сделать вывод о справедливости записи для других случаев. То есть к любым параллельным отрезкам можно применить равенство a = u * b. Этот критерий занимает важное место в геометрии наряду со свойствами перпендикулярности (ортогональности) прямых.

Сонаправленные вектора

Пусть a и b однонаправленные. Введём число y, равное отношению a на b. Так как длина вектора может быть только положительной, то и y = a /b > 0. Состояние вектора, когда он нулевой, является частным случаем и его можно не рассматривать, так как при этом получится равенство 0 = 0. Если длину b умножить на число, то получится новый вектор. Пусть это будет отрезок c, то есть с = y * b. Учитывая свойство коллинеарности, можно утверждать, что между c и b останется параллельность.

Признак коллинеарности векторов

По условию известно, что a || b. Исходя из транзитивности отрезков, можно заключить, что и c || b. Теперь необходимо установить их направление. Изначально a и b направлены в одну сторону. Ведённый множитель больше нуля. Это значит, что после умножения направление вектора не изменится, то есть c будет иметь то же направление что и b. Тогда получается, что a || b и c || b. Отсюда следует, что a || с.

Длина вектора c равняется |c| = |u| * |b|. Вместо u можно подставить a / b. В итоге получится |a| * |b| / |b| = |a|. Таким образом, два условия выполняются, и можно утверждать, что с = a. Получается, что для двух любых однонаправленных векторов будет выполняться правило a = u * b.

Противоположные отрезки

Пусть имеется два отрезка a и b, при этом их направления противоположны друг другу. Можно ввести переменную u, которая будет меньше нуля. Тогда справедливо записать u = — |a| / |b| < 0. Это исходит из того, что длины отрезков — положительные величины, и их отношение тоже даёт число со знаком плюс, а минус один, умноженное на положительное число, даёт отрицательное. Для удобства можно ввести специализированный вектор c, который равняется u, умноженному на отрезок b: c = u * b.

Определение коллинеарных векторов

Рассмотрим направление c. Исходя из правила произведения отрезка на число, получается, что вектор в ответе будет коллинеарен умножаемому. Более того, из условия известно, что ведённое число меньше нуля. Получается, что рассматриваемые отрезки будут противоположно направлены, то есть можно записать: c ↑↓ b. При этом по определению a и b тоже разнонаправленные.

Утверждать это можно, исходя из геометрического расположения отрезков в пространстве. Если их нарисовать, то можно увидеть, что один из них будет направлен вправо, а другой влево. Из условия известно, что вектор с будет направлен в противоположную сторону, по сравнению с b. Но в другую сторону от него направлен и отрезок a. Значит, a и c — однонаправленные.

На следующем этапе следует доказать, что длина c будет совпадать с отрезком a. Для этого нужно модуль ведённого числа умножить на длину b: |c| = |u| * |b|. В результате выполнения действия получится выражение: |c| = |-1| * |a| * |b| / |b|. Модуль b стоит и в числителе, и в знаменателе, поэтому на него можно сократить, а модуль от минус единицы равняется просто единице.

Получается, что длина отрезка c равняется вектору a: |c| = |a|. Учитывая определение равенства векторов, можно утверждать, что c = a. То есть для любых разнонаправленных отрезков всегда будет справедливо выражение a = u * b. Проверка справедливости утверждения завершена.

Примеры решения задач

Теоретический материал нужно уметь применять в практических заданиях. В девятом классе на уроках геометрии учащимся предлагается решить несколько типов задач различной сложности. Научившись их решать, можно смело утверждать, что материал изучен. Вот некоторые из них:

