Какими свойствами обладает сложение матриц

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Определение

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

$$A_{m times n}=B_{m times n} Leftrightarrow a_{i j}=b_{i j}, i=overline{1, m} ; j=overline{1, n}$$

Пример

$A=left( begin{array}{cc}{2} & {3}end{array}right)$, $B=left( begin{array}{cc}{4-2} & {2+1}end{array}right)$.
Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: $A_{1 times 2}$ и $B_{1 times 2}$, а также соответствующие элементы:
$a_{11}=2=b_{11}=4-2=2$; $a_{12}=3=b_{12}=2+1=3$

Пример

Задание. Пусть задана матрица $A=left( begin{array}{ll}{a} & {c} \ {b} & {d}end{array}right)$ .
Найти все элементы матрицы $A$, если известно, что она равна матрице
$B=left( begin{array}{rr}{-1} & {3} \ {0} & {0}end{array}right)$

Решение. Так как матрицы $A$ и $B$ равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Ответ. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Произведение матрицы на число

Определение

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением
каждого ее элемента на заданное число.

Пример

Задание. Пусть $A=left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)$. Найти матрицу $2A$.

Решение. $2 A=2 cdot left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)=left( begin{array}{c}{2 cdot 3} \ {2 cdot(-1)}end{array}right)=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$

Ответ. $2 A=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$

Подробная теория про умножение марицы на число по
ссылке.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица
$C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Пример

Задание. Найти $A+B$, если
$A=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)$,
$B=left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)$

Решение. $C=A+B=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)+left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)=$

$=left( begin{array}{rrr}{1+5} & {-2+2} & {4+3} \ {2+4} & {0+6} & {-1+2}end{array}right)=left( begin{array}{ccc}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$

Ответ. $C=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$

Операции умножение матрицы на число и
сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы $A$, $B$ и $C$ — матрицы одного размера.

Ассоциативность $(A+B)+C=A+(B+C)$
$A+Theta=Theta+A$, где $Theta$ —
нулевая матрица соответствующего размера.
$A-A=Theta$
Коммутативность $A+B=B+A$
Дистрибутивность $lambda(A+B)=lambda A+lambda B$
$(lambda+mu) A=lambda A+mu A$
$(lambda mu) A=lambda(mu A)$

Произведение двух матриц

Определение

Произведением матрицы $A_{m times n}$ на матрицу $B_{n times k}$ называется матрица
$C_{m times k}$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце,
т.е. элемент $C_{ij}$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$
на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Пример

Задание. Найти $AB$, если
$A=left( begin{array}{rrr}{1} & {2} & {0} \ {3} & {1} & {-1}end{array}right)$ ,
$B=left( begin{array}{l}{1} \ {2} \ {3}end{array}right)$

Решение. Так как $A=A_{2 times 3}$, а
$B=B_{3 times 1}$, то в результате получим матрицу размера
$C=C_{2 times 1}$, т.е. матрицу вида
$C=left( begin{array}{c}{c_{11}} \ {c_{21}}end{array}right)$ . Найдем элементы данной матрицы:

$c_{11}=a_{11} cdot b_{11}+a_{12} cdot b_{21}+a_{13} cdot b_{31}=1 cdot 1+2 cdot 2+0 cdot 3=5 $
$c_{21}=a_{21} cdot b_{11}+a_{22} cdot b_{21}+a_{23} cdot b_{31}=3 cdot 1+1 cdot 2+(-1) cdot 3=2 $

Таким образом, получаем, что:

$C=A B=left( begin{array}{l}{5} \ {2}end{array}right)$

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

$A B=left( begin{array}{ccc}{1} & {2} & {0} \ {3} & {1} & {-1}end{array}right)_{2 times 3} cdot left( begin{array}{l}{1} \ {2} \ {3}end{array}right)_{3 times 1}=left( begin{array}{c}{1 cdot 1+2 cdot 2+0 cdot 3} \ {3 cdot 1+1 cdot 2+(-1) cdot 3}end{array}right)$

Ответ. $C=A B=left( begin{array}{l}{5} \ {2}end{array}right)$

Свойства произведения матриц:

Ассоциативность $(A cdot B) cdot C=A cdot(B cdot C)$
Ассоциативность по умножению $(mu cdot A) cdot B=mu cdot(A cdot B)$
Дистрибутивность $A cdot(B+C)=A cdot B+A cdot C$ , $(A+B) cdot C=A cdot C+B cdot C$
Умножение на единичную матрицу $E_{m} cdot A_{m times n}=A_{m times n} cdot E_{n}=A_{m times n}$
В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $A B neq B A$
$E A=A$

Транспонирование матриц

Определение

Транспонирование матрицы — это операция над матрицей, когда ее строки становятся
столбцами с теми же номерами.

Пример

Задание. Найти транспонированную матрицу $A^{T}$,
если $A=left( begin{array}{rrr}{1} & {3} & {7} \ {2} & {4} & {-1}end{array}right)$

Решение. $A^{T}=left( begin{array}{rrr}{1} & {3} & {7} \ {2} & {4} & {-1}end{array}right)^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {3} & {4} \ {7} & {-1}end{array}right)$

Свойства транспонирования матриц:

$left(A^{T}right)^{T}=A $
$(lambda cdot A)^{T}=lambda cdot A^{T} $
$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} $
$(A cdot B)^{T}=B^{T} cdot A^{T} $

Читать дальше: умножение матрицы на число.

Вы поняли, как решать? Нет?

Источник

Сами по себе матрицы, как таблицы чисел, не представляли бы никакого интереса, если бы с ними не возможно было производить действия. В этой статье мы познакомимся с основными действиями (операциями) над матрицами: сложением и вычитанием матриц, умножением матрицы на число, умножением матриц, транспонированием матриц.

Содержание

Сложение матриц
Сумма матриц
Пример нахождения суммы матриц
Вычитание матриц
Разность матриц
Пример нахождения разности матриц
Умножение матрицы на число (скаляр)
Произведение матрицы на число
Пример нахождения произведения матрицы на число (скаляр)
Противоположная матрица
Теорема о единственности противоположной матрицы
Свойства операций сложения, вычитания и умножения матриц на число
Умножение матриц
Произведение матриц
Пример нахождения произведения матриц
Перестановочные матрицы
Свойства операции умножения матриц
Транспонирование матриц
Пример транспонирования матрицы
Элементарные преобразования над матрицами
Каноническая форма матрицы

На множестве матриц одного и того же размера можно ввести внутреннюю бинарную операцию сложение матриц, при такой операции двум матрицам и одинакового размера ставится в соответствие матрица того же размера, матрицу-результат будем называть суммой матриц и обозначать

Определение 1. Суммой матриц $A^{}_{m times n}=(a^{}_{ij})$ и $B^{}_{m times n}=(b^{}_{ij})$ называется матрица $C^{}_{m times n}=(c^{}_{ij}),$ где каждый элемент $c^{}_{ij}=a^{}_{ij}+b_{ij}^{},$ т.е.

$left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}\[.5ex]a^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] a^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}end{array}!!right)+$ $left(!!begin{array}{cccc}b^{}_{1 1}! &b^{}_{1 2}!&ldots!&b^{}_{1 n}\[.5ex]b^{}_{2 1}! &b^{}_{2 2}!&ldots!&b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] b^{}_{m 1}! &b^{}_{m 2}!&ldots!&b^{}_{m n}end{array}!!right)=$

$=left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}+b^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}+b^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}+b^{}_{1 n} \[.5ex] a^{}_{2 1}+b^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}+b^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n}+b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots \[.35ex] a^{}_{m 1}+b^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}+b^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}+b^{}_{m n}end{array}!!right)$

Таким образом, для нахождения суммы матриц надо сложить их соответствующие элементы.

Например,

$left(!!begin{array}{ccc}3 &10& 0\[.35ex] -5&2&3end{array}!!right)+$ $left(!!begin{array}{ccc}1 &4& -2\[.35ex] 3&12&-3end{array}!!right)=$

$=left(!!begin{array}{ccc}3+1 &10+4& 0+(-2)\[.35ex] -5+3&2+12&3+(-3)end{array}!!right)=$ $left(!!begin{array}{ccc}4 &5& -2\[.35ex] 2&14&0end{array}!!right).$

Аналогичным образом на множестве матриц одного и того же размера вводится внутренняя бинарная операция вычитание матриц, при такой операции двум матрицам и одинакового размера ставится в соответствие матрица того же размера, матрицу-результат будем называть разностью матриц и и для обозначения использовать запись

Определение 2. Разностью матриц $A^{}_{m times n}=(a^{}_{ij})$ и $B^{}_{m times n}=(b^{}_{ij})$ называется матрица $C^{}_{m times n}=(c^{}_{ij}),$ где $c^{}_{ij}=a^{}_{ij}-b_{ij}^{},$ т.е.

$left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}\[.5ex]a^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] a^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}end{array}!!right)-$ $left(!!begin{array}{cccc}b^{}_{1 1}! &b^{}_{1 2}!&ldots!&b^{}_{1 n}\[.5ex]b^{}_{2 1}! &b^{}_{2 2}!&ldots!&b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] b^{}_{m 1}! &b^{}_{m 2}!&ldots!&b^{}_{m n}end{array}!!right)=$

$=left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}-b^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}-b^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}-b^{}_{1 n} \[.5ex] a^{}_{2 1}-b^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}-b^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n}-b^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots \[.35ex] a^{}_{m 1}-b^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}-b^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}-b^{}_{m n}end{array}!!right)$

Таким образом, для нахождения разности двух матриц надо от элементов первой матрицы вычесть соответствующие элементы второй матрицы.

Например,

$left(!!begin{array}{ccc}5 &0& -3\[.35ex] -15&2&3end{array}!!right)-$ $left(!!begin{array}{ccc}10 &-4& -2\[.35ex] 3&7&0end{array}!!right)=$

$=left(!!begin{array}{ccc}5-10 &0-(-4)& -3-(-2)\[.35ex] -15-3&2-7&3-0end{array}!!right)=$ $left(!!begin{array}{ccc}-5&4& -1\[.35ex] -18&-5&3end{array}!!right).$

На множестве матриц введем внешнюю бинарную операцию умножение матрицы на число, при такой операции матрице и числу ставится в соответствие матрица того же размера, что и матрица Матрицу-результат будем называть произведением матрицы на число и обозначать

Определение 3. Произведением матрицы $A^{}_{m times n}=(a^{}_{ij})$ на число называется матрица $B^{}_{m times n}=(b^{}_{ij}),$ где $b^{}_{ij}=alpha a^{}_{ij},$ т.е.

$alpha left(!!begin{array}{cccc}a^{}_{1 1}! &a^{}_{1 2}!&ldots!&a^{}_{1 n}\[.5ex]a^{}_{2 1}! &a^{}_{2 2}!&ldots!&a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] a^{}_{m 1}! &a^{}_{m 2}!&ldots!&a^{}_{m n}end{array}!!right)=$ $left(!!begin{array}{cccc} alpha a^{}_{1 1}! & alpha a^{}_{1 2}!&ldots!& alpha a^{}_{1 n} \[.5ex] alpha a^{}_{2 1}! & alpha a^{}_{2 2}!&ldots!& alpha a^{}_{2 n} \[.5ex]ldots! &ldots!&ldots!&ldots\[.35ex] alpha a^{}_{m 1}! & alpha a^{}_{m 2}!&ldots!& alpha a^{}_{m n}end{array}!!right).$

Таким образом, для нахождения произведения матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на число

Например,

$3left(!!begin{array}{ccc}2 &5& 0\[.35ex] -2&1&5end{array}!!right)=$ $left(!!begin{array}{ccc}3cdot 2 &3cdot 5& 3cdot 0\[.35ex] 3cdot(-2)&3cdot 1&3cdot 5end{array}!!right)=$ $left(!!begin{array}{ccc}6&15& 0\[.35ex] -6&3&15end{array}!!right).$

Противоположная матрица

Определение 4. Противоположной матрицей к матрице называется матрица, обозначаемая такая, что где — нулевая матрица того же размера, что и матрица

Теорема 1. Каждая матрица имеет единственную противоположную матрицу, причем

Доказательство. Пусть $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ произвольная матрица. Тогда из задания операций сложения матриц и умножения матрицы на число, следует, что для матрицы существует противоположная матрица

$(a_{ij})_{mtimes n}+(-1)(a_{ij})_{mtimes n}=$ $(a_{ij})_{mtimes n}+(-a_{ij})_{mtimes n}=$

$=(a_{ij}+(-a_{ij}))_{mtimes n}=$ $(a_{ij}-a_{ij})_{mtimes n}=$ $(0)_{mtimes n}=O_{mtimes n}.$

Докажем единственность противоположной матрицы. Предположим, что матрица имеет противоположную матрицу $B_{mtimes n}=(b_{ij}),$ отличную от матрицы Тогда

$(a_{ij})_{mtimes n}+(b_{ij})_{mtimes n}=Oiff$ $(a_{ij}+b_{ij})=Oiff$

$iff a_{ij}+b_{ij}=0,$

$iff b_{ij}=-a_{ij},$

Мы получили, что каждый элемент $b_{ij}$ матрицы равен соответствующему элементу матрицы а значит, матрицы и равны. Полученное противоречие (по предположению матрицы и не равны) доказывает то, что у матрицы не существует противоположной матрицы отличной от

Разность матриц и можно определить через сумму матрицы и противоположной матрицы

Пусть и произвольные матрицы размера а и любые действительные числа, тогда справедливы следующие утверждения.

На множестве матриц вводится операция (действие) умножение матриц. При умножении матрицы размера и матрицы размера им ставится в соответствие матрица $C_{mtimes n}$ размера называемая произведением матрицы на матрицу Для обозначения матрицы произведения используется запись или

Определение 5. Произведением матрицы $A_{mtimes k}$ на матрицу $B_{ktimes n}$ называется матрица $C_{mtimes n}=(c_{ij}),$ где

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ldots+$ $a_{i,k-1}b_{k-1,j}+a_{ik}b_{kj},$

Таким образом, для того чтобы найти матрицу-произведение надо вычислить все ее элементы. При этом, для элемента $c_{ij},$ находящегося в -ой строке и -ом столбце матрицы-произведения (матрицы ), надо взять элементы -ой строки первой матрицы (матрицы ) и умножить их на соответствующие элементы -го столбца второй матрицы (матрицы ), полученные произведения следует сложить (рис. 1). Произведение можно найти лишь в том случае, когда количество столбцов матрицы совпадает с количеством строк матрицы У матрицы-произведения количество строк совпадает с количеством строк первой матрицы (матрицы ), а количество столбцов совпадает с количеством столбцов второй матрицы (матрицы ).

действия над матрицами

Рис. 1

Заметим, что произведение в общем случае не совпадает с произведением более того, иногда одно из этих произведений может и не существовать.

Например, для матриц

$A=left(!!!begin{array}{cc} 1&2\[0.5ex]3&-1end{array} !!!right), B=left(!!!begin{array}{ccc} 0&1&3\[0.5ex]2&-2&1end{array} !!!right)$

произведение

$AB=left(!!!begin{array}{cc} 1&2\[0.5ex]3&-1end{array} !!!right)left(!!!begin{array}{ccc} 0&1&3\[0.5ex]2&-2&1end{array} !!!right)=$

$=left(!!!begin{array}{ccc} 1cdot 0+2cdot 2 &1cdot 1+2cdot(-2) &1cdot 3+2cdot 1\[0.5ex] 3cdot 0+(-1)cdot 2 &3cdot 1+(-1)cdot(-2) &3cdot 3+(-1)cdot 1 end{array} !!!right)= left(!!!begin{array}{ccc} 4&-3&5\[0.5ex] -2&5&8 end{array} !!!right).$

В этом примере произведение не определено, так как у матрицы число столбцов — 3, а у матрицы две строки.

Определение 6. Если то матрицы и называются перестановочными матрицами.

Свойства операции умножения матриц

Каждой матрице размера можно поставить в соответствие транспонированную матрицу размера у которой каждая строка с номером будет состоять из элементов (в порядке их следования) столбца с номером матрицы Такая операция называется транспонированием матрицы.

Например,

$A=left(!!! begin{array}{cc} 1&5\[0.5ex] 2&-3\[0.5ex] 0&-5 end{array}!!! right),quad A^T=left(!!! begin{array}{ccc} 1&2&0\[0.5ex] 5&-3&-5 end{array}!!! right).$

Выделим преобразования матрицы, которые принято называть элементарными:

Перестановка местами строк (столбцов) матрицы;
Умножение или деление на ненулевое число всех элементов строки (столбца) матрицы;
Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) умноженных на один и тот же скаляр (число).

Определение 7. Если матрица получается из матрицы с помощью элементарных преобразований, то матрицы и называются эквивалентными матрицами.

Если матрицы и эквивалентны, то это будем записывать следующим образом:

Элементарные преобразования над матрицами обычно применяются для перехода от матрицы к эквивалентной ей матрице в канонической форме (матрице у которой в начале главной диагонали находятся подряд несколько единиц), что позволяет определить ранг матрицы. Так же проведение таких преобразований над строками матриц позволяет перейти от матрицы к эквивалентной ей ступенчатой матрице, что широко применяется в методе Гаусса решения систем линейных уравнений.

Источник

Формула

Сложение матриц $ A $ и $ B $ это арифметическая операция, в результате которой, должна получаться матрица $ C $, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц:

$$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$

Более подробно формула сложения двух матриц выглядит так:

$$ A + B = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} + begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ b_{21} & b_{22} & b_{23} \ b_{31} & b_{32} & b_{33} end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} end{pmatrix} = C $$

Обратите внимание, что складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности. При сумме или разности будет получаться матрица $ C $ такой же размерности как и слагаемые (вычитаемые) матрицы $ A $ и $ B $. Если матрицы $ A $ и $ B $ отличаются друг от друга размерами, то сложение (вычитание) таких матриц будет ошибкой!

В формуле складываются матрицы 3 на 3, значит и получиться должна матрица 3 на 3.

Вычитание матриц полностью аналогично по алгоритму сложения, только знак минус. Каждый элемент искомой матрицы $ C $ получается благодаря вычитанию соответствующих элементов матриц $ A $ и $ B $:

$$ c_{ij} = a_{ij} — b_{ij} $$

Запишем подробную формулу вычитания двух матриц:

$$ A — B = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{pmatrix} — begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \ b_{21} & b_{22} & b_{23} \ b_{31} & b_{32} & b_{33} end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} a_{11} — b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} end{pmatrix} = C $$

Стоит так же заметить, что нельзя складывать и вычитать матрицы с обычными числами, а так же с другими какими-то элементами

Будет полезно знать для дальнейших решений задач с матрицами знать свойства сложения (вычитания).

Свойства

Если матрицы $ A,B,C $ одинаковые по размеру, тогда для них действует свойство ассоциативности: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
Для каждой матрицы существует нулевая матрица, обозначаемая $ O $, при сложении (вычитании) с которой исходная матрица не изменяется: $$ A pm O = A $$
Для каждой ненулевой матрицы $ A $ есть противоположная матрица $ (-A) $ сумма с которой обращается в нуль: $$ A + (-A) = 0 $$
При сложении (вычитании) матриц допустимо свойство коммутативности, то есть матрицы $ A $ и $ B $ можно менять местами: $$ A + B = B + A $$ $$ A — B = B — A $$

Примеры решений

Пример 1

Даны матрицы $ A = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} $ и $ B = begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} $.

Выполнить сложение матриц, а затем вычитание.

Решение

Первым делом проверяем матрицы на размерность. У матрицы $ A $ размерность $ 2 times 2 $, у второй матрицы $ B $ размерность тоже $ 2 times 2 $. Это значит, что с данными матрицами можно провести совместную операцию по сложению и вычитанию.

Напомним, что для суммы нужно выполнить попарное сложение соответствующих элементов матриц $ A text{ и } B $.

$$ A + B = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 + (-3) \ -1 + 2 & 4 + 5 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3 & 0 \ 1 & 9 end{pmatrix} $$

Аналогично сумме находим разность матриц с помощью замены знака «плюс» на «минус»:

$$ A — B = begin{pmatrix} 2&3 \ -1& 4 end{pmatrix} + begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&5 end{pmatrix} = $$

$$ = begin{pmatrix} 2 — 1 & 3 — (-3) \ -1 — 2 & 4 — 5 end{pmatrix} = begin{pmat