Какими свойствами обладает отношение эквивалентности

Лекция № 7 Виды бинарных отношений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в рамках неклассической философии были сформулированы идеи, “приземлившие” философию И. Канта и Гегеля. Стройные формы её (систематичность, концептуальность, язык, логика, диалектика и т. п.) были отвергнуты или перестали быть обязательными. В философию пришли нерациональные способы познания и выражения мысли. Неклассическая философия как бы вернула человеку человеческое — волю, субъективные переживания, интуицию, мистическую веру, комплексное восприятие жизни. Она предопределила основные направление философии XX ст. в лице экзистенциализма, феноменологии, персонализма, герменевтики, отчасти психоанализа, идею благоговения перед жизнью А. Швейцера и др.

Общее умонастроение неклассической философии подчёркивает несовершенство научно-технического прогресса как идеологии и высвечивает проблему человеческой личности как главную цель философии нашего столетия.

Цель:рассмотреть основные виды бинарных отношений (эквивалентность, отношение порядка, толерантность)

Бинарное отношение может иметь одновременно не­сколько свойств. Некоторые сочета­ния этих свойств определяют особенно интересные отношения, наиболее часто встречающиеся как на практике, так и в математических теориях.

При поломке какой-нибудь де­тали автомобиля ее заменяют другим экземпляром той же детали. Различные экземпляры одной и той же детали неотличимы друг от друга; они, как говорят, эквивалентны (равноценны). Точно так же эквивалентны все монеты одного и того же достоинства и года вы­пуска, все костюмы одной и той же модели и размера, сделанные из одинакового материала, и т. д.

Не всегда эквивалентность сводится к простой одинаковости. Например, если требуется уплатить сумму в 1 руб., то бумажный и металлический рубли эквивалентны друг другу, равно как и 5 двадцатикопеечных монет, или 20 пятачков. В физике считаются эквивалентными взаимозаменяющие друг друга количества энергии (например, 1 ккал эквивалентна 4190 Дж и т.д.).

Выясним, какими общими свойствами обладает отношение вза­имозаменяемости объектов. Во-первых, ясно, что каждый объект может сам себя заменить. Это значит, что для всех х должно выпол­няться отношение xRx, т. е. отношение взаимозаменяемости долж­но быть рефлексивным. Во-вторых, если х взаимозаменяемо с у, то и у взаимозаменяемо с х. Иными словами, если xRy, то и yRx, а потому R симметрично. Наконец, если х взаимозаменяемо с у, а у взаимозаменяемо с z, то х взаимозаменяемо с z. Иными словами, из xRy и yRz следует xRz, т. е. R транзитивно.

Итак, отношение взаимозаменяемости должно обладать свойст­вами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Эти свой­ства характеризуют взаимозаменяемость, и потому мы вводим сле­дующее определение:

Отношением эквивалентности в множестве X называется любое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение R.

Приведем примеры таких отношений.

Пример 1. Отношение равенства геометрических фигур рефлексивно (каждая фигура сама себе равна), симметрично (если фигура х равна фигуре у, то и фигура у равна фигуре х) и транзитивно (если фигура х равна фигуре у, а фигура у – фигуре z, то х и z равна). Значит, отношение равенства – эквивалентность в множестве геометрических фигур.

Пример 2. Отношение подобия геометрических фигур также является отношением эквивалентности.

Пример 3. Отношение параллельности прямых также обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а потому является отношением эквивалентности в множестве прямых.

Пример 4. Отношение равносильности двух уравнений рефлексивно (каждое уравнение равносильно самому себе), симметрично (если одно уравнение равносильно другому, то и второе равносильно первому) и транзитивно. Значит, оно является эквивалентностью в множестве уравнений.

Пример 5. Отношение равенства дробей тоже является эквивалент­ностью. В самом деле, дроби и равны в том и только в том случае, когда ad = bс. Легко проверяется, что (наше равенство принимает вид: аb = аb) и что из = следует = (из ad = be следует cb = da). Докажем транзитивность этого отно­шения. Пусть = и = . Это значит, что ad = bc и сf = de. Но тогда adf = bcf и bcf = bde, а потому adf = bde. Отсюда получаем, что af = be, а это и значит = .

Отношение «жить в одном доме» является эквивалентностью в множестве людей (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно), а отношение «жить на одной улице» эквивалентностью не является. Дело в том, что человек у может жить в угловом доме на пересече­нии двух улиц, а х и z – на этих улицах. Тогда х и у живут на одной улице, равно как у и z, но х и z живут на разных улицах. Не является эквивалентностью и отношение «служить в одном полку» в множестве военнослужащих. Оно симметрично и транзитивно, но не рефлексивно – есть военнослужащие, не принадлежащие ни­какому полку (например, моряки), и о них нельзя сказать, что они служат в одном полку сами с собой.

Множество всех учащихся данной школы разбито на классы 1А, 1Б, …, 10Б. С этим разбиением свя­зано отношение «учиться в одном классе», являющееся эквива­лентностью.

Непересекающиеся множества, на которые разбивается множество М отношением эквивалентности, называются классами эквивалентности. Другими словами, классом эквивалентности, порожденным элементом х, называется множество всех элементов из М, вступающих с х в отношение эквивалентности. Множество всех различных классов эквивалентности называется фактор-множеством множества М по отношению к эквивалентности R и обозначается М R. Например, множество всех рациональных чисел Q можно разбить на классы эквивалентности, для которых – рациональная дробь, где

Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмноже­ства лежит в основе всех классификаций. Например, в библиотеках множество всех книг разбивают на книги по математике, по физике, по химии, по истории и т. д., в биологии множество всех живых существ разбивают на виды, множество видов – на роды и т. д.

Разбиение множества

Пусть — произвольное множество. Семейство непустых и попарно не пересекающихся множеств называют разбиением множества , если объединение множеств семейства равно , то есть

Сами множества называют элементами (или членами) разбиения .

Например, множества и образуют разбиение отрезка . Тривиальными разбиениями являются, по определению, разбиение , состоящее только из самого , и разбиение, состоящее из всех одноэлементных подмножеств множества .

Пусть — эквивалентность на множестве и . Множество всех элементов , эквивалентных , т.е. множество , называют классом эквивалентности по отношению и обозначают . Отметим, что в силу рефлексивности для любого элемента класс эквивалентности не пуст, так как .

Теорема 1.4. Для любого отношения эквивалентности на множестве множество классов эквивалентности образует разбиение множества . Обратно, любое разбиение множества задает на нем отношение эквивалентности, для которого классы эквивалентности совпадают с элементами разбиения.

Покажем, что отношение эквивалентности на множестве определяет некоторое разбиение этого множества. Убедимся вначале, что любые два класса эквивалентности по отношению либо не пересекаются, либо совпадают.

Пусть два класса эквивалентности и имеют общий элемент . Тогда и . В силу симметричности отношения имеем , и тогда и . В силу транзитивности отношения получим . Пусть , тогда . Так как , то и, следовательно, .

Обратно, если , то в силу симметричности получим и в силу транзитивности — , то есть . Таким образом, .

Итак, любые два не совпадающих класса эквивалентности не пересекаются. Так как для любого справедливо (поскольку ), т.е. каждый элемент множества принадлежит некоторому классу эквивалентности по отношению , то множество всех классов эквивалентности по отношению образует разбиение исходного множества . Таким образом, любое отношение эквивалентности однозначно определяет некоторое разбиение.

Теперь пусть — некоторое разбиение множества . Рассмотрим отношение , такое, что имеет место тогда и только тогда, когда и принадлежат одному и тому же элементу данного разбиения:

Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых и имеет место и , то и в силу определения отношения принадлежат одному и тому же элементу разбиения. Следовательно, и отношение транзитивно. Таким образом, — эквивалентность на .

Фактор-множество

Теорема 1.4 позволяет отождествлять отношения эквивалентности и разбиения: любая эквивалентность определяет единственное разбиение и наоборот.

Множество всех классов эквивалентности по данному отношению эквивалентности на множестве называют фактор-множеством множества по отношению и обозначают .

Пример 1.14. а. На множестве целых чисел определим отношение равенства по модулю , где . Положим , если и только если делится на .

Легко проверяется, что это отношение эквивалентности. Действительно, рефлексивность следует из того, что для любо и делится на ; симметричность — из того, что если делится на , то и делится на . Для доказательства транзитивности заметим, что если делится на и делится на , то и их сумма делится на . Другими словами, для любых целых из и следует , что доказывает транзитивность отношения .

Равенство чисел и по модулю означает, что при делении на эти числа дают одинаковые остатки. Действительно, для каждого имеем , где — остаток от деления на . Следовательно, , то есть . Таким образом, каждое число попадает в тот же класс эквивалентности по отношению , что и остаток от деления его на . Поскольку всего различных остатков может быть ровно , получаем ровно попарно различных классов эквивалентности по данному отношению:

где класс состоит из всех целых чисел, дающих при делении на остаток .

Отметим, что мы установили взаимно однозначное соответствие между фактор-множеством и множеством , состоящим из чисел .

Второе множество дает нам как бы wнаглядный образ» построенного фактор-множества. Нельзя считать, что фактор-множество равно множеству . Нет, указанное фактор-множество состоит из элементов, каждый из которых есть не число, а множество всех целых чисел, при делении на дающих фиксированный остаток. Но каждому такому классу эквивалентности однозначно сопоставляется целое число от 0 до , и, наоборот, каждому целому числу от 0 до соответствует единственный класс эквивалентности по отношению . Заметим, что в математике часто используется прием сопоставления фактор-множеству такого находящегося с ним во взаимно однозначном соответствии множества, которое легко представить и описать.

б. На множестве действительных чисел зададим отношение , полагая, что числа и равны по модулю 1 тогда и только тогда, когда число является целым. Из определения следует, что каждое число по модулю 1 равно своей дробной части.

Примечание. Под дробной частью числа понимается число из полуинтервала , такое, что для некоторого целого . Поэтому дробной частью отрицательного числа , где , будет число . Так, Дробной частью будет не , а .

Так как отношение определено через равенство, то легко понять, что все свойства отношения эквивалентности для него выполняются. Каждый класс эквивалентности будет содержать числа с равными дробными частями. Это значит, что каждый класс эквивалентности по данному отношению однозначно определяет некоторое число из полуинтервала и, наоборот, каждому числу однозначно сопоставляется класс эквивалентности, состоящий из всех действительных чисел, дробная часть которых равна . Таким образом, фактор-множество и полуинтервал на числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии. Этот полуинтервал можно рассматривать как представление определенного выше фактор-множества.

Связь между понятиями эквивалентности и отображения

Установим теперь связь между понятиями эквивалентности и отображения. Заметим, что для любого отношения эквивалентности на множестве можно определить отображение , положив , т.е. сопоставив каждому содержащий его класс эквивалентности. Это отображение сюръективно, так как каждый элемент множества принадлежит некоторому классу эквивалентности, т.е. для каждого справедливо .

Отображение определенное таким образом, называют канонической сюръекцией множества .

Покажем, что любое отображение однозначно определяет некоторое отношение эквивалентности.

Теорема 1.5. Пусть — произвольное отображение. Отношение на множестве , для которого , если и только если , является отношением эквивалентности, причем существует биекция фактор-множества на множество .

Доказательство. Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения следуют непосредственно из его определения, т.е. — эквивалентность.

Зададим отображение фактор-множества в множество следующим образом: . Из способа задания отношения следует, что отображение определено корректно, т.е. каждому классу эквивалентности поставлен в соответствие единственный элемент .

Докажем, что — биекция, для чего убедимся в том, что это инъекция и сюръекция одновременно. Пусть классы эквивалентности и не совпадают. В силу теоремы 1.4 это означает, что они не пересекаются, т.е. не эквивалентно . Из определения отношения следует, что . Таким образом, — инъекция. Если элемент , то найдется такой элемент , что , то есть — сюръекция фактор-множества на множество . Итак, — биекция.

Следовательно, в силу доказанных теорем 1.4 и 1.5 существует связь между тремя понятиями — отображением множества, отношением эквивалентности на множестве и разбиением множества. Но неверно, что существует взаимно однозначное соответствие между отображениями и отношениями эквивалентности (заметим, что теорема 1.5 этого и не утверждает). Два разных отображения могут определять одно и то же разбиение отображаемого множества, тем самым задавая на нем одно и то же отношение эквивалентности. Так, например, любое биективное отображение задает на одно и то же разбиение — тривиальное разбиение на одноэлементные множества.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.