Какими свойствами обладает система аксиом колмогорова

1.Система аксиом Колмогорова непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые удовлетворяют одновременно всем аксиомам Колмогорова.

2. Система аксиом Колмогорова неполна. Это значит, что даже при одном множестве элементарных событий U вероятности на множестве F могут быть выбраны многими различными способами.

Неполнота системы аксиом Колмогорова не является недостатком, а, наоборот, обеспечивает ее возможность её широкого практического применения, так как позволяет в разных задачах рассматривать одинаковые множества случайных событий с различными вероятностями. Это можно проиллюстрировать известным парадоксом Бертрана. Пусть для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Бертран утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно, т. e. различные методы приводят к разным результатам.

21.Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновоз-можных элементарных событий (исходов) В,, В2, …, Вп, т. е. совокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, причем пусть интересующее нас случайное событие Аосуществляется тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элементарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события А, насчитывается т (естественно, т<п). Тогда вероятность события А определяют следующим образом:

Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благо-приятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

P*(A)=m/n

Поскольку в общем случае 0 < т < п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайного события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е.

0≤ Р(А)≤1

Классическое определение вероятности.Если при испытаниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайноесобытие появлялось бы чаще других (равновозможные события), можно определить вероятность исходя из теоретических соображений. Например, выясним в случае бросания монеты частоту выпадания герба (событиеА). Разными экспериментаторамипри нескольких тысячах испытаний было показано, что относительная частота такого события принимает значения, близкие к0,5. Учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, если монета симметрична, суждение Р(А) = Р(В) = 0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе понятия «равновозможности» событий формулируется другое определение вероятности.

Допустим, что в результате испытания должно произойти только одно изп равновозможных несовместных событий(несовместными называют события, если их одновременное осуществление невозможно). Пусть рассматриваемое событие А происходит вт случаях, которые называются благоприятствующими А, ине происходит при остальных п — т, неблагоприятствующих А. Тогдавероятностью можно назвать отношение благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных несовместных событий:

Р(А) = m/n

22. Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

— число испытаний, в которых появилось событие А;

— общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A1 + A2 + … + An) = Р (A1) + Р (A2) + … + Р (An).

23. Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

24.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого события.

Пример 10.Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие — попадание 1-го стрелка в мишень и событие — попадание 2-го стрелка в мишень. Эти события совместные, так как возможна ситуация, когда оба стрелка попадут в мишень.

Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них е исключает появление другого события.

Источник

Сначала дадим ряд вспомогательных понятий и определений.

Определение 1. Пусть Ω – пространство элементарных событий. Составим множество F из всех подмножеств Ω. Пусть множество всех возможных событий F удовлетворяет следующим двум условиям:

1) если и .

2) для любого события имеет место включение .

Класс F случайных событий, удовлетворяющих этим условиям, называется F — алгеброй событий.

Комментарий. В случае, если Ω конечно и содержит n элементарных событий, F содержит 2nсобытий.

Определение 2. Пусть Ω – пространство элементарных событий, F – алгебра событий. Будем называть F σ-алгеброй событий, если для любой счетной последовательности случайных событий {Ai}, i = 1,2,…, AiF, их объединение , т.е. является случайным событием.

(Здесь счетное множество событий, то есть такое множество, элементы которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел.) Из принципа двойственности следует, что и . Любая σ — алгебрасобытий является алгеброй событий, но не наоборот.

А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий и распространил первое свойство F — алгебрына счетное число событий из σ-алгебрысобытий. Это дало ему возможность дать общее аксиоматическое определение вероятности события.

Аксиомы Колмогорова. Аксиоматическая теория Колмогорова основывается на пяти аксиомах, с помощью которых вводятся понятия вероятности и некоторые их свойства как для конечного множества элементарных событий, так и для любого бесконечного множества. Вот эти аксиомы:

1. Каждому событию А, принадлежащему F, ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), которое называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события Р(F) = 1.

3. Вероятность невозможного события Р(Ø) = 0.

4. Аксиома сложения. Еслипопарно не совместны, то

5. Расширенная аксиома сложения. Если попарно не совместны, то(Здесь счетное множество действий).

Определение 3. Пространство элементарных событий Ω, σ-алгебра событий F и вероятность Р(·) на F, удовлетворяющие 5-ти аксиомам вероятности определяют вероятностное пространство, обозначаемое (Ω, F, P).

Свойства системы аксиом Колмогорова.

Первый метод:

Случайным образом (равномерно) в данном круге выбирается точка. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны нашего плавильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно, площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4. Так что этот метод дает ответ 1/4.

Второй метод:

Исходя из соображений симметрии, можем считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного треугольника. Выберем другой конец случайно. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. Так что искомая вероятность теперь равна 1/З.

Получение разных результатов кажется парадоксальным, так как было убеждение, что слова «случайный выбор» однозначно определяют искомую вероятность. Парадокс показывает, что возможны различные способы выбора случайным образом, причем каждый способ выглядит по-своему «естественным». Фактически это означает, что в зависимости от того, что именно мы понимаем под словами «Случайным образом (равномерно)», вероятности могут быть выбраны многими различными способами.

Источник

Раздел 18.3. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов.

Аксиоматика Колмогорова

Вопросы для самоконтроля

1.Что такое σ-алгебра событий?

2.Что такое вероятностное пространство.

3.Сформулируйте аксиомы вероятности и дайте ее определение по А.Н.Колмогорову

Литература по теме 1(3)

А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики» Часть I, п.6

Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» Глава 1, п.6

В.Феллер Введение в теорию вероятностей и ее применение т.2, глава IV, п.3

Нередко встречаются случаи, когда невозможно выписать явные формулы для вероятностей произвольных событий. Такова ситуация, когда пространство элементарных событий является несчетным множеством. В таком случае вероятность можно изучать, лишь сформулировав общие свойства, которые присущи вероятностям любых событий.

«Итак, назовем новое учение, цель которого состоит в том, чтобы давать определенное знание о случайных, неопределенных событиях, теорией вероятностей. Что же касается того, является ли теория вероятностей областью математики, то весь вопрос сводится к следующему: что мы подразумеваем под математикой? Если под математикой подразумевают только традиционные ее разделы – геометрию, арифметику и алгебру, то, конечно, в таком узком определении нет места ни для какой новой ветви. Я же в этом вопросе согласен с Декартом, который утверждал, что все исследования , направленные на изучение порядка и меры, принадлежат математике, независимо от того, что является их предметом и к чему относятся рассматриваемые порядок и мера»

(Блез Паскаль, из письма к Пьеру Ферма от 28 октября 1654 г.)

До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана). Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале текущего (20-го) столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки , являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же е развитие должно строиться посредством дедукции из основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам «согласно здравому смыслу» Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом также, как любая сформировавшаяся математическая наука — геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т.д.

Впервые подобная идея была высказана и развита советским математиком С.Н.Бернштейном . При этом С.Н.Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.

Имеется иной подход, предложенный А.Н.Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной математической теорией функций, а также теорией множеств.

… аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в т же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.» (Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей»)

Таким образом, теория вероятностей является полноправной математической дисциплиной и, соответственно, нуждается в аксиоматической системе в качестве своего основания. Это должен быть набор аксиом (постулатов), принимаемых нами без доказательств, удовлетворяющих (в идеале) следующим трем условиям:

1) Независимость (любую из принятых аксиом нельзя вывести из остальных, так, что выведенная из других аксиома является не аксиомой, а теоремой)

2) Непротиворечивость (система аксиом не порождает противоречащих друг другу утверждений)

3) Полнота (систему нельзя дополнить независимым от уже принятых аксиом утверждений)

С другой стороны, введение определения вероятности «по классическому принципу» уже в случае геометрической вероятности приводит к тому, что вероятность любо элементарного события (исхода) – попадание в конкретную точку области — оказывается равной нулю.

Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных событий Ω, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех ранее данных определений вероятности (классического, статистического и геометрического).

Напоминание. Свойства вероятности

1) Р(А) ≥ 0

2) Р(Ω) = 1

3) Р( А1 + А2 +… Аm) = P (А1 )+P( А2 )+… P(Аm), при условии, что события А1 , А2 ,… Аm попарно несовместны.

Эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3) постулируется для счетного множества попарно несовместных событий.

Определение 18.3.1.Совокупность подмножеств множества Ω (событий) называется σ-алгеброй (событий) A, если выполнены следующие условия:

1) Ω є A

2) Если множества (события) Аi є A, i = 1, 2, 3, …, то Σ∞i=1 Ai є A

3) Если множество (событие) А є A, то и Ā є А

Замечание. Совокупность множеств (событий) называется (просто) алгеброй (событий), если для этих множеств выполняются условия 1) и 3), а условие 2) формулируется следующим образом: Если А1 є Aи А2 є A, то А1 + А2 є A Нетрудно видеть, что данное условие слабее, так как оно следует из условия для σ-алгебры.

Определение 18.3.2.(аксиоматическое определение вероятности). Пусть каждому событию А (то есть подмножеству А пространства элементарных событий Ω, принадлежащему σ-алгебре (событий) А, поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р , заданную на σ-алгебре (событий) А, называют вероятностью (вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Система аксиом Колмогорова

1. Аксиома I. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью

2. Аксиома II. Аксиома II Р(Ω) = 1

3. Аксиома III (аксиома сложения) Р( А1 + А2 +… Аm) = P (А1 )+P( А2 )+… P(Аm), при условии, что события А1 , А2 ,… Аm попарно несовместны

Замечание. Система аксиом Колмогорова является непротиворечивой (существуют реальные объекты, удовлетворяющие этой системе), но неполной, поскольку даже для одного и того же вероятностного пространства Ω вероятности в множестве (σ-алгебре) А могут выбираться различными способами

В современных пособиях система аксиом выглядит, как правило, следующим образом:

1) Аксиома I (Аксиома неотрицательности) Р(А) ≥ 0

2) Аксиома II (Аксиома нормированности) Р(Ω) = 1

3) Аксиома III (Расширенная аксиома сложения) Для любых попарно несовместных Р( А1 + А2 +… Аm+…) = P (А1 )+P( А2 )+… P(Аm)+…

Замечание 18.3.1.. Вместо этой аксиомы могут использоваться Аксиома сложения и

4) Аксиома IV (Аксиома непрерывности) Если последовательность событий А1 , А2 ,… Аm ,… такова, что каждое событие является подмножеством следующего события и А1 + А2 +… Аm+… = А,

то lim P(Am ) = P(A) , n → ∞

Замечание 18.3.2. Необходимость введения расширенной аксиомы сложения связана с рассмотрением событий (множеств), образованных бесконечным числом исходов (точек).

Замечание 18.3.3. Расширенная аксиома сложения и аксиома непрерывности равносильны, иными словами они являются эквивалентными утверждениями (из аксиомы III следует аксиома IV и наоборот)

Определение 18.3.3. Значение Р(А) называют вероятностью события А

Определенная таким образом вероятность Р(А) удовлетворяет следующим свойствам:

1. Р(Ω) = 1

2. Р(Ø) = 0, Ø – пустое множество (невозможное событие)

3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1, А – произвольное событие

4. Р (Ā) = 1 — Р(А), Ā — событие, противоположное событию А

5. Если множество (событие) А1 является подмножеством множества (события) А2 , то P (А1 ) ≤ P( А2 ) («большему» событию соответствует большая вероятность)

6. Вероятность суммы (объединения) двух произвольных событий

Р( А1 + А2 ) = P (А1 ) + P( А2 ) — Р( А1 ∩ А2 ), А1 ∩ А2 — произведение (пересечение) событий А1 и А2 .

В случае, если события А1 и А2 несовместны,

Р( А1 + А2 ) = P (А1 ) + P( А2 )

Замечание 18.3.4.. Если пространство элементарных событий Ω является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ωi , i = 1, 2, … можно поставить в соответствие число Р, так что Σ∞i=1 рi =1 , где рi = Р(ωi )

Теперь рассмотрим случай, когда пространство элементарных событий Ω является множеством действительных чисел

R = (- ∞, + ∞). Для задания вероятности на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х є R непрерывную слева функцию F, удовлетворяющую условиям:

1. F ( — ∞ ) = lim F(x) = 0, x → — ∞

2. F ( + ∞ ) = lim F(x) = 1, x → + ∞

И каждому (множеству) событию Ах = ( — ∞, х) поставить в соответствие вероятность Р(Ах) = F(x), а событию А = [x1 , x2 ) – вероятность Р(А) = F(x1) — F(x2 ).

Найденная таким образом для всех событий А = [x1 , x2 ) числовая функция Р(А) удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам

Подытоживая, можно сказать, что вероятность оказывается не только интуитивно ясной, родственной частоте численной характеристикой события, но и абстрактной величиной, правилом, ставящим в соответствие событию некоторое число.

«Вероятности играют для нас ту же роль, что и массы в теоретической механике: можно обсуждать движение планетарной системы, не зная масс отдельных планет и не рассматривая методов их действительного измерения. Можно также с пользой (для прояснения сути дела) изучать гипотетическое движение планетарной системы. Точно также и вероятностные модели могут быть полезны даже в том случае, когда описывают объекты, которые не могут наблюдаться или не заслуживают наблюдения.»

(В.Феллер «Введение в теорию вероятностей и ее приложение»)

Определение 18.3.4.. Тройка (Ω, A, Р) называется вероятностным пространством

Замечание 18.3.5. Таким образом , понятие вероятностного пространства объединяет понятия исхода эксперимента, события и его вероятности.

Забегая вперед, можно сказать, что вероятностное пространство представлено двум множествами: пространством элементарных событий Ω, являющимся областью определения (функции) случайной величины, множеством подмножеств из Ω — σ-алгеброй А, являющейся областью определения функции «вероятность» и самой вероятности.

Отвлеченное приложение.

Самое интересное.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник