Какими свойствами обладает отношение на множестве действительных чисел
Свойства отношений:
1) рефлексивность;
2)симметричность;
3)транзитивность.
4)связанность.
Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.
Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.
Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.
Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.
Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх: .
Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.
Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .
Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y, граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).
Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.
Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.
Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.
Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложностьyRx: : xRyyRx.
Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х), отношение «больше на» и др.
Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRzxRz.
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z, содержит стрелку, идущую от х к z.
Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b, отрезок b длиннее отрезка с, то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)(а=с).
Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку с, то отрезки а и с не перпендикулярны!
Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: xy xRy или yRx.
Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x.
На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y, что ни число х не является делителем числа y, ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11, 3 и 10 и т.д.).
Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х={1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «число х кратно числу y». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.
Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.
Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).
В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {;}, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества на классы.
Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х={ ;; ; ; ; } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.
Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?
Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {; ; }, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.
Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.
В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.
Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу.На множестве Х={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке (это числа 3, 6, 9). Во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности.
Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».
Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х<y».
Если же отношение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то такое оно будет являться отношением нестрогого порядка. Например, отношение «хy».
Примерами отношения порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков. Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.
Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.
Например, множество Х={2, 8, 12, 32} можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 41), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 42). Но, являясь отношением порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество натуральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет сравнивать два любых числа из множества Х, а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Так, пара чисел 8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.
Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Пусть R — некоторое бинарное отношение на множестве X, а х, у, z любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.
1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой.
R —рефлексивно на X <=> xRx для любого x€ X
Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Например, отношения равенства и параллельности для отрезков являются рефлексивными, а отношение перпендикулярности и «длиннее» не являются рефлексивными. Это отражают графы на рисунке 42.
2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом же отношении с элементом х.
R — симметрично на (хЯу =>у Rx)
Граф симметричного отношения содержит парные стрелки, идущие в противоположных направлениях. Отношения параллельности, перпендикулярности и равенства для отрезков обладают симметричностью, а отношение «длиннее» — не является симметричным (рис. 42).
3. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у в этом отношении с элементом х не находится.
R — антисимметрично на Х« (xRy и xy ≠ yRx)
Замечание: черта сверху обозначает отрицание высказывания.
На графе антисимметричного отношения две точки может соединять только одна стрелка. Примером такого отношения является отношение «длиннее» для отрезков (рис. 42). Отношения параллельности, перпендикулярности и равенства не являются антисимметричными. Существуют отношения, не являющиеся ни симметричными, ни антисимметричными, например отношение «быть братом» (рис. 40).
4. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у и элемент у находится в этом лее отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом Z
R — транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)
На графах отношений «длиннее», параллельности и равенства на рисунке 42 можно заметить, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эти отношения являются транзитивными. Перпендикулярность отрезков не обладает свойством транзитивности.
Существуют и другие свойства отношений между элементами одного множества, которые мы не рассматриваем.
Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Так, например, на множестве отрезков отношение «равно» — рефлексивно, симметрично, транзитивно; отношение «больше» — антисимметрично и транзитивно.
Если отношение на множестве X рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности на этом множестве. Такие отношения разбивают множество X на классы.
Данные отношения проявляются, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам», «Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета». Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.
Если отношение на множестве 1 транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка на этом множестве.
Множество с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.
Например, выполняя задания: «Сравни полоски по ширине и разложи их от самой узкой до самой широкой», «Сравни числа и разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка; «быть шире», «следовать за».
Вообще отношения эквивалентности и порядка играют большую роль в формировании у детей правильных представлений о классификации и упорядочении множеств. Кроме того, встречается много других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
6. Что такое характеристическое свойство множества?
7. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснения каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.
8. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их отношение при помощи символов.
9. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры двух равных множеств. Запишите их отношение при помощи символов.
10. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
11. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
12. Дайте определение разности двух множеств и изобразите ее при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
13. Дайте определение дополнения и изобразите его при помощи кругов Эйлера.
14. Что называется разбиением множества на классы? Назовите условия правильной классификации.
15. Что называется соответствием между двумя множествами? Назовите способы задания соответствий.
16. Какое соответствие называется взаимно однозначным?
17. Какие множества называют равномощными?
18. Какие множества называют равночисленными?
19. Назовите способы задания отношений на множестве.
20. Какое отношение на множестве называют рефлексивным?
21. Какое отношение на множестве называют симметричным?
22. Какое отношение на множестве называют антисимметричным?
23. Какое отношение на множестве называют транзитивным?
24. Дайте определение отношения эквивалентности.
25. Дайте определение отношения порядка.
26. Какое множество называют упорядоченным?
Примеры числовых множеств
— множество натуральных чисел.
— множество целых чисел.
— множество целых неотрицательных чисел.
— множество рациональных чисел.
— множество действительных чисел.
Свойства множества действительных чисел
Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.
1. Оно упорядоченное: для двух любых различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .
2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и ( ) содержится бесконечное множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству
.
3. Множество непрерывное.
Пусть множество разбито на два непустых подмножества и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел выполняется неравенство .
Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству
( ).
Оно отделяет числа из классов и . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа) либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего числа).
1.2. Функции заданные явно и неявно и параметрически
Функция называется явнозаданной, если действия, выполняемые для ее вычисления, указаны и можно их осуществить для .
Функция может быть задана неявно. Форма ее задания в имеет вид
, (1)
где — символ функции двух аргументов, заданной явно.
Например,
.
Теперь нет явного правила вычисления функции по ее аргументу . Однако, в этом случае оно может быть легко получено в виде
или .
Под неявно заданной функцией
понимается такая, подстановка которой в уравнение (1) обращает его в тождество
.
Зависимость от можно задать с помощью третьей переменной в виде
,
где .
Этот способ задания функции называется параметрическим. В частности при получается — явный способ задания функции.
2. Графики элементарных функций
2.1. Степенная функция
Степенная функция задается следующим аналитическим выражением:
, (1)
где — действительное число[2].
Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени . Например, если — целое положительное (натуральное) число, то областью определения степенной функции является множество действительных чисел . В этом случае получается следующий ряд степенных функций: , , … Степенные функции с нечетными показателями степени являются нечетными, а с четными показателями степени – четными. Графики некоторых нечетных функций приведены на рис. 1, а четных – на рис. 2.
Рис. 1. — сплошная линия, — пунктирная линия
Рис. 2. — сплошная линия, — пунктирная линия
Если — целое отрицательное число, то в этом случае степенная функция определена для всех действительных значений , кроме . Если степень является четным отрицательным числом, то степенная функция является четной. В противном случае она является нечетной. Эти утверждения проиллюстрированы на рис. 3 и 4.
Рис. 3. Степенная функция
Рис. 4. Степенная функция
Среди степенных функций с показателем степени, являющимся рациональной дробью рассмотрим функцию . Поскольку рассматривается арифметическое значение корня, то областью определения функции будет множество неотрицательных действительных чисел ( ). График этой степенной функции представлен на рис. 5.
Рис. 5. Степенная функция
График функции представлен на рис. 6. Областью определения функции является вся действительная ось.
Рис. 6. Степенная функция
2.2. Показательная функция
Показательная функция задается следующим аналитическим выражением:
, (1)
где и — действительное число.
Показательная функция с указанными ограничениями для основания степени определена для любых значений ( ). Вид показательной функции существенно зависит от основания степени . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).
Рис. 1. Показательная функция .
Рис. 2. Показательная функция .
Отметим, что графики всех показательных функций проходят через одну и ту же точку с координатами .
2.3. Логарифмическая функция
Логарифмическая функция задается следующим аналитическим выражением:
, (1)
где и — действительное число. Она понимается как число, которое должно быть степенью числа , чтобы получить . Иначе говоря, значение функции должно быть таким, чтобы выполнялось соотношение
.
Число называется основанием логарифмической функции. Поскольку любая степень положительного числа дает также положительное число, то областью определения логарифмической функции (1) является множество положительных вещественных чисел ( ). Вид логарифмической функции существенно зависит от величины основания логарифма . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).
Рис. 1. Логарифмическая функция .
Рис. 2. Логарифмическая функция .
Отметим, что графики всех логарифмических функций проходят через одну и ту же точку с координатами .
2.4. Тригонометрические функции
2.4.1. Функция
Аргумент называется углом. Угол определяется как отношение длины дуги части окружности, проведенной из вершины угла как из центра, к величине радиуса окружности. Угол является безразмерной величиной. Однако условно его считают выраженным в радианах. Отметим, что угол может выражаться в градусах. Для острых углов, т. е. для углов величиной функция синуса определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция синуса определяется как ордината конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция синуса .
Областью определения функции синуса является все множество действительных чисел ( ).
2.4.2. Функция
Для острых углов, т. е. для углов величиной функция косинуса определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция косинуса определяется как абсцисса конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция косинуса .
Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел ( ).
2.4.3. Функция
Для острых углов, т. е. для углов величиной функция тангенса определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему прямоугольного треугольника или как отношение синуса к косинусу
. (1)
Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение ординаты конца подвижного радиуса единичной окружности к его абсциссе или как ордината точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция тангенса .
Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция косинуса обращается в нуль, т. е. кроме
,
где ( ).
2.4.4. Функция
Для острых углов, т. е. для углов величиной функция котангенса определяется как отношение прилежащему катета противолежащего к прямоугольного треугольника или как отношение косинуса к синусу
. (1)
Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение абсциссы конца подвижного радиуса единичной окружности к его ординате или как абсцисса точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси ординат и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция тангенса .
Областью определения функции котангенса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция синуса обращается в нуль, т. е. кроме
,
где ( ).
2.5. Обратные тригонометрические функции
2.5.1. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция синуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку значение функции (1) по модулю не превосходит единице, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арксинуса .
2.5.2. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция косинуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку значение функции (1) по модулю не превосходит единице, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арккосинуса .
2.5.3. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция тангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку функция (1) может принимать любое действительное значение, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арктангенса .
2.5.4. Функция
Величина называется углом. Величина определяется равенством
. (1)
Поскольку функция котангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал
.
Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку функция (1) может принимать любое действительное значение, то областью определения функции является .
График этой функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Функция арккотангенса .
[1] В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» к основным элементарным функциям относят постоянную.
[2]В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» добавлено «не равное нулю».