Какими свойствами обладает произведение вектора на число
Определение векторного произведения
Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a→, b→, c→ в трехмерном пространстве.
Отложим для начала векторы a→, b→, c→ от одной точки. Ориентация тройки a→, b→, c→ бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c→. От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a→ к b→ с конца вектора c→, будет определен вид тройкиa→, b→, c→.
Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a→, b→, c→ называется правой, если по часовой стрелке – левой.
Далее возьмем два не коллинеарных вектора a→ и b→. Отложим затем от точки A векторы AB→=a→ и AC→=b→. Построим вектор AD→=c→, который одновременно перпендикулярный одновременно и AB→ и AC→. Таким образом, при построении самого вектора AD→=c→ мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
Упорядоченная тройка векторов a→, b→, c→ может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.
Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение 1
Векторным произведением двух векторов a→ и b→ будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:
- если векторы a→ и b→ коллинеарны, он будет нулевым;
- он будет перпендикулярен и вектору a→ и вектору b→ т.е. ∠a→c→=∠b→c→=π2 ;
- его длина определяется по формуле: c→=a→·b→·sin∠a→,b→;
- тройка векторов a→, b→, c→ имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.
Векторное произведение векторов a→ и b→ имеет следущее обозначение: a→×b→.
Координаты векторного произведения
Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.
Определение 2
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz) называют вектор c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, где i→, j→, k→ являются координатными векторами.
Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i→, j→, k→, вторая строка содержит координаты вектора a→, а третья – координаты вектора b→ в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz
Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→==a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→
Свойства векторного произведения
Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz, то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:
- антикоммутативность a→×b→=-b→×a→;
- дистрибутивность a(1)→+a(2)→×b=a(1)→×b→+a(2)→×b→ или a→×b(1)→+b(2)→=a→×b(1)→+a→×b(2)→;
- ассоциативность λ·a→×b→=λ·a→×b→ или a→×(λ·b→)=λ·a→×b→, где λ — произвольное действительное число.
Данные свойства имеют не сложные доказательства.
Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.
Доказательство антикоммутативности
По определению a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz и b→×a→=i→j→k→bxbybzaxayaz. А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно,a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz =-i→j→k→bxbybzaxayaz=-b→×a→, что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения
В большинстве случаев встречаются три типа задач.
В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулойc→=a→·b→·sin∠a→,b→ .
Пример 1
Найдите длину векторного произведения векторов a→ и b→, если известноa→=3, b→=5, ∠a→,b→=π4.
Решение
С помощью определения длины векторного произведения векторов a→ и b→ решим данную задач: a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→=3·5·sinπ4=1522.
Ответ: 1522.
Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz).
Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a→ и b→, а их разложения по координатным векторам вида b→=bx·i→ +by·j→+bz·k→ и c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, или векторы a→ и b→ могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 2
В прямоугольной системе координат заданы два вектора a→=(2; 1; -3), b→=(0; -1; 1). Найдите их векторное произведение.
Решение
По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→==(1·1-(-3)·(-1))·i→+((-3)·0-2·1)·j→+(2·(-1)-1·0)·k→==-2i→-2j→-2k→.
Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→21-30-11=-2i→-2j→-2k→.
Ответ: a→×b→=-2i→-2j→-2k→.
Пример 3
Найдите длину векторного произведения векторов i→-j→ и i→+j→+k→, где i→, j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение
Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i→-j→×i→+j→+k→ в данной прямоугольной системе координат.
Известно, что векторы i→-j→ и i→+j→+k→ имеют координаты (1; -1; 0) и (1; 1; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i→-j→×i→+j→+k→=i→j→k→1-10111=-i→-j→+2k→.
Следовательно, векторное произведение i→-j→×i→+j→+k→ имеет координаты (-1; -1; 2) в заданной системе координат.
Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i→-j→×i→+j→+k→=-12+-12+22=6.
Ответ: i→-j→×i→+j→+k→=6..
Пример 4
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A(1,0,1), B(0,2,3), C(1,4,2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный AB→ и AC→ одновременно.
Решение
Векторы AB→ и AC→ имеют следующие координаты (-1; 2; 2) и (0; 4; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов AB→ и AC→, очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к AB→ и к AC→, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его AB→×AC→=i→j→k→-122041=-6i→+j→-4k→.
Ответ: -6i→+j→-4k→. — один из перпендикулярных векторов.
Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.
Пример 5
Векторы a→ и b→ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→.
Решение
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→
По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→==3·a→×a→+3·(-2)·a→×b→+(-1)·b→×a→+(-1)·(-2)·b→×b→==3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→
Векторные произведения a→×a→ и b→×b→ равны 0, так как a→×a→=a→·a→·sin0=0 и b→×b→=b→·b→·sin0=0, тогда 3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→=-6·a→×b→-b→×a→..
Из антикоммутативности векторного произведения следует -6·a→×b→-b→×a→=-6·a→×b→-(-1)·a→×b→=-5·a→×b→..
Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3·a→-b→×a→-2·b→==-5·a→×b→.
По условию векторы a→ и b→ перпендикулярны, то есть угол между ними равен π2. Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3·a→-b→×a→-2·b→=-5·a→×b→==5·a→×b→=5·a→·b→·sin(a→,b→)=5·3·4·sinπ2=60.
Ответ: 3·a→-b→×a→-2·b→=60.
Геометрический смысл векторного произведения
Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→. Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a→ и b→, отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin∠a→,b→.
Это и есть геометрический смысл векторного произведения.
Физический смысл векторного произведения
В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.
Определение 3
Под моментом силы F→, приложенной к точке B, относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение AB→×F→.
В данной теме мы подытожим раздел векторы, опишем все действия, которые
можно совершать над векторами и какими свойствами они обладают.
Действия над векторами
Определение
Вектором называется направленный отрезок $overline{A B}$ ,
где точка $A$ — начало, точка
$B$ — конец вектора.
Суммой $overline{a}+overline{b}$ векторов
$overline{a}$ и
$overline{b}$ называют такой третий вектор
$overline{c}$, начало которого совпадает с началом
$overline{a}$, а конец — с концом
$overline{b}$ при условии, что конец вектора
$overline{a}$ и начало вектора
$overline{b}$ совпадают.
Свойства операции сложения:
1° $overline{a}+overline{b}=overline{b}+overline{a}$ — коммутативность
2° $(overline{a}+overline{b})+overline{c}=overline{a}+(overline{b}+overline{c})$ — ассоциативность
3° $overline{a}+overline{0}=overline{a}$
4° $overline{a}+(-overline{a})=overline{0}$
Определение
Разностью $overline{a}-overline{b}$ векторов
$overline{a}$ и
$overline{b}$ называется вектор $overline{c}$
такой, что выполняется условие: $overline{b}+overline{c}=overline{a}$.
Произведением $alpha overline{a}$ вектора
$overline{a}$ на число
$alpha$ называется вектор
$overline{b}$, удовлетворяющий условиям:
- $overline{b} | overline{a}$
- $|overline{b}|=|alpha||overline{a}|$
- $overline{a} uparrow uparrow overline{b}$, если
$alpha>0$,
$overline{a} uparrow downarrow overline{b}$, если
$alpha
Свойства умножения вектора на число:
1° $(alpha pm beta) overline{a}=alpha overline{a} pm beta overline{a}$
2° $alpha(overline{a} pm overline{b})=alpha overline{a} pm alpha overline{b}$
3° $alpha(beta overline{a})=(alpha beta) overline{a}=beta(alpha overline{a})$
4° $1 cdot overline{a}=overline{a}$
5° $-1 cdot overline{a}=-overline{a}$
6° $0 cdot overline{a}=overline{0}$
Определение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов $overline{a}$ и
$overline{b}$ называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между ними:
Свойства скалярного произведения:
1° $(overline{a}, overline{b})=(overline{b}, overline{a})$ — симметричность.
2° $(overline{a}, overline{a})=|overline{a}|^{2}$. Обозначается
$(overline{a}, overline{a})=overline{a}^{2}$ и называется скалярный квадрат.
3° Если $overline{a} neq overline{0}$, то 
4° Если $overline{a} neq overline{0}$ и $overline{b} neq overline{0}$ и
$(overline{a}, overline{b})=0$, то $overline{a} perp overline{b}$. Верно и обратное утверждение.
5° $(overline{a}+overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{c})+(overline{b}, overline{c})$
6° $(lambda overline{a}, overline{b})=lambda(overline{a}, overline{b})$
7° $(alpha overline{a}+beta overline{b}, gamma overline{c}+delta overline{d})=alpha gamma(overline{a}, overline{c})+alpha delta(overline{a}, overline{d})+beta gamma(overline{b}, overline{c})+beta delta(overline{b}, overline{d})$
Определение
Векторным произведением ненулевых векторов $overline{a}$ и
$overline{b}$ называется вектор $overline{c}$,
обозначаемый символом $[overline{a}, overline{b}]$ или
$overline{a} times overline{b}$, длина которого
.
Свойства векторного произведения:
1° $[overline{a}, overline{b}]=overline{0}$, тогда и только тогда, когда
$overline{a} | overline{b}$
2° $[overline{a}, overline{b}]=-[overline{b}, overline{a}]$
3° Модуль векторного произведения $|[overline{a}, overline{b}]|$
равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах $overline{a}$ и
$overline{b}$ (рис. 2), т.е.
4° $[lambda overline{a}, overline{b}]=[overline{a}, lambda overline{b}]=lambda[overline{a}, overline{b}]$
5° $left[overline{a}_{1}+overline{a}_{2}, overline{b}right]=left[overline{a}_{1}, overline{b}right]+left[overline{a}_{2}, overline{b}right] ;left[overline{a}, overline{b}_{1}+overline{b}_{2}right]=left[overline{a}, overline{b}_{1}right]+left[overline{a}, overline{b}_{2}right]$
Определение
Смешанным произведением трех векторов $overline{a}$,
$overline{b}$, $overline{c}$
называется число, равное скалярному произведению вектора $overline{a} times overline{b}$
на вектор $overline{c}$: $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=([overline{a}, overline{b}], overline{c})$
Свойства смешанного произведения:
1° $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a},[overline{b}, overline{c}])$
2° $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{b}, overline{c}, overline{a})=(overline{c}, overline{a}, overline{b})=-(overline{b}, overline{a}, overline{c})=-(overline{c}, overline{b}, overline{a})=-(overline{a}, overline{c}, overline{b})$
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда $(overline{a}, overline{b}, overline{c})=0$
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда $(overline{a}, overline{b}, overline{c})>0$.
Если же $(overline{a}, overline{b}, overline{c})
5° $(lambda overline{a}, overline{b}, overline{c})=(overline{a}, lambda overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{b}, lambda overline{c})=lambda(overline{a}, overline{b}, overline{c})$
6° $left(overline{a}_{1}+overline{a}_{2}, overline{b}, overline{c}right)=left(overline{a}_{1}, overline{b}, overline{c}right)+left(overline{a}_{2}, overline{b}, overline{c}right)$
7° $left(overline{a}, overline{b}_{1}+overline{b}_{2}, overline{c}right)=left(overline{a}, overline{b}_{1}, overline{c}right)+left(overline{a}, overline{b}_{2}, overline{c}right)$
8° $left(overline{a}, overline{b}, overline{c}_{1}+overline{c}_{2}right)=left(overline{a}, overline{b}, overline{c}_{1}right)+left(overline{a}, overline{b}, overline{c}_{2}right)$
9° $([overline{a}, overline{b}], overline{c})=overline{b}(overline{a}, overline{c})-overline{a}(overline{b}, overline{c}) ;(overline{a},[overline{b}, overline{c}])=overline{b}(overline{a}, overline{c})-overline{c}(overline{a}, overline{b})$
10° Тождество Якоби: $(overline{a},[overline{b}, overline{c}])+(overline{b},[overline{c}, overline{a}])+(overline{c},[overline{a}, overline{b}])=0$
Читать дальше: примеры решения задач с векторами.
Вы поняли, как решать? Нет?
Откладывание вектора от данной точки
Для того чтобы ввести понятие умножения вектора на число, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Определение 1
Если точка $A$ начала какого-либо вектора $overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).
Рисунок 1. $overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$
Введем следующую теорему:
Теорема 1
От любой точки $K$ можно отложить вектор $overrightarrow{a}$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
Вектор $overrightarrow{a}$ — нулевой.
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $overrightarrow{KK}$.
Вектор $overrightarrow{a}$ — ненулевой.
Обозначим точкой $A$ начало вектора $overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $left|KLright|=|AB|$ и $left|KMright|=|AB|$. Рассмотрим векторы $overrightarrow{KL}$ и $overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $overrightarrow{a}$ (рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор $overrightarrow{a }$ и действительное число $k$.
Определение 2
Произведением вектора $overrightarrow{a }$ на действительное число $k$ называется вектор $overrightarrow{b }$ удовлетворяющий следующим условиям:
Длина вектора $overrightarrow{b }$ равна $left|overrightarrow{b }right|=left|kright||overrightarrow{a }|$;
Векторы $overrightarrow{a }$ и $overrightarrow{b }$ сонаправлены, при $kge 0$ и противоположно направлены, если $k
Обозначение: $ overrightarrow{b }=koverrightarrow{a }$.
Замечание 1
Отметим, что в результате произведения вектора на число всегда получается векторная величина.
Свойства произведения вектора на число
Произведение любого вектора с числом ноль равняется нулевому вектору.
Доказательство.
По определению 2, имеем $left|overrightarrow{b }right|=left|kright|left|overrightarrow{a }right|=0cdot left|overrightarrow{a }right|=0$, следовательно,$overrightarrow{b }=koverrightarrow{a }=overrightarrow{0}$
Для любого вектора $overrightarrow{a }$ и любого действительного числа $k$ векторы $overrightarrow{a }$ и $koverrightarrow{a }$ коллинеарны.
Доказательство.
Так как по определению 2, векторы $overrightarrow{a }$ и $koverrightarrow{a }$ сонаправлены или противоположно направлены (в зависимости от значения $k$), то они будут коллинеарны.
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $overrightarrow{a }$ справедлив сочетательный закон:
[left(mnright)overrightarrow{a }=m(noverrightarrow{a })]
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 3.
Рисунок 3. Сочетательный закон
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $overrightarrow{a }$ справедлив первый распределительный закон:
[left(m+nright)overrightarrow{a }=moverrightarrow{a }+noverrightarrow{a }]
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 4.
Рисунок 4. Первый распределительный закон
Для любого действительного числа $m$ и векторов $overrightarrow{a }$ и $overrightarrow{b }$ справедлив второй распределительный закон:
[mleft(overrightarrow{a }+overrightarrow{b}right)=moverrightarrow{a }+moverrightarrow{b }]
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 5.
Рисунок 5. Второй распределительный закон
Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число
Пример 1
Пусть $overrightarrow{x}=overrightarrow{a }+overrightarrow{b}$, $overrightarrow{y}=overrightarrow{a }-overrightarrow{b}$. Найти векторы:
$2overrightarrow{x}+2overrightarrow{y}$
$overrightarrow{x}+frac{1}{2}overrightarrow{y}$
$-overrightarrow{y}-overrightarrow{x}$
Решение.
$2overrightarrow{x}+2overrightarrow{y}=2left(overrightarrow{a }+overrightarrow{b}right)+2left(overrightarrow{a }-overrightarrow{b}right)=2overrightarrow{a }+2overrightarrow{b}+2overrightarrow{a }-2overrightarrow{b}=4overrightarrow{a }$
$overrightarrow{x}+frac{1}{2}overrightarrow{y}=overrightarrow{a }+overrightarrow{b}+frac{1}{2}left(overrightarrow{a }-overrightarrow{b}right)=overrightarrow{a }+overrightarrow{b}+frac{1}{2}overrightarrow{a }-frac{1}{2}overrightarrow{b}=frac{3}{2}overrightarrow{a }+frac{1}{2}overrightarrow{b}=frac{3overrightarrow{a }+overrightarrow{b}}{2}$
$-overrightarrow{y}-overrightarrow{x}=-left(overrightarrow{a }-overrightarrow{b}right)-left(overrightarrow{a }+overrightarrow{b}right)=-overrightarrow{a }+overrightarrow{b}-overrightarrow{a }-overrightarrow{b}=-2overrightarrow{a }$
Определение 1
Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение произведения векторов a→ и b→ имеет вид a→,b→. Преобразуем в формулу:
a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^. a→ и b→ обозначают длины векторов, a→,b→^ — обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a→,b→=0
При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:
a→,b→=a→·b→·cosa→,a→^=a→2·cos0=a→2
Определение 2
Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.
Вычисляется по формуле:
a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^.
Запись a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^=a→·npa→b→=b→·npb→a→ показывает, что npb→a→ — это числовая проекция a→ на b→, npa→a→- проекция b→ на a→ соостветсвенно.
Сформулируем определение произведения для двух векторов:
Скалярное произведение двух векторов a→ на b→ называют произведение длины вектора a→ на проекцию b→ на направление a→ или произведение длины b→ на проекцию a→ соответственно.
Скалярное произведение в координатах
Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.
Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a→ и b→.
При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a→=(ax,ay), b→=(bx,by) в декартовой системе используют:
a→,b→=ax·bx+ay·by,
для трехмерного пространства применимо выражение:
a→,b→=ax·bx+ay·by+az·bz.
Фактически это является третьим определением скалярного произведения.
Докажем это.
Доказательство 1
Для доказательства используем a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax,ay), b→=(bx,by) на декартовой системе.
Следует отложить векторы
OA→=a→=ax,ay и OB→=b→=bx,by.
Тогда длина вектора AB→будет равна AB→=OB→-OA→=b→-a→=(bx-ax,by-ay).
Рассмотрим треугольник OAB.
AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) верно , исходя из теоремы косинусов.
По условию видно, что OA=a→, OB=b→, AB=b→-a→, ∠AOB=a→,b→^, значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе
b→-a→2=a→2+b→2-2·a→·b→·cos(a→,b→^).
Тогда из первого определения следует, что b→-a→2=a→2+b→2-2·(a→,b→), значит (a→,b→)=12·(a→2+b→2-b→-a→2).
Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a→,b→=12·((a2x+ay2)2+(b2x+by2)2-((bx-ax)2+(by-ay)2)2)==12·(a2x+a2y+b2x+b2y-(bx-ax)2-(by-ay)2)==ax·bx+ay·by
Докажем равенства:
(a→,b→)=a→·b→·cos(a→,b→^)==ax·bx+ay·by+az·bz
– соответственно для векторов трехмерного пространства.
Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a→=(ax,ay,az), b→=(bx,by,bz) и (a→,a→)=ax2+ay2.
Скалярное произведение и его свойства
Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a→,b→ и c→:
- коммутативность (a→,b→)=(b→,a→);
- дистрибутивность(a→+b→,c→)=(a→,c→)+(b→,c→), (a→+b→,c→)=(a→,b→)+(a→,c→);
- сочетательное свойство (λ·a→,b→)=λ·(a→,b→),(a→,λ·b→)=λ·(a→,b→), λ — любое число;
- скалярный квадрат всегда больше нуля (a→,a→)≥0, где (a→,a→)=0 в том случае, когда a→ нулевой.
Пример 1
Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.
Доказать свойство коммутативности (a→,b→)=(b→,a→). Из определения имеем, что (a→,b→)=ay·by+ay·by и (b→,a→)=bx·ax+by·ay.
По свойству коммутативности равенства ax·bx=bx·ax и ay·by=by·ay верны, значит ax·bx+ay·by=bx·ax+by·ay.
Отсюда следует, что (a→,b→)=(b→,a→). Что и требовалось доказать.
Дистрибутивность справедлива для любых чисел:
(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b→)=(a(1)→,b→)+(a(2)→,b→)+…+(a(n)→,b→)
и (a→,b(1)→+b(2)→+…+b(n)→)=(a→,b(1)→)+(a→,b(2)→)+…+(a→,b→(n)),
отсюда имеем
(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b(1)→+b(2)→+…+b(m)→)==(a(1)→,b(1)→)+(a(1)→,b(2)→)+…+(a(1)→,b(m)→)++(a(2)→,b(1)→)+(a(2)→,b(2)→)+…+(a(2)→,b(m)→)+…++(a(n)→,b(1)→)+(a(n)→,b(2)→)+…+(a(n)→,b(m)→)
Скалярное произведение с примерами и решениями
Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:
- (a→,b→)=a→·b→·cos(a→,b→^);
- (a→,b→)=a→·npa→b→=b→·npb→a→;
- (a→,b→)=ax·bx+ay·by или (a→,b→)=ax·bx+ay·by+az·bz;
- (a→,a→)=a→2.
Рассмотрим некоторые примеры решения.
Пример 2
Длина a→ равна 3, длина b→ равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.
Решение
По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:
(a→,b→)=a→·b→·cos(a→,b→^)=3·7·cos60°=3·7·12=212
Ответ:(a→,b→)=212.
Пример 3
Заданны векторы a→=(1,-1,2-3), b→=(0,2,2+3). Чему равно скалярной произведение.
Решение
В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:
(a→,b→)=ax·bx+ay·by+az·bz==1·0+(-1)·2+(2+3)·(2+3)==0-2+(2-9)=-9
Ответ: (a→,b→)=-9
Пример 4
Найти скалярное произведение AB→ и AC→. На координатной плоскости заданы точки A(1,-3), B(5,4), C(1,1).
Решение
Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:
AB→=(5-1,4-(-3))=(4,7)AC→=(1-1,1-(-3))=(0,4)
Подставив в формулу с использованием координат, получим:
(AB→,AC→)=4·0+7·4=0+28=28.
Ответ: (AB→,AC→)=28.
Пример 5
Заданы векторы a→=7·m→+3·n→ и b→=5·m→+8·n→, найти их произведение.m→ равен 3 и n→ равен 2 единицам, они перпендикулярные.
Решение
(a→,b→)=(7·m→+3·n→, 5·m→+8·n→). Применив свойство дистрибутивности, получим:
(7·m→+3·n→, 5·m→+8·n→)==(7·m→, 5·m→)+(7·m→, 8·n→)+(3·n→, 5·m→)+(3·n→, 8·n→)
Выносим коэффициент за знак произведения и получим:
(7·m→, 5·m→)+(7·m→, 8·n→)+(3·n→, 5·m→)+(3·n→, 8·n→)==7·5·(m→,m→)+7·8·(m→,n→)+3·5·(n→,m→)+3·8·(n→,n→)==35·(m→,m→)+56·(m→,n→)+15·(n→,m→)+24·(n→,n→)
По свойству коммутативности преобразуем:
35·(m→,m→)+56·(m→,n→)+15·(n→,m→)+24·(n→,n→)==35·(m→,m→)+56·(m→,n→)+15·(m→,n→)+24·(n→,n→)==35·(m→,m→)+71·(m→,n→)+24·(n→,n→)
В итоге получим:
(a→,b→)=35·(m→,m→)+71·(m→,n→)+24·(n→,n→).
Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:
(a→,b→)=35·(m→,m→)+71·(m→,n→)+24·(n→,n→)==35·m→2+71·m→·n→·cos(m→,n→^)+24·n→2==35·32+71·3·2·cosπ2+24·22=411.
Ответ: (a→,b→)=411
Если имеется числовая проекция.
Пример 6
Найти скалярное произведение a→и b→. Вектор a→ имеет координаты a→=(9,3,-3), проекция b→ с координатами (-3,-1,1).
Решение
По условию векторы a→ и проекция b→ противоположно направленные, потому что a→=-13·npa→b→→, значит проекция b→ соответствует длине npa→b→→, при чем со знаком «-»:
npa→b→→=-npa→b→→=-(-3)2+(-1)2+12=-11,
Подставив в формулу, получим выражение:
(a→,b→)=a→·npa→b→→=92+32+(-3)2·(-11)=-33.
Ответ: (a→,b→)=-33.
Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.
Пример 7
Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a→=(1,0,λ+1) и b→=(λ,1,λ) будет равным -1.
Решение
Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:
(a→,b→)=1·λ+0·1+(λ+1)·λ=λ2+2·λ.
В дано имеем (a→,b→)=-1.
Чтобы найти λ, вычисляем уравнение:
λ2+2·λ=-1, отсюда λ=-1.
Ответ: λ=-1.
Физический смысл скалярного произведения
Механика рассматривает приложение скалярного произведения.
При работе А с постоянной силой F→ перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F→ и MN→ с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:
A=(F→,MN→).
Пример 8
Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A.
Решение
Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F→=5, S→=3, (F→,S→^)=45°, получим A=(F→,S→)=F→·S→·cos(F→,S→^)=5·3·cos(45°)=1522.
Ответ: A=1522.
Пример 9
Материальная точка, перемещаясь из M(2,-1,-3) в N(5,3λ-2,4) под силой F→=(3,1,2), совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.
Решение
При заданных координатах вектора MN→ имеем MN→=(5-2, 3λ-2-(-1), 4-(-3))=(3, 3λ-1,7).
По формуле нахождения работы с векторами F→=(3,1,2) и MN→=(3, 3λ-1,7) получим A=(F⇒, MN→)=3·3+1·(3λ-1)+2·7=22+3λ.
По условию дано, что A=13Дж, значит 22+3λ=13. Отсюда следует λ=-3, значит и MN→=(3,3λ-1,7)=(3,-10,7).
Чтобы найти длину перемещения MN→ , применим формулу и подставим значения:
MN→=32+(-10)2+72=158.
Ответ: 158.