Коллинеарные векторы примеры

Пусть имеются два отрезка m и n. Нужно вычислить такое число u, при котором выполняется равенство n = u * m. Рассмотреть необходимо два случая: a) прямые противоположно направлены, при этом |m| = 0,5, а |n| =2.; б) векторы сонаправлены и |m| = 12, а |n| =240. Решение такой задачи основывается на признаке коллинеарности векторов. Для первого случая условие можно записать, как u < 0, так как |m| ↑↓ |n|. Учитывая, что такое равенство выполняется для ненулевых прямых, будет справедливо записать u = |n| / |m| = — 2 / 0,5 = -4. Для второго случая u > 0, так как |m| ↑↑ |n|. Отсюда u = 240 / 12 = 20.
Требуется доказать, что если отрезки a и b не коллинеарны, то a + b и a — b не коллинеарны тоже. Такие задачи решаются методом от обратного. Для повышения комфортности решения рекомендуется выполнить векторный рисунок в линейных координатах. Делают предположение, что a + b и a — b коллинеарны. Тогда должно выполняться следующее равенство: a + b = u (a — b). При этом u не должно равняться нулю. В выражении можно раскрыть скобки: a + b = u * a — u * b, а затем перенести в левую часть равенства одночлены, содержащие вектор a, а в правую часть — b: a — u * a = — u * b — b. Используя законы умножения, выражение можно преобразовать до вида: (1-u) * a = (-u — 1) * b. После ряда стандартных упрощений получится: a = (-u — 1) * b / 1- u, a b = (u + 1) * b / 1- u. Изучив полученное выражение, можно отметить, что u = 1 противоречит условию, так как a + b = a — b, то b = -b = 0.
Установить, являются ли отрезки с1 и с2 коллинеарными по векторам a и b при условии a = {1; 4; -2}, b = {1; 1; -1}; c 1 = a + b, c 2 = 4 a +2 b. Решение выполняют следующим образом. Если векторы коллинеарны, то будет существовать такое число, при котором будет верным равенство: c 1 = u * c 2. Иными словами, векторы коллинеарны если их координаты пропорциональны. Используя исходные данные, получим: c 1 = a + b = {1+1; 4+1; -2+(-1)} = {2; 5; -3}; c 2 = 4 * a + 2 * b = {4*1 + 2*1; 4*4 + 2*1; 4 * (-2) + 2 * (-1)} = {6; 18; -10}. В результате: 2/6 ≠ 5/18 ≠ -3/-10. Отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемые отрезки не коллинеарны.

Использование онлайн-калькулятора

Решение простых заданий из школьного курса обычно не вызывает сложностей. Но на практике приходится сталкиваться со сложными выражениями. Для их вычисления нужно проявить усидчивость и при этом быть предельно внимательным. Кроме этого, расчёт занимает довольно много времени, а любая, казалось бы, незначительная оплошность, приведёт к неправильному решению.

Онлайн-калькулятора

Поэтому условие коллинеарности векторов удобно проверять на так называемых онлайн-калькуляторах. Это обычно мощные сервисы, основная деятельность которых заключается в предоставлении услуг по автоматизации вычислений. Среди них попадаются и сайты, умеющие вычислять и вектора.

Для того чтобы выполнить на них математические операции, необходимо иметь доступ к интернету и установленный веб-обозреватель. Всё, что требуется от пользователя, это просто зайти на сайт и выбрать раздел, связанный с операциями над векторами. Затем в предложенную форму вести условие задания и запустить расчёт нажатием одной кнопки.

Из множества онлайн-расчётчиков, доступных в секторе рунета, можно выделить следующие:

O nlineMSchool

SolverBook — это простой на вид сайт, содержащий на своей странице приложение, позволяющее выполнять любые действия над отрезками, а также определять их вид. Кроме непосредственного предоставления ответа, сервис выдаёт пошаговое решение. При этом каждый этап будет детально расписан.
O nlineMSchool — сайт помогает найти коллинеарные отрезки для любой сложности примеров. На страницах сервиса находится вся необходимая теория и примеры решения заданий. Поэтому даже слабо подготовленный пользователь сможет разобраться во всех нюансах решения нужных ему задач.
Kontrolnaya-rabota — отличительной его чертой является возможность отправления подробного решения на указанную электронную почту. Сайт умеет работать как с парой векторов, так и попарной системой.

Все указанные сервисы предоставляют доступ к услугам бесплатно и без регистрации. Воспользовавшись онлайн-калькуляторами, даже слабо подготовленный пользователь научится самостоятельно определять коллинеарность. Такие расчётчики будут полезны и учащимся, и инженерам.

Источник