Какими свойствами обладает величина угла
Создал: Максим Стародуб 7б
Https://vk.com/maxstrix324
Билет №1
Параллельные прямые. Основное свойство прямой.
Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Касательная к окружности. Задача о двух касательных, проведенных из одной точки.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.
Билет №2
Пересекающиеся прямые. Основное свойство прямой.
Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Теоремма о сумме углов треугольника. Следствие.
Сумма углов треугольника равна 1800.
Билет №3
Отрезок. Его элементы. Основное свойство длины отрезка.
Отрезок – прямая между точками.
Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и СВ, т.е. АВ=АС+СВ
Прямоугольный треугольник. Свойства прямоугольного треугольника.
Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой.
Сумма острых углов треугольника равна 90 градусов
Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов
Катет, лежащий против угла 30о, равен половине гипотенузы.
Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Билет №4
Луч. Его элементы. Дополнительный луч.
часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Любая точка на прямой разделяет прямую на два луча
Элементы — точка и вектор
Дополнительные лучи (ОА и ОВ) — различные лучи одной и той же прямой, имеющие общее начало О.
Окружность и круг. Их элементы. Некоторые свойства окружности.
Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R .
Центр окружности обозначают буквой O.
Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом. (Наведите курсор на рисунок.)
Точка O — это центр и круга и окружности
Круг — множество точек плоскости, удаленных от заданной точки этой плоскости (центр круга — o) на расстояние, не превышающее заданное (радиус круга)
Билет №5
Угол. Его элементы. Виды углов(по градусной мере).
Градусной мерой угла является число больше нуля, которое показывает, какое число раз градус и его части — минута и секунда — помещаются в этом угле, т.е. градусная мера — величина, которая отражает число градусов, минут и секунд между двумя сторонами угла.
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.
Элементы угла — вершина и 2 стороны
Перпендекулярные прямые. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой.
Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.
Перпендикуляр это отрезок, опущенный на прямую под углом 90 градусов (или иначе называемым «прямым углом»)
Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой.
Билет №6
Угол. Основное свойство величины угла.
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.
Дарья Плеханова · 11 ноября 2018
952
Какими основными математическими навыками должны обладать все?
Давайте все-таки исключим детей и людей, которые не ставят перед собой никаких жизненных задач. Бомж и Обломов обойдутся без математических навыков. Возьмем взрослых сознательных людей, перед которыми стоят определенные жизненные задачи, и эти люди ответственно действуют в заданных жизненных рамках.
Логический вывод. Элементарная логика нужна каждому, чтобы не путать причину со следствием и не противоречить самому себе.
Анализ связей. То, чему в простейшем виде нас учит решение задач в школе: если перед тобой стоит задача, сначала нужно выделить, какие данные важны и какие между ними связи, а потом уж строить решение. Построить модель и разложить все по полочкам, помнить о том, что дано и что требуется получить.
Обнаружение закономерностей. Закономерности обнаруживаются во всякой деятельности, нужно их замечать, обобщать и использовать для прогнозирования.
Анализ графиков и диаграмм. Знание основных статистических характеристик.
Элементарные сведения по теории вероятностей. Это нужно для того, чтобы разумно оценивать риски и принимать решения в условиях неопределенности. Вот (сильно упрощенная) ситуация: можно вложиться в новостройку, купить квартиру на этапе котлована и с вероятностью ¼ потерять все, а с вероятностью ¾ получить 100% прибыли. Если у тебя хватит денег на 20 квартир, то с о-о-о-очень большой вероятностью ты останешься с большой выгодой. А если ты продаешь единственное жилье и покупаешь одну квартиру, то с немаленькой вероятностью остаешься без крыши над головой. Нельзя принимать решение, просто подражая другим.
Прикидка. Наверное, нам не нужно перемалывать огромные числа и делать серьезные вычисления с большими числами: на то есть компьютеры и калькуляторы. Но нельзя слепо им доверять: возможны ошибки и опечатки или жульничество недобросовестных подчиненных. Как проверить вычисления: быстренько сделать прикидку и посчитать приблизительно; — это инструмент проверки, который всегда у вас в руках. Сделать прикидку сложнее, чем просто сосчитать: нужно понимать, как можно упростить входные данные, чтобы результат на выходе поменялся не сильно.
Геометрические представления. Я думаю, нужны представления о геометрических фигурах, о геометрических величинах – длинах, площадях и объемах; о связях между ними. Представление о координатах, хотя бы географических.
Прочитать ещё 4 ответа
Скорость – это относительная величина. А со скоростью света непонятно. Является ли скорость света в вакууме абсолютной величиной? Почему?
Сусанна Казарян, США, Физик
Свет или, нежно говоря, фотон – это частица, которая не имеет массы. То есть имеет, но она (масса) равна нулю. Другой такой реальной элементарной частицы нет. Движется фотон только со скоростью света. Не меньше, не больше, и ничему материальному не дано сравняться с ним скоростью. И еще, фотон медиатор электромагнитных взаимодействий – векторный бозон, причем калибровочный. Вообщем, ему есть чем гордиться. Имеет право. Из-за отсутствия массы, пространством-временем ему дана еще одна привилегия – скорость фотона постоянна и не зависит от системы отсчета в которой он наблюдается, какой бы система не была – инерциальной (СТО) или не инерциальной (ОТО). Но завидовать ему не нужно. За все эти привилегии у фотона отняли время. В своей собственной системе координат (которой у нее для нас нет) время жизни фотона равно нулю. То есть фотон рождается и умирает в одно и то же время. Но для нас (наблюдателей) он может жить вечно и родившись на наших глазах, фотон может пролететь через всю Вселенную и даже уйти за горизонт доступной нам Вселенной, унося с собой информацию о нас, другим мирам.
Предлагаю, если у Вас еще осталось что выпить, поднять бокал за жертвенность фотона, который, давая нам возможность увидеть удивительную красоту Вселенной, сам её никогда не видит.
Прочитать ещё 5 ответов
Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел. Почему они так называются?
Мне интересны множество тем: от психологии до космоса…)
Действительные числа могут быть рациональными и иррациональными. Рациональное число — это обыкновенная дробь (числитель обыкновенной дроби целое число, а в знаменателе — натуральное).
Иррациональное число — это бесконечная десятичная дробь (например, 2,010011000111…, -7,707700777000…). Иррациональное число нельзя представить как обыкновенную дробь.
Прочитать ещё 2 ответа
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Óãîë. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. | |
| Êîãäà äâà ëó÷à ( AO è OB ) èñõîäÿò èç îäíîé òî÷êè, òî ôèãóðà, ñôîðìèðîâàííàÿ ýòèìè ëó÷àìè (âìåñòå ñ ÷àñòüþ ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííîé èìè), íàçûâàåòñÿ óãëîì. | |
| Óãîë. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. | |
Ðàäèàíû. Ðàäèàííàÿ ìåðà óãëà. | |
| Ðàäèàííàÿ ìåðà. Êàê èçâåñòíî èç ïëàíèìåòðèè, äëèíà äóãè l, ðàäèóñ r è ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë α ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì. | |
| Ðàäèàíû. Ðàäèàííàÿ ìåðà óãëà. | |
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò. | |
| Óãëîâîé êîýôôèöèåíò — êîýôôèöèåíò k â óðàâíåíèè ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè y = kx + b . | |
| Óãëîâîé êîýôôèöèåíò. | |
Óãëû. Ãðàäóñíàÿ ìåðà óãëà. | |
| Ãðàäóñíîé ìåðîé óãëà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî áîëüøå íóëÿ, êîòîðîå ïîêàçûâàåò, êàêîå ÷èñëî ðàç ãðàäóñ è åãî ÷àñòè — ìèíóòà è ñåêóíäà — ïîìåùàþòñÿ â ýòîì óãëå. | |
| Óãëû. Ãðàäóñíàÿ ìåðà óãëà. | |
Óãëû. Ñìåæíûå óãëû. | |
| Ñìåæíûìè óãëàìè íàçûâàåòñÿ ïàðà óãëîâ ñ îáùåé âåðøèíîé è îäíîé îáùåé ñòîðîíîé. 2 îñòàâøèåñÿ ñòîðîíû äåëàþò ïðîäîëæåíèå äðóã äðóãó, îáðàçîâûâàÿ ïðÿìóþ ëèíèþ. | |
| Óãëû. Ñìåæíûå óãëû. | |
Óãîë. Âïèñàííûé óãîë. | |
| Âïèñàííûé óãîë – ýòî óãîë, ñôîðìèðîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè , áåðóùèìè íà÷àëî â îäíîé òî÷êè îêðóæíîñòè. | |
| Óãîë. Âïèñàííûé óãîë. | |
Óãîë. Èçìåðåíèå óãëîâ. | |
| Èçìåðåíèå óãëîâ ñâîäèòñÿ ê èçìåðåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì äóã ñëåäóþùèì îáðàçîì. | |
| Óãîë. Èçìåðåíèå óãëîâ. | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.
Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:
Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r2. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.
Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.
Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как
угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.
Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.
| Стерадиан | Кв. градус | Кв. минута | Кв. секунда | Полный угол | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 стерадиан = | 1 | (180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов | (180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅107 кв. минут | (180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅1010 кв. секунд | 1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла |
| 1 кв. градус = | (π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10−4 стерадиан | 1 | 60² = = 3600 кв. минут | (60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд | π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10−5 полного угла |
| 1 кв. минута = | (π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10−8 стерадиан | 1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. градусов | 1 | 60² = = 3600 кв. секунд | π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10−9 полного угла |
| 1 кв. секунда = | (π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10−11 стерадиан | 1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10−8 кв. градусов | 1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. минут | 1 | π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10−12 полного угла |
| Полный угол = | 4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан | (2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов | (2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅108 кв. минут | (2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅1011 кв. секунд | 1 |
Вычисление телесных углов[править | править код]
Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен
где — сферические координаты элемента поверхности — его радиус-вектор, — единичный вектор, нормальный к
Свойства телесных углов[править | править код]
- Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
- Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.
Величины некоторых телесных углов[править | править код]
где — смешанное произведение данных векторов, — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
- Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
- Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы при вершине, как:
где — полупериметр.
Через двугранные углы телесный угол выражается как:
Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса
Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода[1]:
при
при где и — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;
— расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;
— высота конуса;
— длина максимальной образующей конуса;
Литература[править | править код]
- Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürich lecture, pp. 1—2, 1940.
- Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle (англ.) // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. — 1983. — Vol. 30. — P. 125—126. — ISSN 0018-9294. — doi:10.1109/TBME.1983.325207. — PMID 6832789. [исправить]
- Weisstein E. W. Solid Angle. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- Gardner R.P., Verghese K. On the solid angle subtended by a circular disc (англ.) // Nuclear Instruments and Methods. — 1971. — Vol. 93. — P. 163—167. — doi:10.1016/0029-554X(71)90155-8. — Bibcode: 1971NucIM..93..163G. [исправить]
См. также[править | править код]
- Угол
- Двугранный угол
- Трёхгранный угол
- Многогранный угол
Примечания[править | править код]
Каждый
угол имеет величину. Специального
названия для нее в геометрии нет.
Определение.
Величиной
угла называется положительная величина,
определенная для каждого угла так, что:
1) равные углы имеют равные величины; 2)
если угол состоит из двух углов, то его
величина равна сумме величин его частей.
Эти
свойства лежат в основе измерения
величины угла. Оно аналогично измерению
длины отрезка и состоит в сравнении
измеряемой величины угла с величиной
угла, принятой за единицу. Единичный
угол, а если нужно и его доли, откладываются
на угле, величина которого измеряется.
В результате получается численное
значение величины угла или мера величины
угла при данной единице измерения.
