Какими свойствами обладают логарифмы

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться  .

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что  . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили  , всегда получается  . Более того,   не существует ни для какого  . Но при этом   может равняться чему угодно (по той же причине –   в любой степени равно  ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае  :   в любой положительной степени – это  , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что  ).

При   мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня:  . Например,   (то есть  ), а вот   не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например,   не существует, так как   ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому   тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение  .

Вспомним определение: логарифм   – это степень, в которую надо возвести основание  , чтобы получить аргумент  . И по условию, эта степень равна  :  .

Получаем обычное квадратное уравнение:  . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна  , а произведение  . Легко подобрать, это числа   и  .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

  — верно.

  – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень   – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни   и  , сразу отбросим корень  , и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения  . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

 .

В первую очередь напишем ОДЗ:

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание  , чтобы получить аргумент  ? Во вторую. То есть:

Казалось бы, меньший корень равен  . Но это не так: согласно ОДЗ корень   – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень:  .

Ответ:  .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

Подставим во второе равенство вместо   логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

  – это степень, в которую нужно возвести  , чтобы получить  .

Например:  

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»:  , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

 .

Пример 3.

Докажите, что  .

Решение:

 , ч.т.д.

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

Доказательство:

Пусть  , тогда  .

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения:  .

Доказательство:

Пусть  , тогда  . Пусть  , тогда  .

Имеем:

 , ч.т.д.

Пример: Найдите значение выражения:  .

Решение:  .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
 .
Зачем это нужно? Ну например: чему равно  ?

 .

Теперь очевидно, что  .

Теперь упрости сам:

Задачи:

1.  .
2.  .
3.  .
4.  .

Ответы:

1.  

2.  

3.  

4.  

Свойство 3: Разность логарифмов:

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть  , тогда  .

Пусть  , тогда  . Имеем:

 , ч.т.д.

 , ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

Пример посложнее:  . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению   – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

 .

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

Упрости сам.

Примеры

Ответы.

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть  , тогда  . Имеем: , ч.т.д.

Можно понять это правило так:

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения  .

Решение:  .

Реши сам:

Примеры:

Ответы:

1.  .

2.  .

3.  

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Доказательство: Пусть  , тогда  . 

Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Или если степени одинаковые:  .

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Доказательство: Пусть  , тогда  .

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить  , получим: , ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Используем свойство логарифмов № 2 – сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

 .

Пример 5.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

 .

Пример 6.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Используем свойство № 7 – перейдем к основанию 2:

Пример 7.

Найдите значение выражения  .

Решение:

Как тебе статья?

Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.

И это круто!

А теперь расскажи нам как тебе статья?

Научился ты решать логарифмы?  Если нет, то в чем проблема?

Пиши нам в комментах ниже. 

Мы будем рады прочитать.

И, да, удачи на экзаменах.

На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни