Какими свойствами обладает определенный интеграл
Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.
Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b.
Основные свойства определенного интеграла
Определение 1
Функция y = f(x), определенная при х=а, аналогично справедливому равенству ∫aaf(x)dx=0.
Доказательство 1
Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [a; a] и любого выбора точек ζi равняется нулю, потому как xi-xi-1=0, i=1, 2,…, n, значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.
Определение 2
Для функции, интегрируемой на отрезке [a; b], выполняется условие ∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx.
Доказательство 2
Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х=b.
Определение 3
∫abfx±g(x)dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dxприменяется для интегрируемых функций типа y= f(x) и y=g(x), определенных на отрезке [a;b].
Доказательство 3
Записать интегральную сумму функции y=f(x)±g(x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζi: σ=∑i=1nfζi±gζi·xi-xi-1==∑i=1nf(ζi)·xi-xi-1±∑i=1ngζi·xi-xi-1=σf±σg
где σf и σg являются интегральными суммами функций y = f(x) и y = g(x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ=maxi=1, 2,…, n(xi-xi-1)→0 получаем, что limλ→0σ=limλ→0σf±σg=limλ→0σg±limλ→0σg.
Из определения Римана это выражение является равносильным.
Определение 4
Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [a; b] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫abk·f(x)dx=k·∫abf(x)dx.
Доказательство 4
Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:
σ=∑i=1nk·fζi·(xi-xi-1)==k·∑i=1nfζi·(xi-xi-1)=k·σf⇒limλ→0σ=limλ→0(k·σf)=k·limλ→0σf⇒∫abk·f(x)dx=k·∫abf(x)dx
Определение 5
Если функция вида y=f(x) интегрируема на интервале x с a∈x, b∈x, получаем, что ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.
Доказательство 5
Свойство считается справедливым для c∈a; b, для c≤a и c≥b. Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.
Определение 6
Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [a; b], тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка c; d∈a; b.
Доказательство 6
Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.
Определение 7
Когда функция интегрируема на [a; b] из f(x)≥0 f(x)≤0 при любом значении x∈a; b, тогда получаем, что ∫abf(x)dx≥0 ∫abf(x)≤0.
Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζi с условием, что f(x)≥0 f(x)≤0, получаем неотрицательной.
Доказательство 7
Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx, если f(x)≤g(x) ∀x∈a;b∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx, если f(x)≥g(x) ∀x∈a;b
Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.
Определение 8
При интегрируемой функции y=f(x) из отрезка [a; b] имеем справедливое неравенство вида ∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx.
Доказательство 8
Имеем, что -f(x)≤f(x)≤f(x). Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида -∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx. Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: ∫abf(x)dx≤∫abf(x)dx.
Определение 9
Когда функции y = f(x) и y = g(x) интегрируются из отрезка [a; b] при g(x)≥0 при любом x∈a; b, получаем неравенство вида m·∫abg(x)dx≤∫abf(x)·g(x)dx≤M·∫abg(x)dx, где m=minx∈a; bf(x) и M=maxx∈a; bf(x).
Доказательство 9
Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f(x), определенной из отрезка [a; b], тогда m≤f(x)≤M. Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g(x), что даст значение двойного неравенства вида m·g(x)≤f(x)·g(x)≤M·g(x). Необходимо проинтегрировать его на отрезке [a; b], тогда получим доказываемое утверждение.
Следствие: При g(x)=1 неравенство принимает вид m·b-a≤∫abf(x)dx≤M·(b-a).
Первая формула среднего значения
Определение 10
При y = f(x) интегрируемая на отрезке [a; b] с m=minx∈a;bf(x) и M=maxx∈a; bf(x) имеется число μ∈m; M, которое подходит ∫abf(x)dx=μ·b-a.
Следствие: Когда функция y = f(x) непрерывная из отрезка [a; b], то имеется такое число c∈a; b, которое удовлетворяет равенству ∫abf(x)dx=f(c)·b-a.
Первая формула среднего значения в обобщенной форме
Определение 11
Когда функции y = f(x) и y = g(x) являются интегрируемыми из отрезка [a; b] с m=minx∈a; bf(x) и M=maxx∈a; bf(x), а g(x)>0 при любом значении x∈a; b. Отсюда имеем, что есть число μ∈m; M, которое удовлетворяет равенству ∫abf(x)·g(x)dx=μ·∫abg(x)dx.
Вторая формула среднего значения
Определение 12
Когда функция y=f(x) является интегрируемой из отрезка [a; b], а y=g(x) является монотонной, тогда имеется число, которое c∈a; b, где получаем справедливое равенство вида ∫abf(x)·g(x)dx=g(a)·∫acf(x)dx+g(b)·∫cbf(x)dx
Print book
Лекция
| Site: | Навчальний сайт ХНАДУ |
| Course: | Высшая математика (2 семестр) |
| Book: | Лекция 4. Определенный интеграл, его свойства и вычисление |
| Printed by: | Гость |
| Date: | Thursday, 28 May 2020, 4:29 PM |
1. Понятие определенного интеграла
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b], a < b. Выполним следующие операции:
1) разобьем [a, b] точками a = x0 < x1 < … < xi—1 < xi < … < xn = b на n частичных отрезков [x0, x1], [x1, x2], …, [xi—1, xi ], …, [xn—1, xn ];
2) в каждом из частичных отрезков [xi—1, xi ], i = 1, 2, … n, выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: f(zi);
3) найдем произведения f(zi) · Δxi, где – длина частичного отрезка [xi—1, xi ], i = 1, 2, … n;
4) составиминтегральную суммуфункции y = f(x) на отрезке [a, b]:
С геометрической точки зрения эта сумма σ представляет собой сумму площадей прямоугольников, основания которых – частичные отрезки [x0, x1], [x1, x2], …, [xi—1, xi ], …, [xn—1, xn ], а высоты равны f(z1), f(z2), …, f(zn) соответственно (рис. 1). Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка:
5) найдем предел интегральной суммы, когда λ → 0.
Рис. 1
Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки, ни от выбора точек zi в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a, b] и обозначается
Таким образом,
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; отрезок [a, b] называется промежутком интегрирования.
Теорема 1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
Если a > b, то, по определению, полагаем
2. Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f(x). Криволинейной трапециейназывается фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Определенный интеграл от неотрицательной функции y = f(x) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b, снизу – отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
4. Если функция y = f(x) интегрируема на [a, b] и a < b < c, то
5. (теорема о среднем). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка , такая, что
4. Формула Ньютона–Лейбница
Теорема 2. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
,
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность F(b) — F(a) принято записывать следующим образом:
где символ называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Для подынтегральной функции f(x) = x2 произвольная первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную, то для вычисления интеграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид:
Тогда
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если:
1) функция x = φ(t) и ее производная φ'(t) непрерывны при ;
2) множеством значений функции x = φ(t) при является отрезок [a, b];
3) φ(a) = a, φ(b) = b, то справедлива формула
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
В отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования α и β (для этого надо решить относительно переменной t уравнения φ(t) = a и φ(t) = b).
Вместо подстановки x = φ(t) можно использовать подстановку t = g(x). В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: α = g(a), β = g(b).
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. Введем новую переменную по формуле . Возведя в квадрат обе части равенства , получим 1 + x = t2, откуда x = t2 — 1, dx = (t2 — 1)’dt = 2tdt. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы x = 3 и x = 8. Получим: , откуда t = 2 и α = 2; , откуда t = 3 и β = 3. Итак,
6. Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:
Пример 3. Вычислить
Решение. Пусть u = ln x, тогда , v = x. По формуле (4)
разделов
от теории до практики
примеров
Примеры решения задач
видео
Примеры решения задач
Заметим сначала, что если функция (f) интегрируема на отрезке ([a, b]), то интеграл от этой функции является числом, не зависящим от того, какой буквой обозначен аргумент подынтегральной функции, то есть
$$
intlimits_a^b f(x) dx = intlimits_a^b f(t) dt = intlimits_a^b f(z) dz.nonumber
$$
Иногда бывает удобно вместо записи (displaystyleintlimits_a^b f(x) dx) использовать запись (displaystyleintlimits_Delta f(x) dx), где (Delta = [a, b]).
Перейдем к рассмотрению свойств определенного интеграла. Все отмеченные ниже свойства доказываются в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
Свойства, связанные с операциями над функциями.
Свойство 1.
Если функции (f) и (g) интегрируемы на отрезке ([a, b]), то для любых чисел (alpha) и (beta) ((alpha in R, beta in R)) функция (varphi(x) = alpha f(x) + beta g(x)) также интегрируема на отрезке ([a, b]) и справедливо равенство
$$
intlimits_a^b (alpha f(x) + beta g(x)) dx = alpha intlimits_a^b f(x) dx + beta intlimits_a^b g(x) dx.label{ref1}
$$
Доказательство.
(circ) Пусть (sigma_{T} (xi; varphi), sigma_{T} (xi; f), sigma_{T} (xi; g)) — интегральные суммы для функций (varphi, f) и (g) соответственно при заданном разбиении (T) отрезка ([a, b]) и фиксированной выборке (xi). Тогда имеет место равенство
$$
sigma_{T} (xi; varphi) = alpha sigma_{T} (xi; f) + beta sigma_{T} (xi; g).nonumber
$$
Если мелкость разбиения (T) стремится к нулю ((l(t) rightarrow 0)), то правая часть этого равенства в силу интегрируемости функций (f) и (g) на отрезке ([a, b]) имеет предел, а поэтому существует предел и в левой части и при этом справедливо равенство eqref{ref1}. (bullet)
Свойство 2.
Если функции (f) и (g) интегрируемы на отрезке ([a, b]), то функция (varphi(x) = f(x)g(x)) также интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
(circ) Из интегрируемости функций (f) и (g) следует, что эти функции ограничены на отрезке ([a, b]), и поэтому
$$
exists C > 0: forall x in [a, b] rightarrow |f(x)| leq C, |g(x)| leq C.label{ref2}
$$
Следовательно, функция (varphi) ограничена на отрезке ([a, b]).
Пусть (x’, x″) — произвольные точки отрезка ([a, b]); тогда из равенства
$$
varphi (x’)-varphi (x″) = (f(x″)-f(x’)) g(x″) + f(x’)(g(x″)-g(x’))nonumber
$$
и условий eqref{ref2} следует неравенство
$$
|varphi (x’)-varphi (x″)| leq C (|f(x″)-f(x’)| + |g(x″)-g(x’)|).label{ref3}
$$
Если (T = {x_{i}, i = overline{0, n}}) — разбиение отрезка ([a, b]), (Delta x_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]), (x’ in Delta_{i}), (x″ in Delta_{i}), (omega_{i}(f)), (omega_{i}(g)) — колебания на отрезке (Delta_{i}) функций (f) и (g) соответственно (см. данное замечание здесь), то согласно формуле по ссылке
$$
omega_{i}(f) = sup_{x’, x″ in Delta_{i}} |f(x^{″})-f(x^{‘})|,qquad omega_{i}(g) = sup_{x’, x″ in Delta_{i}} |g(x″)-g(x’)|.nonumber
$$
Поэтому из неравенства eqref{ref3} следует, что
$$
|varphi (x’)-varphi (x″)| leq C (omega_{i}(f) + omega_{i}(g)),nonumber
$$
откуда получаем неравенство
$$
omega_{i}(varphi) leq C (omega_{i}(f) + omega_{i}(g)), i = overline{1, n}.label{ref4}
$$
Умножая (i)-е неравенство eqref{ref4} на (Delta x_{i}) и складывая все получившиеся неравенства, находим
$$
sum_{i=1}^{n}omega_{i}(varphi) Delta x_{i} leq C left(sum_{i=1}^{n}omega_{i}(f)Delta x_{i} + sum_{i=1}^{n}omega_{i}(g)Delta x_{i}right).label{ref5}
$$
Так как правая часть eqref{ref5} стремится к нулю, если мелкость разбиения (T) стремится к нулю (данное замечание мы разбирали здесь), то и левая часть eqref{ref5} стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции (varphi) на отрезке ([a, b]). (bullet)
Свойства, связанные с отрезками интегрирования.
Свойство 1.
Если функция (f(x)) интегрируема на отрезке (Delta = [a, b]), то она интегрируема на любом отрезке (Delta_{1} subset Delta).
Доказательство.
(circ) Пусть (Delta_{1} = [a_{1}, b_{1}]), тогда (a leq a_{1} < b leq b_{1}), так как (Delta_{1} subset Delta). Нужно доказать, что для любого разбиения (T_{1}) отрезка (Delta_{1}) выполняется условие (S_{T_{1}}-s_{T_{1}} = sum omega_{i}(T_{1})Delta x_{i} rightarrow 0) при (l(T_{1}) rightarrow 0), где (l(T_{1})) — мелкость разбиения (T_{1}), (omega_{i}(T_{1})) — колебание функции (f) на (i)-м отрезке разбиения (T_{1}).
Рассмотрим такое разбиение (T) отрезка ([a, b]), которое имеет на отрезке (Delta_{1}) те же точки разбиения, что и (T_{1}), и, кроме того, мелкость разбиения (T) удовлетворяет условию (l(T) leq l(T_{1})).
Заметим, что
$$
sum_{T_{1}}omega_{i}Delta x_{i} leq sum_{T}omega_{i}Delta x_{i}.label{ref6}
$$
так как все слагаемые в левой и правой частях eqref{ref6} неотрицательны, а правая сумма соответствует разбиению (T) отрезка ([a, b]) и содержит все слагаемые левой суммы, составленной для разбиения (T_{1}) отрезка ([a_{1}, b_{1}]).
Пусть (l(T_{1}) rightarrow 0), тогда (l(T) rightarrow 0) и по теореме, которую мы доказывали ранее, правая часть eqref{ref6} стремится к нулю. Но тогда и левая часть eqref{ref6} для любого разбиения (T_{1}) такого, что (l(T_{1}) rightarrow 0), стремится к нулю. Используя достаточное условие данной теоремы, получаем: функция (f(x)) интегрируема на отрезке (Delta_{1}). (bullet)
Свойство 2.
Если функция (f(x)) интегрируема на отрезке ([a, b]) и (a < c < b), то справедливо равенство
$$
intlimits_a^b f(x) dx = intlimits_a^c f(x) dx + intlimits_c^b f(x) dx.label{ref7}
$$
Доказательство.
(circ) Существование интегралов в правой части доказано в свойстве 1. Для доказательства формулы eqref{ref7} воспользуемся равенством
$$
sigma_{T} (f; xi) = sigma_{T}’ (f; xi) + sigma_{T}″(f; xi),nonumber
$$
где (sigma’) и (sigma″) — интегральные суммы функции (f) на отрезках ([a, c]) и ([c, b]) разбиения (T), причем (c) является точкой этого разбиения.
Если (l(T) rightarrow 0), то в силу существования интегралов существуют пределы интегральных сумм (sigma), (sigma’), (sigma″) и справедливо равенство eqref{ref7}. (bullet)
Замечание 1.
Справедливо утверждение, обратное утверждению, доказанному в свойстве 2: если (a < c < b) и если функция (f(x)) интегрируема на отрезках ([a, c]) и ([c, b]), то она интегрируема на отрезке ([a, b]) и справедливо равенство eqref{ref7}.
Следующее свойство требует расширения понятия интеграла (displaystyleintlimits_a^b f(x) dx) на случай, когда (b = a), а также на случай, когда (a > b). Положим по определению
$$
intlimits_a^a f(x) dx = 0.label{ref8}
$$
если функция (f) определена в точке (a).
Если функция интегрируема на отрезке ([a, b]), то будем считать по определению, что
$$
intlimits_b^a f(x) dx =-intlimits_a^b f(x) dx, a < b.label{ref9}
$$
Определения eqref{ref8} и eqref{ref9} естественны. В самом деле, при (a = b) можно считать, что длины всех отрезков разбиения равны нулю, и поэтому любая интегральная сумма равна нулю.
В случае (b > a) можно символу (displaystyleintlimits_b^a f(x) dx) поставить в соответствие интегральные суммы, которые отличаются лишь знаком от соответствующих интегральных сумм для интеграла
$$
intlimits_a^b f(x) dx.nonumber
$$
Свойство 3.
Если функция (f) интегрируема на отрезке ([a, b]) и если (c_{1}), (c_{2}), (c_{3}) — любые точки этого отрезка, то
$$
intlimits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx = intlimits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx + intlimits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx.label{ref10}
$$
Доказательство.
(circ) Пусть (c_{1} < c_{2} < c_{3}), тогда равенство eqref{ref10} справедливо в силу свойств 1 и 2.Докажем формулу eqref{ref10} для случая, когда (c_{1} < c_{3} < c_{2}) (другие случаи рассматриваются аналогично). В силу свойства 2
$$
intlimits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx = intlimits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx + intlimits_{c_{3}}^{c_{2}} f(x) dx,nonumber
$$
откуда получаем равенство eqref{ref10}, так как согласно определению eqref{ref9}
$$
intlimits_{c_{3}}^{c_{2}} f(x) dx =-intlimits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx.nonumber
$$
Если (c_{1} = c_{3}), то формула eqref{ref10} справедлива в силу определений eqref{ref8} и eqref{ref9}.(bullet)
Оценки интегралов.
Утверждение 1.
Если (f(x) geq 0) для всех (x in [a, b]) и если функция (f(x)) интегрируема на отрезке ([a, b]), то
$$
intlimits_a^b f(x) dx geq 0.label{ref11}
$$
Доказательство.
(circ) Так как для любого разбиения (T) отрезка ([a, b]) и при любой выборке (xi = {xi_{i}, i = overline{1, n}}) выполняется неравенство
$$
sigma_{T} (f; xi) = sum_{i=1}^{n}f(xi_{i})Delta x_{i}geq 0,nonumber
$$
то, переходя в этом неравенстве к пределу при (l(T) rightarrow 0), получаем неравенство eqref{ref11}.(bullet)
Следствие.
Если функции (f(x)) и (g(x)) интегрируемы на отрезке ([a, b]) и если для всех (x in [a, b]) выполняется неравенство (f(x) geq g(x)), то
$$
intlimits_a^b f(x) dx geq intlimits_a^b g(x) dxnonumber
$$
Утверждение 2.
Если функция (f(x)) интегрируема на отрезке ([a, b]),
$$
f(x) geq 0 mbox{для любого} x in [a, b],label{ref12}
$$
существует точка (x_{0} in [a, b]) такая, что (f(x_{0}) > 0), причем функция (f(x)) непрерывна в точке (x_{0}), то
$$
intlimits_a^b f(x) dx > 0.label{ref13}
$$
Решение.
(circ) Пусть (x_{0}) — внутренняя точка отрезка ([a, b]), то есть (x_{0} in (a, b)). Тогда в силу свойства сохранения знака для непрерывной функции
$$
exists delta > 0: forall x in U_{delta}(x_{0}) subset [a, b]. rightarrow f(x) geq frac{f(x_{0})}{2}.label{ref14}
$$
Обозначим (Delta_{1} = [a, x_{0}-delta]), (Delta_{0} = [x_{0}-delta, x_{0} + delta]), (Delta_{2} = [x_{0} + delta, a]). Так как (displaystyleintlimits_{Delta_{i}} f(x) dx geq 0) для (i = 1, 2) в силу условия eqref{ref12}, а
$$
intlimits_{Delta_{0}} f(x) dx geq intlimits_{Delta_{0}} frac{f(x_{0})}{2} dx = f(x_{0})delta > 0.nonumber
$$
Аналогично рассматриваются случаи (x_{0} = a) и (x_{0} = b). (bullet)
Замечание 2.
Условие непрерывности функции (a) в точке (x_{0}), где (f(x_{0}) > 0), является существенным. Пример:
$$
f(x) = 0,quad 0 < x leq 1,quad f(0) = 1,quad intlimits_0^1 f(x) dx = 0.nonumber
$$
Утверждение 3.
Если функция (f(x)) интегрируема на отрезке ([a, b]), то функция (|f(x)|) также интегрируема на этом отрезке и справедливо неравенство
$$
left|intlimits_a^b f(x) dxright| leq intlimits_a^b f(x) dx.label{ref15}
$$
Доказательство.
(circ) Обозначим (g(x) = |f(x)|) и заметим, что
$$
forall x’, x″ in [a, b] rightarrow |g(x″)-g(x’)| leq |f(x″)-f(x’)|.label{ref16}
$$
Пусть (T = {x_{i}, i = overline{0, n}}) — произвольное разбиение отрезка ([a, b]), (omega_{i}(f)) и (omega_{i}(g))— колебания функций (f) и (g) на отрезке (Delta_{i} = [x_{i-1}, x_{i}]). Из неравенства eqref{ref16} следует, что
$$
sup_{x’, x″ in Delta_{i}}|g(x″)-g(x’)| leq sup_{x’, x″ in Delta_{i}}|f(x″)-f(x’)|,nonumber
$$
то есть (omega_{i}(g) leq omega_{i}(f), i = overline{1, n}), откуда получаем неравенство
$$
sum_{i=1}^{n}omega_{i}(g)Delta x_{i} leq sum_{i=1}^{n}omega_{i}(f)Delta x_{i}.label{ref17}
$$
В силу интегрируемости функции (f) правая часть eqref{ref17} стремится к нулю при (l(T) rightarrow 0), поэтому левая часть eqref{ref17} также стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции (g(x) = |f(x)|) на отрезке ([a, b]).Докажем неравенство eqref{ref15}. Так как
$$
left|sum_{i=1}^{n}f(xi_{i})Delta x_{i}right| leq sum_{i=1}^{n}|f(xi_{i})|Delta x_{i},nonumber
$$
то есть
$$
|sigma_{T}(xi;f)| leq sigma_{T}(xi;|f|),nonumber
$$
то, переходя в этом неравенстве к пределу, получаем неравенство eqref{ref15}. (bullet)
Замечание 3.
Если функция (f) интегрируема на отрезке с концами (a) и (b) ((a < b) или (a > b)), то справедливо неравенство
$$
left|intlimits_a^b f(x) dxright| leq left|intlimits_a^b |f(x)| dxright|.label{ref18}
$$
Замечание 4.
Из интегрируемости функции (|f(x)|) на отрезке ([a, b]) не следует интегрируемость функции (f(x)) на этом отрезке. Пример:
$$
f(x)=left{begin{array}{lc} 1,&xin Q\-1,&xin Jend{array}right.nonumber
$$
Интегральная теорема о среднем.
Теорема.
Пусть функции (f) и (g) удовлетворяют следующим условиям:
- (f(x)) и (g(x)) интегрируемы на отрезке ([a, b]);
- $$
exists m, M: forall x in [a, b] rightarrow m leq f(x) leq M;label{ref20}
$$ - функция (g) не меняет знака на отрезке ([a, b]), то есть либо
$$
g(x) geq 0 mbox{при} x in [a, b],label{ref21}
$$
либо
$$
g(x) leq 0 mbox{при} x in [a, b].nonumber
$$
Тогда
$$
exists mu in [m, M]: intlimits_a^b f(x)g(x) dx = mu intlimits_a^b g(x) dx.label{ref22}
$$
Доказательство.
(circ) Пусть, например, выполняется условие eqref{ref21}. Тогда из неравенства eqref{ref20} следует, что
$$
forall x in [a, b] rightarrow mg(x) leq f(x)g(x) leq Mg(x).label{ref23}
$$
Так как функции (f) и (g) интегрируемы на отрезке ([a, b]), то функция (fg) также интегрируема на этом отрезке и согласно правилу оценки интегралов
$$
m intlimits_a^b g(x) dx leq intlimits_a^b f(x)g(x) dx leq M intlimits_a^b g(x) dx.label{ref24}
$$
Заметим, что если (displaystyleintlimits_a^b g(x) dx = 0), то из неравенств eqref{ref24} следует, что (displaystyleintlimits_a^b f(x)g(x) dx = 0) и поэтому равенство eqref{ref22} в этом случае выполняется при любом (mu).
Пусть (displaystyleintlimits_a^b g(x) dx neq 0), тогда (displaystyleintlimits_a^b g(x) dx > 0) в силу eqref{ref21}. Поэтому неравенство eqref{ref24} равносильно следующему неравенству:
$$
m leq mu leq M,label{ref25}
$$
где
$$
mu = frac{displaystyleintlimits_a^b f(x)g(x) dx}{displaystyleintlimits_a^b g(x) dx},label{ref26}
$$
Из eqref{ref26} следует равенство eqref{ref22}, где (mu in [m, M]) в силу неравенства eqref{ref25}. Теорема доказана для случая, когда (g(x) geq 0). Эта теорема справедлива и в случае (g(x) leq 0), так как при замене (g(x)) на (- g(x)) равенство eqref{ref22} сохраняется. (bullet)
Следствие.
Если функция (f(x)) непрерывна, а функция (g(x)) интегрируема на отрезке (Delta = [a, b]) и не меняет знака, то
$$
exists c in [a, b]: intlimits_a^b f(x)g(x) dx = f(c) intlimits_a^b g(x) dx.label{ref27}
$$
В частности, если (g(x) = 1), то
$$
exists c in [a, b]: intlimits_a^b f(x) dx = f(c)(b-a).label{ref28}
$$
(circ) Пусть (m = displaystyleinf_{x in Delta_{i}}f(x), M = sup_{x in Delta_{i}}f(x)). По теореме Вейерштрасса
$$
exists x_{1}, x_{2} in [a, b]: f(x_{1}) = m, f(x_{2}) = Mnonumber
$$
и выполняется неравенство eqref{ref20}. Если (mu) — число, определяемое формулой eqref{ref22}, то (f(x_{1}) leq mu leq f(x_{2})), и по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции получаем
$$
exists c in [a, b]: f(c) = mu.nonumber
$$
Поэтому формулу eqref{ref22} можно записать в виде eqref{ref27}. (bullet)
Замечание 5.
Доказанное следствие обычно называют интегральной теоремой о среднем. Это название связано с тем, что в формуле eqref{ref27} речь идет о существовании некоторой точки отрезка (“средней точки”), для которой выполняется равенство eqref{ref27} для интегралов.
Замечание 6.
Можно доказать, что в формуле eqref{ref27} точку (c) всегда можно выбрать так, чтобы она принадлежала интервалу ((a, b)).
Замечание 7.
Если (f(x) > 0), то равенство eqref{ref28} означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком ([a, b]) равна площади прямоугольника с основанием длины (b-a) и высотой, равной значению функции (f) в некоторой точке отрезка ([a, b]).
Пример.
Доказать неравенство
$$
frac{pi^{2}}{809} leq intlimits_0^{pi/2} frac{x dx}{100 + 2sqrt{3}sin^{3}x cos x} leq frac{pi^{2}}{800}.label{ref29}
$$
Решение.
(triangle) Обозначим (f(x) = displaystylefrac{1}{100 + 2sqrt{3}sin^{3}x cos x}, g(x) = x) и воспользуемся неравенством (0 leq sin^{3}x cos x leq 3sqrt{3}/16), которое выполняется, если (0 leq x leq pi/2) (смотри пример здесь). Тогда (0 leq 2sqrt{3}sin^{3}x cos x leq 9/8) и (8/809 leq f(x) leq 1/100). Применяя интегральную теорему о среднем (неравенство eqref{ref24}) и учитывая, что
$$
intlimits_0^{pi/2} g(x) dx = intlimits_0^{pi/2} x dx = frac{pi^{2}}{8},nonumber
$$
получаем неравенство eqref{ref29}. (blacktriangle)