Число,
которое получается в результате измерения
величины угла, должно удовлетворять
ряду требований — они аналогичны
требованиям, предъявляемым к числовому
значению длины отрезка.
На
практике за единицу величины угла
принимают градус —
часть прямого угла. Один градус записывают
так: 1°. Величина прямого угла равна 90°,
величина развернутого — 180°.
Градус
делится на 60 минут, а минута на 60 секунд.
Одну минуту обозначают 1′, одну секунду
– 1».
Так, если мера величины угла равна 5
градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут
5°3’12». Если нужна большая точность в
измерении величин углов, используют и
доли секунды. Заметим, что часто вместо
«величина угла» говорят «угол». Например,
вместо «величина угла равна 45 градусам»
говорят, что «угол равен 45 градусам».
На
практике величины углов измеряют с
помощью транспортира. Для более точных
измерений пользуются и другими приборами.
3. Понятие площади фигуры и ее измерение
Каждый
человек представляет, что такое площадь
комнаты, площадь участка земли, площадь
поверхности, которую надо покрасить.
Он также понимает, что если земельные
участки одинаковы, то площади их равны;
что площадь квартиры складывается из
площади комнат и площади других ее
помещений.
Это
обыденное представление о площади
используется при ее определении в
геометрии, где говорят о площади фигуры.
Но геометрические фигуры устроены
по-разному, и поэтому, когда говорят о
площади, выделяют определенный класс
фигур. Например, рассматривают площадь
многоугольника, площадь произвольной
плоской фигуры, площадь поверхности
многогранника и др. В нашем курсе речь
будет идти только о площади многоугольника
и произвольной плоской фигуры.
Так
же, как и при рассмотрении длины отрезка
и величины угла, будем использовать
понятие «состоять из», определяя его
следующим образом: фигура F
состоит (составлена) из фигур F1
и F2,
если она является их объединением и у
них нет общих внутренних точек.
В
этой же ситуации можно говорить, что
фигура F
разбита на фигуры F1
и F2.
Например, о фигуре F,
изображенной на рисунке 2, а, можно
сказать, что она состоит из фигур F1
и F2,
поскольку они не имеют общих внутренних
точек. Фигуры F1
и F2
на рисунке 2, b
имеют общие внутренние точки, поэтому
нельзя утверждать, что фигура F
состоит из фигур F1
и F2.
Если фигура F
состоит из фигур F1
и F2,
то пишут: F=F1
F2.
Определение.Площадью
фигуры называется положительная
величина, определенная для каждой фигуры
так, что: 1) равные фигуры имеют равные
площади; 2) если фигура состоит из двух
частей, то ее площадь равна сумме площадей
этих частей.
Чтобы
измерить площадь фигуры, нужно иметь
единицу площади. Как правило, такой
единицей является площадь квадрата со
стороной, равной единичному отрезку.
Условимся площадь единичного квадрата
обозначать буквой Е, а число, которое
получается в результате измерения
площади фигуры – S(F).
Это число называют численным значением
площади фигуры F
при выбранной единице площади Е. Оно
должно удовлетворять условиям:
1.
Число S(F)
—
положительное.
2.
Если фигуры равны, то равны численные
значения их площадей.
3.
Если фигура F
состоит из фигур
F1
и F2,
то
численное значение площади фигуры равно
сумме численных значений площадей фигур
F1
и F2.
4.
При замене единицы площади численное
значение площади данной фигуры F
увеличивается (уменьшается) во столько
же раз, во
сколько
новая единица меньше (больше) старой.
5.
Численное значение площади единичного
квадрата принимается
равным
1, т.е. S(F)
= 1.
6.
Если фигура F1
является частью фигуры F2,
то численное значение площади фигуры
F1
не больше численного значения площади
фигуры F2,
т.е. F1
F2
S (F1)
≤ S (F2)
.
В
геометрии доказано, что для многоугольников
и произвольных плоских фигур такое
число всегда существует и единственно
для каждой фигуры.
Фигуры,
у которых площади равны, называются
равновеликими.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #